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一、选择题
1.一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一次项系数是(
A.3
B.－3
C.1
D.－1
1.一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的一次项系数是(
B
).A.3
B.－3
C.1
D.－1
答案
1.B
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程一般形式的构成：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$ax^2$是二次项，$a$为二次项系数；$bx$是一次项，$b$为一次项系数；$c$为常数项。解题步骤为：首先判断给出的方程是否为一般形式，若为一般形式直接对应找到一次项，提取系数时要注意连同项前面的符号一同判断，即可得到正确结果。
【解析】
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$b$为一次项系数。
题中方程$x^2 - 3x + 1 = 0$已经是一般形式，对应可知一次项为$-3x$，因此一次项系数为$-3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，易错点是忽略一次项前面的负号，误将3作为一次项系数，解题时需注意提取项的系数要连同符号一起判断。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确一元二次方程一般形式的构成：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$ax^2$是二次项，$a$为二次项系数；$bx$是一次项，$b$为一次项系数；$c$为常数项。解题步骤为：首先判断给出的方程是否为一般形式，若为一般形式直接对应找到一次项，提取系数时要注意连同项前面的符号一同判断，即可得到正确结果。
【解析】
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$b$为一次项系数。
题中方程$x^2 - 3x + 1 = 0$已经是一般形式，对应可知一次项为$-3x$，因此一次项系数为$-3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，易错点是忽略一次项前面的负号，误将3作为一次项系数，解题时需注意提取项的系数要连同符号一起判断。
【难度系数】
0.9
2.抛物线 $y=(x+1)^2 -4$ 的顶点坐标是(
A.$(1,4)$
B.$(1,-4)$
C.$(-1,4)$
D.$(-1,-4)$
D
).A.$(1,4)$
B.$(1,-4)$
C.$(-1,4)$
D.$(-1,-4)$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点坐标与式中参数的对应关系；再将题干给出的抛物线解析式对应到标准顶点式的参数，要特别注意参数h的符号不要判断错误，最后即可得到顶点坐标匹配对应选项。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的抛物线解析式$y=(x+1)^2 -4$对应标准顶点式，可变形为$y=[x-(-1)]^2 + (-4)$，对应可得$h=-1$，$k=-4$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-1,-4)$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；顶点坐标计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式的识别与顶点坐标的提取，解题的易错点是容易误将顶点横坐标的符号判断错误，掌握顶点式的参数含义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点坐标与式中参数的对应关系；再将题干给出的抛物线解析式对应到标准顶点式的参数，要特别注意参数h的符号不要判断错误，最后即可得到顶点坐标匹配对应选项。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的抛物线解析式$y=(x+1)^2 -4$对应标准顶点式，可变形为$y=[x-(-1)]^2 + (-4)$，对应可得$h=-1$，$k=-4$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-1,-4)$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；顶点坐标计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式的识别与顶点坐标的提取，解题的易错点是容易误将顶点横坐标的符号判断错误，掌握顶点式的参数含义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象分别位于（
A.第一、第三象限
B.第一、第四象限
C.第二、第三象限
D.第二、第四象限
A
）.A.第一、第三象限
B.第一、第四象限
C.第二、第三象限
D.第二、第四象限
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的图象位置和系数的对应规律：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），图象所在象限由$k$的正负决定。解题按三步进行：第一步先确定题干中反比例函数的$k$值，第二步判断$k$的正负，第三步对应规律选择正确选项即可。
【解析】
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象分布规律为：
1. 当$k＞0$时，函数图象位于第一、第三象限；
2. 当$k＜0$时，函数图象位于第二、第四象限。
