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12.若点 O 是等腰三角形ABC 的外心，$∠ BOC=60°$，底边 $BC=2$，求$△ ABC$ 的面积.
答案
12.【解】$\because$ 点 O 是$△ ABC$ 的外心,$AB=AC,OB=OC$,
$\therefore AO⊥ BC$.
设$AO$与$BC$相交于点$D$,则在等腰三角形 $BOC$ 中,有$BD=CD$.
$\because BC=2,∠ BOC=60°$,
$\therefore△ BOC$ 是等边三角形.
$\therefore OB=2,∠ BOD=30°$,则 $BD=1$.
由勾股定理,得 $OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{3}$.
如图①,当点 $A$ 在优弧上时,$AD=OA+OD=2+\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=2+\sqrt{3}$.
如图②,当点 $A$ 在劣弧上时,$AD=OA-OD=2-\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=2-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题时首先明确外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。已知△ABC是等腰三角形，结合外心性质可知外心O在底边BC的垂直平分线上，即AO所在直线垂直平分BC。首先根据∠BOC=60°、OB=OC可判定△BOC为等边三角形，求出外接圆半径和OD的长度。需注意分类讨论：等腰三角形的顶点A既可能在BC对应的优弧上，也可能在BC对应的劣弧上，两种情况对应的△ABC的高不同，分别计算高后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
$\because$ 点 O 是$△ ABC$ 的外心,$AB=AC,OB=OC$,
$\therefore AO⊥ BC$.
设$AO$与$BC$相交于点$D$,则在等腰三角形 $BOC$ 中,有$BD=CD$.
$\because BC=2,∠ BOC=60°$,
$\therefore△ BOC$ 是等边三角形.
$\therefore OB=2,∠ BOD=30°$,则 $BD=1$.
由勾股定理,得 $OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{3}$.
如图①,当点 $A$ 在优弧上时,$AD=OA+OD=2+\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=2+\sqrt{3}$.
如图②,当点 $A$ 在劣弧上时,$AD=OA-OD=2-\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=2-\sqrt{3}$.
【答案】
$△ ABC$的面积为$2+\sqrt{3}$或$2-\sqrt{3}$
【知识点】
三角形外心的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题时容易忽略顶点A在劣弧上的情况导致漏解，需要熟练掌握外心的性质，结合等腰、等边三角形的性质分步计算即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。已知△ABC是等腰三角形，结合外心性质可知外心O在底边BC的垂直平分线上，即AO所在直线垂直平分BC。首先根据∠BOC=60°、OB=OC可判定△BOC为等边三角形，求出外接圆半径和OD的长度。需注意分类讨论：等腰三角形的顶点A既可能在BC对应的优弧上，也可能在BC对应的劣弧上，两种情况对应的△ABC的高不同，分别计算高后代入三角形面积公式即可得到结果。
【解析】
$\because$ 点 O 是$△ ABC$ 的外心,$AB=AC,OB=OC$,
$\therefore AO⊥ BC$.
设$AO$与$BC$相交于点$D$,则在等腰三角形 $BOC$ 中,有$BD=CD$.
$\because BC=2,∠ BOC=60°$,
$\therefore△ BOC$ 是等边三角形.
$\therefore OB=2,∠ BOD=30°$,则 $BD=1$.
由勾股定理,得 $OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{3}$.
如图①,当点 $A$ 在优弧上时,$AD=OA+OD=2+\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=2+\sqrt{3}$.
如图②,当点 $A$ 在劣弧上时,$AD=OA-OD=2-\sqrt{3}$,
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=2-\sqrt{3}$.
