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三、解答题
17.如图，连接正五边形ABCDE的对角线AC，BD，AC与BD相交于点O.试判断四边形AODE的形状，并说明理由.
17.如图，连接正五边形ABCDE的对角线AC，BD，AC与BD相交于点O.试判断四边形AODE的形状，并说明理由.
答案
17.四边形AODE是菱形.
理由如下:正五边形的内角为$108°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ BDC=\frac{1}{2} ×(180°-108°)=36°, ∠ BDE=∠ CAE=108°-36°=72°$,
$\therefore ∠ BDE+∠ E=180°, ∠ CAE+∠ E=180°, \therefore DO / / AE, AO / / DE$,
又$\because AE=DE, \therefore$ 四边形 AODE 是菱形.
理由如下:正五边形的内角为$108°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ BDC=\frac{1}{2} ×(180°-108°)=36°, ∠ BDE=∠ CAE=108°-36°=72°$,
$\therefore ∠ BDE+∠ E=180°, ∠ CAE+∠ E=180°, \therefore DO / / AE, AO / / DE$,
又$\because AE=DE, \therefore$ 四边形 AODE 是菱形.
解析
【分析】
要判断四边形AODE的形状，首先结合已知的正五边形条件思考：第一步先利用正五边形各边相等、各内角相等的性质，计算出正五边形的内角度数；第二步利用等腰三角形底角相等的性质，算出相关角的度数；第三步通过同旁内角互补证明两组对边分别平行，先判定四边形是平行四边形；最后结合正五边形邻边相等的性质，即可判定最终的形状。
【解析】
解：四边形AODE是菱形，理由如下：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的每个内角度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且$AB=BC=CD=DE=AE$，
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$，同理可得$∠ BDC=36°$，
∴$∠ CAE=∠ BAE-∠ BAC=108°-36°=72°$，$∠ BDE=∠ CDE-∠ BDC=108°-36°=72°$，
∵$∠ CAE+∠ E=72°+108°=180°$，
∴$AO// DE$，
∵$∠ BDE+∠ E=72°+108°=180°$，
∴$DO// AE$，
∴四边形AODE是平行四边形，
又
∵$AE=DE$，
∴平行四边形AODE是菱形。
【答案】
四边形AODE是菱形
【知识点】
正五边形的性质；菱形的判定；平行线的判定
【点评】
本题结合正多边形的性质考查特殊四边形的判定，解题的核心是通过计算角度得到对边平行的关系，再结合边的相等关系完成判定，是典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.7
要判断四边形AODE的形状，首先结合已知的正五边形条件思考：第一步先利用正五边形各边相等、各内角相等的性质，计算出正五边形的内角度数；第二步利用等腰三角形底角相等的性质，算出相关角的度数；第三步通过同旁内角互补证明两组对边分别平行，先判定四边形是平行四边形；最后结合正五边形邻边相等的性质，即可判定最终的形状。
【解析】
解：四边形AODE是菱形，理由如下：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的每个内角度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且$AB=BC=CD=DE=AE$，
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$，
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}×(180°-108°)=36°$，同理可得$∠ BDC=36°$，
∴$∠ CAE=∠ BAE-∠ BAC=108°-36°=72°$，$∠ BDE=∠ CDE-∠ BDC=108°-36°=72°$，
∵$∠ CAE+∠ E=72°+108°=180°$，
∴$AO// DE$，
∵$∠ BDE+∠ E=72°+108°=180°$，
∴$DO// AE$，
∴四边形AODE是平行四边形，
又
∵$AE=DE$，
∴平行四边形AODE是菱形。
【答案】
四边形AODE是菱形
【知识点】
正五边形的性质；菱形的判定；平行线的判定
【点评】
本题结合正多边形的性质考查特殊四边形的判定，解题的核心是通过计算角度得到对边平行的关系，再结合边的相等关系完成判定，是典型的几何基础综合题。
【难度系数】
0.7
18.如图，AB与$\odot O$相切于点B，AO交$\odot O$于点C，AO的延长线交$\odot O$于点D，点E是$\overset{\frown}{BCD}$上不与点B，D重合的点，$∠ A=30°$.
(1)求$∠ BED$的大小.
(2)若$\odot O$的半径为3，点F在AB的延长线上，且$BF=3\sqrt{3}$，求证：DF与$\odot O$相切.
(1)求$∠ BED$的大小.
(2)若$\odot O$的半径为3，点F在AB的延长线上，且$BF=3\sqrt{3}$，求证：DF与$\odot O$相切.
答案
18.(1)连接OB.
$\because AB$与$\odot O$相切,$\therefore ∠ BOD=∠ A+∠ ABO=120°, ∠ BED=\frac{1}{2} ∠ BOD=60°$.
(2)证明:连接 OF,OB.
$\because OB ⊥ AF, BF=3 \sqrt{3}=\sqrt{3} OB, \therefore ∠ BOF=60°$,
$\therefore ∠ DOF=∠ BOD-∠ BOF=60°=∠ BOF$,
$\therefore △ BOF ≌ △ DOF(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ OBF=∠ ODF=90°$,
$\therefore DF$与$\odot O$相切.
