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1.在$\odot O$中，弦AB与CD相交于点E，下列说法正确的是(
A.若$AE=BE$，CD经过点O，则$CD⊥ AB$
B.若$CD⊥ AB$，则$AE=BE$
C.若$CD⊥ AB$，CD经过点O，则$AE=BE$
D.若$CD⊥ AB$，则$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
C
).A.若$AE=BE$，CD经过点O，则$CD⊥ AB$
B.若$CD⊥ AB$，则$AE=BE$
C.若$CD⊥ AB$，CD经过点O，则$AE=BE$
D.若$CD⊥ AB$，则$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆垂径定理及其推论的内容和成立条件：垂径定理要求同时满足“直线是直径（过圆心）”“直线垂直于弦”两个条件，才能得到平分弦、平分弦所对的弧的结论；推论中平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径。接下来逐一验证每个选项的条件是否满足定理要求，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合垂径定理及其推论逐个分析选项：
1. 分析选项A：若AE=BE，说明E是AB的中点，但若AB本身是$\odot O$的直径，那么任意过圆心O的CD都能满足AE=BE，此时CD与AB不一定垂直，因此A错误。
2. 分析选项B：若仅满足CD⊥AB，但CD不经过圆心O（不是直径），则不能平分弦AB，即AE不一定等于BE，因此B错误。
3. 分析选项C：若CD⊥AB且CD经过点O，即CD是垂直于弦AB的直径，完全符合垂径定理的条件，因此CD平分AB，可得AE=BE，因此C正确。
4. 分析选项D：若仅满足CD⊥AB，但CD不经过圆心O，则不能平分弧AB，即$\overset{\frown}{AC}$不一定等于$\overset{\frown}{BC}$，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题核心考查垂径定理的应用，易错点是容易忽略定理成立的前提条件，比如忘记“直线过圆心（是直径）”这个必要条件，或是忽略推论中“被平分的弦不能是直径”的限制，解题时要注意核对所有条件是否完整，避免误判。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆垂径定理及其推论的内容和成立条件：垂径定理要求同时满足“直线是直径（过圆心）”“直线垂直于弦”两个条件，才能得到平分弦、平分弦所对的弧的结论；推论中平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径。接下来逐一验证每个选项的条件是否满足定理要求，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合垂径定理及其推论逐个分析选项：
1. 分析选项A：若AE=BE，说明E是AB的中点，但若AB本身是$\odot O$的直径，那么任意过圆心O的CD都能满足AE=BE，此时CD与AB不一定垂直，因此A错误。
2. 分析选项B：若仅满足CD⊥AB，但CD不经过圆心O（不是直径），则不能平分弦AB，即AE不一定等于BE，因此B错误。
3. 分析选项C：若CD⊥AB且CD经过点O，即CD是垂直于弦AB的直径，完全符合垂径定理的条件，因此CD平分AB，可得AE=BE，因此C正确。
4. 分析选项D：若仅满足CD⊥AB，但CD不经过圆心O，则不能平分弧AB，即$\overset{\frown}{AC}$不一定等于$\overset{\frown}{BC}$，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题核心考查垂径定理的应用，易错点是容易忽略定理成立的前提条件，比如忘记“直线过圆心（是直径）”这个必要条件，或是忽略推论中“被平分的弦不能是直径”的限制，解题时要注意核对所有条件是否完整，避免误判。
【难度系数】
0.7
2.如图，CD是$\odot O$的直径，AB是弦，$AB⊥ CD$，垂足为E，若E为OC的中点，$OD=1$，则AB的长为(
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{5}$
B
).A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{5}$
答案
2.B
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的问题，首先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此要求AB的长度，只需先求出半弦长BE的长度，再乘2即可。首先根据圆的半径都相等，由OD=1得到半径OB、OC的长度，再结合E是OC中点求出OE的长度，最后在直角三角形OEB中用勾股定理算出BE的长度，即可求出AB的总长。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$OD=1$，
∴$\odot O$的半径$OB=OC=OD=1$，
∵E为OC的中点，
∴$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}$，
∵$AB⊥ CD$，根据垂径定理可得：$AB=2BE$，且$∠ OEB=90°$，
在$Rt△ OEB$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{OB^2 - OE^2}=\sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$AB=2BE=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题核心是利用垂径定理将求整弦长转化为求半弦长，再结合直角三角形的勾股定理完成计算，熟练掌握垂径定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直于弦的问题，首先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此要求AB的长度，只需先求出半弦长BE的长度，再乘2即可。首先根据圆的半径都相等，由OD=1得到半径OB、OC的长度，再结合E是OC中点求出OE的长度，最后在直角三角形OEB中用勾股定理算出BE的长度，即可求出AB的总长。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$OD=1$，
∴$\odot O$的半径$OB=OC=OD=1$，
∵E为OC的中点，