本题中给出的反比例函数为$y=\frac{6}{x}$，可得系数$k=6＞0$，因此它的图象分别位于第一、第三象限。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握反比例函数中$k$的符号和图象所在象限的对应关系，熟练记忆相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆反比例函数的图象位置和系数的对应规律：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），图象所在象限由$k$的正负决定。解题按三步进行：第一步先确定题干中反比例函数的$k$值，第二步判断$k$的正负，第三步对应规律选择正确选项即可。
【解析】
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象分布规律为：
1. 当$k＞0$时，函数图象位于第一、第三象限；
2. 当$k＜0$时，函数图象位于第二、第四象限。
本题中给出的反比例函数为$y=\frac{6}{x}$，可得系数$k=6＞0$，因此它的图象分别位于第一、第三象限。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握反比例函数中$k$的符号和图象所在象限的对应关系，熟练记忆相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
4.电灯两端的电压$U$(单位:V),通过电灯的电流强度$I$(单位:A)和电灯电阻$R$(单位:Ω)之间有$I=\frac{U}{R}$的关系.已知电灯两端的电压$U$为220 V,为保证安全,通过电灯的电流强度$I$不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为$R$,下列说法正确的是(
A.$R$至少为2 000 Ω
B.$R$至多为2 000 Ω
C.$R$至少为24.2 Ω
D.$R$至多为24.2 Ω
A
).A.$R$至少为2 000 Ω
B.$R$至多为2 000 Ω
C.$R$至少为24.2 Ω
D.$R$至多为24.2 Ω
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先从题干提取两个关键信息：一是电流、电压、电阻的关系公式$I=\frac{U}{R}$，二是电流$I$不得超过0.11A，即$I≤0.11A$。首先将已知的$U=220V$代入公式，得到关于$R$的不等式，结合电阻$R$为正数的隐含条件，根据不等式的性质求解不等式，得到$R$的取值范围后，再对应“至少”“至多”的表述判断正确选项即可。
【解析】
根据题意，电流强度不得超过0.11A，即$I≤0.11$。
将$U=220$代入$I=\frac{U}{R}$，可得不等式：
$\frac{220}{R}≤0.11$
∵ 灯泡电阻$R$为正数，
∴ 不等式两边同时乘$R$，不等号方向不变，得：
$220≤0.11R$
两边同时除以0.11，得：
$R≥\frac{220}{0.11}=2000$
即$R$的取值范围是$R≥2000\Omega$，也就是$R$至少为2000Ω，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的应用，反比例函数应用，公式代入求值
【点评】
本题结合物理常见公式考查数学不等式的实际应用，解题的关键是正确将“不超过”转化为不等关系，解不等式时注意电阻为正数的隐含条件，避免弄错不等号方向，属于基础的跨学科应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题干提取两个关键信息：一是电流、电压、电阻的关系公式$I=\frac{U}{R}$，二是电流$I$不得超过0.11A，即$I≤0.11A$。首先将已知的$U=220V$代入公式，得到关于$R$的不等式，结合电阻$R$为正数的隐含条件，根据不等式的性质求解不等式，得到$R$的取值范围后，再对应“至少”“至多”的表述判断正确选项即可。
【解析】
根据题意，电流强度不得超过0.11A，即$I≤0.11$。
将$U=220$代入$I=\frac{U}{R}$，可得不等式：
$\frac{220}{R}≤0.11$
∵ 灯泡电阻$R$为正数，
∴ 不等式两边同时乘$R$，不等号方向不变，得：
$220≤0.11R$
两边同时除以0.11，得：
$R≥\frac{220}{0.11}=2000$
即$R$的取值范围是$R≥2000\Omega$，也就是$R$至少为2000Ω，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
不等式的应用，反比例函数应用，公式代入求值
【点评】
本题结合物理常见公式考查数学不等式的实际应用，解题的关键是正确将“不超过”转化为不等关系，解不等式时注意电阻为正数的隐含条件，避免弄错不等号方向，属于基础的跨学科应用题型。
【难度系数】
0.7
5.平移二次函数$y=2(x-5)^2 -1$的图象，得到二次函数$y=2x^2$的图象.下列移动路径正确的是(
A.先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
B
).A.先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案
5.B
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数图象平移的规律：平移不改变抛物线的开口方向和大小，因此可以通过对比两个函数的顶点坐标变化确定平移路径，也可以依据“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对常数项）”的规则推导。首先确定两个二次函数的顶点坐标，顶点的平移方向和距离就是整个函数图象的平移方向和距离。
【解析】
解：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
1. 提取两个函数的顶点坐标：
原二次函数$y=2(x-5)^2 -1$的顶点坐标为$(5,-1)$；
目标二次函数$y=2x^2$可变形为$y=2(x-0)^2+0$，顶点坐标为$(0,0)$。
2. 分析顶点的平移过程：
横坐标从5变为0：$5-5=0$，横坐标减5对应图象向左平移5个单位长度；