$\because AB$与$\odot O$相切,$\therefore ∠ BOD=∠ A+∠ ABO=120°, ∠ BED=\frac{1}{2} ∠ BOD=60°$.
(2)证明:连接 OF,OB.
$\because OB ⊥ AF, BF=3 \sqrt{3}=\sqrt{3} OB, \therefore ∠ BOF=60°$,
$\therefore ∠ DOF=∠ BOD-∠ BOF=60°=∠ BOF$,
$\therefore △ BOF ≌ △ DOF(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ OBF=∠ ODF=90°$,
$\therefore DF$与$\odot O$相切.
解析
【分析】
(1)要求∠BED的大小，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需先求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数即可。已知AB是⊙O的切线，根据切线的性质，连接OB可得OB⊥AB，结合已知∠A=30°，可先求出∠AOB的度数，再推导得到∠BOD的度数，最后计算∠BED。
(2)要证明DF与⊙O相切，根据切线的判定定理，只需证明半径OD垂直DF即可。连接OF、OB，先利用直角三角形的边角关系求出∠BOF的度数，再证明△BOF和△DOF全等，通过全等三角形对应角相等得到∠ODF=∠OBF=90°，即可完成证明。
【解析】
(1) 连接OB，
∵ AB与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥AB，即$∠ ABO=90°$，
∵ $∠ A=30°$，
∴ $∠ AOB=180°-∠ A-∠ ABO=180°-30°-90°=60°$，
∴ $∠ BOD=180°-∠ AOB=120°$，
∵ $∠ BED$是弧BD所对的圆周角，$∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，
∴ $∠ BED=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(2) 证明：连接OF、OB，
由(1)可知$OB⊥ AF$，即$∠ OBF=90°$，
∵ ⊙O的半径为3，
∴ $OB=OD=3$，
∵ $BF=3\sqrt{3}$，
∴ 在$Rt△ OBF$中，$\tan∠ BOF=\frac{BF}{OB}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
∴ $∠ BOF=60°$，
∵ $∠ BOD=120°$，
∴ $∠ DOF=∠ BOD-∠ BOF=120°-60°=60°$，
∴ $∠ BOF=∠ DOF$，
在$△ BOF$和$△ DOF$中：
$\begin{cases}OB=OD \\∠ BOF=∠ DOF \\OF=OF\end{cases}$
∴ $△ BOF≌△ DOF(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ ODF=∠ OBF=90°$，即$OD⊥ DF$，
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DF与⊙O相切。
【答案】
(1) $∠ BED=60°$；
(2) DF与⊙O相切，证明如上。
【知识点】
切线的判定与性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是正确添加辅助线，利用切线的性质构造直角三角形，结合圆周角定理、全等三角形的知识转化角和边的关系，是圆相关证明题的典型考法，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1)要求∠BED的大小，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需先求出弧BD对应的圆心角∠BOD的度数即可。已知AB是⊙O的切线，根据切线的性质，连接OB可得OB⊥AB，结合已知∠A=30°，可先求出∠AOB的度数，再推导得到∠BOD的度数，最后计算∠BED。
(2)要证明DF与⊙O相切，根据切线的判定定理，只需证明半径OD垂直DF即可。连接OF、OB，先利用直角三角形的边角关系求出∠BOF的度数，再证明△BOF和△DOF全等，通过全等三角形对应角相等得到∠ODF=∠OBF=90°，即可完成证明。
【解析】
(1) 连接OB，
∵ AB与⊙O相切于点B，
∴ OB⊥AB，即$∠ ABO=90°$，
∵ $∠ A=30°$，
∴ $∠ AOB=180°-∠ A-∠ ABO=180°-30°-90°=60°$，
∴ $∠ BOD=180°-∠ AOB=120°$，
∵ $∠ BED$是弧BD所对的圆周角，$∠ BOD$是弧BD所对的圆心角，
∴ $∠ BED=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(2) 证明：连接OF、OB，
由(1)可知$OB⊥ AF$，即$∠ OBF=90°$，
∵ ⊙O的半径为3，
∴ $OB=OD=3$，
∵ $BF=3\sqrt{3}$，
∴ 在$Rt△ OBF$中，$\tan∠ BOF=\frac{BF}{OB}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
∴ $∠ BOF=60°$，
∵ $∠ BOD=120°$，
∴ $∠ DOF=∠ BOD-∠ BOF=120°-60°=60°$，
∴ $∠ BOF=∠ DOF$，
在$△ BOF$和$△ DOF$中：
$\begin{cases}OB=OD \\∠ BOF=∠ DOF \\OF=OF\end{cases}$
∴ $△ BOF≌△ DOF(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ ODF=∠ OBF=90°$，即$OD⊥ DF$，
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DF与⊙O相切。
【答案】
(1) $∠ BED=60°$；
(2) DF与⊙O相切，证明如上。
【知识点】
切线的判定与性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是正确添加辅助线，利用切线的性质构造直角三角形，结合圆周角定理、全等三角形的知识转化角和边的关系，是圆相关证明题的典型考法，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