∴$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}$，
∵$AB⊥ CD$，根据垂径定理可得：$AB=2BE$，且$∠ OEB=90°$，
在$Rt△ OEB$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{OB^2 - OE^2}=\sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$AB=2BE=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题核心是利用垂径定理将求整弦长转化为求半弦长，再结合直角三角形的勾股定理完成计算，熟练掌握垂径定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
3.(2024,长沙,9)如图,在$\odot O$中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离OE=4,则$\odot O$的半径为(
A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$
B
).A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$
答案
3.B
解析
【分析】
首先观察图形，已知圆心O到弦AB的距离OE⊥AB，首先联想到垂径定理，可求出弦AB的一半AE的长度；此时△OAE为直角三角形，两条直角边AE、OE的长度已知，利用勾股定理即可求出斜边OA的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，OE过圆心O，
根据垂径定理，E为AB的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
在Rt△OAE中，OE=4，AE=4，
由勾股定理得：OA = $\sqrt{AE^2 + OE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 4^2}$ = $\sqrt{32}$ = $4\sqrt{2}$，
即⊙O的半径为$4\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，属于圆章节的常规题型，掌握垂径定理是解题的突破口。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，已知圆心O到弦AB的距离OE⊥AB，首先联想到垂径定理，可求出弦AB的一半AE的长度；此时△OAE为直角三角形，两条直角边AE、OE的长度已知，利用勾股定理即可求出斜边OA的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
解：
∵OE⊥AB，OE过圆心O，
根据垂径定理，E为AB的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4，
在Rt△OAE中，OE=4，AE=4，
由勾股定理得：OA = $\sqrt{AE^2 + OE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 4^2}$ = $\sqrt{32}$ = $4\sqrt{2}$，
即⊙O的半径为$4\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，属于圆章节的常规题型，掌握垂径定理是解题的突破口。
【难度系数】
0.8
4.(2024,通辽,11)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心,若AB=1 m,CD=2.5 m,则拱门所在圆的半径为(
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
B
).A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案
4.B
解析
【分析】
本题可利用垂径定理和勾股定理求解。首先观察图形，CD过圆心且D是AB中点，由垂径定理可知CD垂直AB，AD长为AB的一半；接下来连接半径OA，构造直角三角形OAD，设圆的半径为r，用含r的式子表示出OD的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
连接OA，设拱门所在圆的半径为$ r\ \mathrm{m} $。
∵ CD经过圆心O，D是AB的中点，$ AB=1\ \mathrm{m} $，
∴ 根据垂径定理得：$ CD⊥ AB $，$ AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m} $。
∵ $ OA=OC=r\ \mathrm{m} $，$ CD=2.5\ \mathrm{m} $，
∴ $ OD=CD-OC=(2.5 - r)\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2=AD^2+OD^2 $，
代入得：$ r^2=0.5^2+(2.5 - r)^2 $，
展开计算：$ r^2=0.25 + 6.25 -5r +r^2 $，
消去$ r^2 $得：$ 5r=6.5 $，
解得：$ r=1.3 $。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，核心是通过垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，这种用方程思想解决几何问题的方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题可利用垂径定理和勾股定理求解。首先观察图形，CD过圆心且D是AB中点，由垂径定理可知CD垂直AB，AD长为AB的一半；接下来连接半径OA，构造直角三角形OAD，设圆的半径为r，用含r的式子表示出OD的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
连接OA，设拱门所在圆的半径为$ r\ \mathrm{m} $。
∵ CD经过圆心O，D是AB的中点，$ AB=1\ \mathrm{m} $，
∴ 根据垂径定理得：$ CD⊥ AB $，$ AD=\frac{1}{2}AB=0.5\ \mathrm{m} $。
∵ $ OA=OC=r\ \mathrm{m} $，$ CD=2.5\ \mathrm{m} $，
∴ $ OD=CD-OC=(2.5 - r)\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2=AD^2+OD^2 $，
代入得：$ r^2=0.5^2+(2.5 - r)^2 $，