纵坐标从-1变为0：$-1+1=0$，纵坐标加1对应图象向上平移1个单位长度。
因此移动路径为先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础常考题，借助顶点坐标的变化判断平移路径更直观，可有效避免混淆“左加右减”的适用方向。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握二次函数图象平移的规律：平移不改变抛物线的开口方向和大小，因此可以通过对比两个函数的顶点坐标变化确定平移路径，也可以依据“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对常数项）”的规则推导。首先确定两个二次函数的顶点坐标，顶点的平移方向和距离就是整个函数图象的平移方向和距离。
【解析】
解：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
1. 提取两个函数的顶点坐标：
原二次函数$y=2(x-5)^2 -1$的顶点坐标为$(5,-1)$；
目标二次函数$y=2x^2$可变形为$y=2(x-0)^2+0$，顶点坐标为$(0,0)$。
2. 分析顶点的平移过程：
横坐标从5变为0：$5-5=0$，横坐标减5对应图象向左平移5个单位长度；
纵坐标从-1变为0：$-1+1=0$，纵坐标加1对应图象向上平移1个单位长度。
因此移动路径为先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础常考题，借助顶点坐标的变化判断平移路径更直观，可有效避免混淆“左加右减”的适用方向。
【难度系数】
0.8
6.中秋节期间，某家庭群规定，群内的每个人都要给其他人单独发祝福语（向自己以外的每人发一条）.此次活动结束，群内所有人共收到56条祝福语，则该群内一共有（
A.6人
B.7人
C.8人
D.9人
C
）.A.6人
B.7人
C.8人
D.9人
答案
6.C
解析
【分析】
解题的关键是理清祝福语总数量和群人数的数量关系：每个人需要向除自己外的其他所有人各发1条祝福语，因此每人发送的祝福语数量为（总人数-1）条，总发送的祝福语数量等于总人数乘每人发送的条数；而所有人收到的祝福语总条数和总发送条数相等，据此可列一元二次方程求解，最后根据人数为正整数的实际意义舍去不符合要求的根即可。
【解析】
设该群内一共有$ x $人。
由题意得，每人需要发送$ (x-1) $条祝福语，总发送的祝福语总数为$ x(x-1) $条，已知所有人共收到56条祝福语，即总发送量为56条，可列方程：
$x(x-1)=56$
整理得：
$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：
$(x-8)(x+7)=0$
解得$ x_1=8 $，$ x_2=-7 $。
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2=-7 $，即该群共有8人。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，核心是区分单向传递（如发祝福、寄贺卡）和双向互动（如握手、打球）的数量关系差异，避免错误除以2，同时要注意对求解出的方程根结合实际场景进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题的关键是理清祝福语总数量和群人数的数量关系：每个人需要向除自己外的其他所有人各发1条祝福语，因此每人发送的祝福语数量为（总人数-1）条，总发送的祝福语数量等于总人数乘每人发送的条数；而所有人收到的祝福语总条数和总发送条数相等，据此可列一元二次方程求解，最后根据人数为正整数的实际意义舍去不符合要求的根即可。
【解析】
设该群内一共有$ x $人。
由题意得，每人需要发送$ (x-1) $条祝福语，总发送的祝福语总数为$ x(x-1) $条，已知所有人共收到56条祝福语，即总发送量为56条，可列方程：
$x(x-1)=56$
整理得：
$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：
$(x-8)(x+7)=0$
解得$ x_1=8 $，$ x_2=-7 $。
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2=-7 $，即该群共有8人。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，核心是区分单向传递（如发祝福、寄贺卡）和双向互动（如握手、打球）的数量关系差异，避免错误除以2，同时要注意对求解出的方程根结合实际场景进行取舍。
【难度系数】
0.7
7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$,则下列数值范围内存在关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的是(
A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
B
).A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。再利用抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称，两个与x轴的交点也关于对称轴对称。我们已知右侧交点的横坐标范围，就可以通过对称轴推算出左侧交点的横坐标范围，进而匹配选项。
【解析】
1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。
2. 已知抛物线对称轴为直线$x=-1$，因此抛物线与$x$轴的两个交点关于直线$x=-1$对称。
3. 由图像可知，抛物线右侧与$x$轴的交点横坐标范围是$0＜x＜1$。设左侧交点横坐标为$x$，根据中点公式：$\frac{x + x_右}{2}=-1$，可得$x=-2-x_右$。