展开计算：$ r^2=0.25 + 6.25 -5r +r^2 $，
消去$ r^2 $得：$ 5r=6.5 $，
解得：$ r=1.3 $。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，核心是通过垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，这种用方程思想解决几何问题的方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到的一个“老碗”(图①)的形状示意图.$\overset{\frown}{AB}$是$\odot O$的一部分，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径OA为(
A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm
A
).A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm
答案
5.A
解析
【分析】
本题是圆的相关计算问题，解题思路如下：首先根据弧中点与圆心连线的性质，结合垂径定理可得OD垂直平分AB，从而求出AC的长度；接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出OC的长度，最后在直角三角形OAC中利用勾股定理列方程求解，即可得到半径长度。
【解析】
解：
∵D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理可得：$OD⊥ AB$，$AC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OD=OA=r\ \mathrm{cm}$，
∵碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$，
代入数据得：$r^2=12^2+(r-8)^2$，
展开计算：$r^2=144+r^2-16r+64$，
移项化简得：$16r=208$，
解得：$r=13$。
即$\odot O$的半径OA为13 cm。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际考查圆的基础计算，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，是圆的性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是圆的相关计算问题，解题思路如下：首先根据弧中点与圆心连线的性质，结合垂径定理可得OD垂直平分AB，从而求出AC的长度；接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出OC的长度，最后在直角三角形OAC中利用勾股定理列方程求解，即可得到半径长度。
【解析】
解：
∵D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
∴根据垂径定理可得：$OD⊥ AB$，$AC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OD=OA=r\ \mathrm{cm}$，
∵碗深$CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=AC^2+OC^2$，
代入数据得：$r^2=12^2+(r-8)^2$，
展开计算：$r^2=144+r^2-16r+64$，
移项化简得：$16r=208$，
解得：$r=13$。
即$\odot O$的半径OA为13 cm。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题结合生活实际考查圆的基础计算，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解，是圆的性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
6.在$\odot O$中，直径$AB=8\ \mathrm{cm}$，点$C$在$\odot O$上，点$C'$是点$C$关于直线$AB$的对称点，则$OC'$的长等于________ cm.
答案
6.4
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据直径长度求出圆的半径，已知直径AB=8cm，半径是直径的一半，为4cm，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此OC的长度为4cm；第二步，结合圆的轴对称性质分析，直径所在的直线是圆的对称轴，点C和C'关于AB对称，因此C'也在⊙O上；第三步，根据半径的性质，OC'作为圆的半径，长度等于4cm。
【解析】
解：
∵ AB是⊙O的直径，AB=8cm
∴ ⊙O的半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$
∵ 点C在⊙O上，
∴ OC=r=4cm
又
∵ 圆是轴对称图形，直径所在直线是圆的对称轴，点C'是点C关于直线AB的对称点
∴ 点C'也在⊙O上
∴ OC'=r=4cm
【答案】
4
【知识点】
圆的轴对称性，半径的性质，轴对称的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题的核心是利用圆的轴对称性判断对称点仍在圆上，只要熟练掌握圆的基本性质和轴对称的特点，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.9
解题思路可分为三步：第一步，先根据直径长度求出圆的半径，已知直径AB=8cm，半径是直径的一半，为4cm，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此OC的长度为4cm；第二步，结合圆的轴对称性质分析，直径所在的直线是圆的对称轴，点C和C'关于AB对称，因此C'也在⊙O上；第三步，根据半径的性质，OC'作为圆的半径，长度等于4cm。
【解析】
解：
∵ AB是⊙O的直径，AB=8cm
∴ ⊙O的半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\ \mathrm{cm}$
∵ 点C在⊙O上，
∴ OC=r=4cm
又
∵ 圆是轴对称图形，直径所在直线是圆的对称轴，点C'是点C关于直线AB的对称点
∴ 点C'也在⊙O上
∴ OC'=r=4cm
【答案】
4
【知识点】
圆的轴对称性，半径的性质，轴对称的性质
【点评】
本题侧重考查基础概念的应用，解题的核心是利用圆的轴对称性判断对称点仍在圆上，只要熟练掌握圆的基本性质和轴对称的特点，就能快速求出结果。
【难度系数】
0.9