4. 代入$0＜x_右＜1$，计算得$-3＜x＜-2$，即左侧交点横坐标在$-3＜x＜-2$范围内，也就是方程的一个解在这个区间内。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，解题核心是理解二次函数和对应一元二次方程的联系，结合抛物线的对称性推算未知交点的范围，能够很好地考查学生对二次函数图像性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解对应抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。再利用抛物线的轴对称性：抛物线关于对称轴对称，两个与x轴的交点也关于对称轴对称。我们已知右侧交点的横坐标范围，就可以通过对称轴推算出左侧交点的横坐标范围，进而匹配选项。
【解析】
1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点的横坐标。
2. 已知抛物线对称轴为直线$x=-1$，因此抛物线与$x$轴的两个交点关于直线$x=-1$对称。
3. 由图像可知，抛物线右侧与$x$轴的交点横坐标范围是$0＜x＜1$。设左侧交点横坐标为$x$，根据中点公式：$\frac{x + x_右}{2}=-1$，可得$x=-2-x_右$。
4. 代入$0＜x_右＜1$，计算得$-3＜x＜-2$，即左侧交点横坐标在$-3＜x＜-2$范围内，也就是方程的一个解在这个区间内。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的对称性；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，解题核心是理解二次函数和对应一元二次方程的联系，结合抛物线的对称性推算未知交点的范围，能够很好地考查学生对二次函数图像性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
8.在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC$，$BC$的长是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，则$AB$的长为（
A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{7}$
D
）.A.2
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.$\sqrt{7}$
答案
8.D
解析
【分析】
本题是直角三角形边长与一元二次方程结合的基础题，解题思路如下：①首先，△ABC是直角三角形，∠C=90°，要求斜边AB的长，首先想到勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$；②已知AC、BC是方程$x^2-3x+1=0$的两根，若直接解方程求AC、BC的长度计算较繁琐，因此考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接得到两根之和$AC+BC$、两根之积$AC·BC$；③再利用完全平方公式的变形，将$AC^2+BC^2$转化为$(AC+BC)^2-2AC·BC$，代入数值即可求出$AB^2$，进而得到AB的长度。
【解析】
解：
∵AC、BC是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$AC + BC = 3$，$AC·BC = 1$，
∵在$△ABC$中，$∠C=90°$，
由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
对$AC^2 + BC^2$变形可得：
$AC^2 + BC^2 = (AC + BC)^2 - 2AC·BC$，
将$AC + BC = 3$，$AC·BC = 1$代入得：
$AB^2 = 3^2 - 2×1 = 9 - 2 = 7$，
∵AB为三角形边长，长度为正数，
∴$AB = \sqrt{7}$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的性质与直角三角形的边长计算结合，解题的核心是灵活运用完全平方公式的变形，将未知的边长平方和转化为可直接代入的两根和、两根积的形式，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，是代数与几何结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形边长与一元二次方程结合的基础题，解题思路如下：①首先，△ABC是直角三角形，∠C=90°，要求斜边AB的长，首先想到勾股定理：$AB^2=AC^2+BC^2$；②已知AC、BC是方程$x^2-3x+1=0$的两根，若直接解方程求AC、BC的长度计算较繁琐，因此考虑用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接得到两根之和$AC+BC$、两根之积$AC·BC$；③再利用完全平方公式的变形，将$AC^2+BC^2$转化为$(AC+BC)^2-2AC·BC$，代入数值即可求出$AB^2$，进而得到AB的长度。
【解析】
解：
∵AC、BC是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$AC + BC = 3$，$AC·BC = 1$，
∵在$△ABC$中，$∠C=90°$，
由勾股定理得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
对$AC^2 + BC^2$变形可得：
$AC^2 + BC^2 = (AC + BC)^2 - 2AC·BC$，
将$AC + BC = 3$，$AC·BC = 1$代入得：
$AB^2 = 3^2 - 2×1 = 9 - 2 = 7$，
∵AB为三角形边长，长度为正数，
∴$AB = \sqrt{7}$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的性质与直角三角形的边长计算结合，解题的核心是灵活运用完全平方公式的变形，将未知的边长平方和转化为可直接代入的两根和、两根积的形式，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，是代数与几何结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