【答案】
$△ ABC$的面积为$2+\sqrt{3}$或$2-\sqrt{3}$
【知识点】
三角形外心的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想，解题时容易忽略顶点A在劣弧上的情况导致漏解，需要熟练掌握外心的性质，结合等腰、等边三角形的性质分步计算即可。
【难度系数】
0.6
1.用反证法说明“一个三角形的内角中至多有一个角是钝角”时,假设正确的是(
A.假设至少有一个为钝角
B.假设至少有两个钝角
C.假设没有一个钝角
D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角
B
).A.假设至少有一个为钝角
B.假设至少有两个钝角
C.假设没有一个钝角
D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角
答案
1.B
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法的核心逻辑：第一步需要假设原命题的结论不成立，也就是找到原结论的反面表述。首先梳理原命题的结论：“一个三角形的内角中至多有一个角是钝角”，其中“至多有一个”的意思是钝角的数量≤1（即0个或1个钝角），它的反面就是钝角的数量＞1，也就是至少有2个钝角，据此即可选出正确选项。
【解析】
反证法的第一步为：假设待证命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论是“一个三角形的内角中至多有一个角是钝角”，“至多有一个钝角”等价于“钝角的个数为0或1”，其反面为“钝角的个数≥2”，即“至少有两个钝角”。
因此假设应为“假设至少有两个钝角”，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题关键是准确掌握“至多”“至少”这类常见限定量词的否定形式，熟悉反证法的假设规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确反证法的核心逻辑：第一步需要假设原命题的结论不成立，也就是找到原结论的反面表述。首先梳理原命题的结论：“一个三角形的内角中至多有一个角是钝角”，其中“至多有一个”的意思是钝角的数量≤1（即0个或1个钝角），它的反面就是钝角的数量＞1，也就是至少有2个钝角，据此即可选出正确选项。
【解析】
反证法的第一步为：假设待证命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论是“一个三角形的内角中至多有一个角是钝角”，“至多有一个钝角”等价于“钝角的个数为0或1”，其反面为“钝角的个数≥2”，即“至少有两个钝角”。
因此假设应为“假设至少有两个钝角”，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基本应用，解题关键是准确掌握“至多”“至少”这类常见限定量词的否定形式，熟悉反证法的假设规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,则以下列各组长度为边长的三角形中,外接圆的圆心在边上的是(
A.$a=5,b=12,c=11$
B.$a=5,b=12,c=12$
C.$a=5,b=12,c=13$
D.$a=5,b=12,c=14$
C
).A.$a=5,b=12,c=11$
B.$a=5,b=12,c=12$
C.$a=5,b=12,c=13$
D.$a=5,b=12,c=14$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确三角形外接圆圆心（外心）的位置和三角形形状的对应关系：外心在三角形边上的三角形是直角三角形，外心恰好是斜边的中点。因此问题转化为判断四个选项中哪组边长能构成直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
【解析】
三角形外接圆的圆心在边上时，该三角形为直角三角形，满足勾股定理的逆定理：两条较短边的平方和等于最长边的平方。
逐一验证选项：
A选项：最长边为12，$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$，$12^2 = 144$，$146 ≠ 144$，不能构成直角三角形，不符合要求；
B选项：最长边为12，$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$12^2 = 144$，$169 ≠ 144$，不能构成直角三角形，不符合要求；
C选项：最长边为13，$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，符合要求；
D选项：最长边为14，$5^2 + 12^2 = 169$，$14^2 = 196$，$169 ≠ 196$，不能构成直角三角形，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题将三角形外心的位置特征与勾股定理的逆定理结合考查，解题的关键是先由外心的位置反推三角形的形状，再通过计算验证即可，核心是对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确三角形外接圆圆心（外心）的位置和三角形形状的对应关系：外心在三角形边上的三角形是直角三角形，外心恰好是斜边的中点。因此问题转化为判断四个选项中哪组边长能构成直角三角形，可利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
【解析】
三角形外接圆的圆心在边上时，该三角形为直角三角形，满足勾股定理的逆定理：两条较短边的平方和等于最长边的平方。
逐一验证选项：
A选项：最长边为12，$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$，$12^2 = 144$，$146 ≠ 144$，不能构成直角三角形，不符合要求；
B选项：最长边为12，$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$12^2 = 144$，$169 ≠ 144$，不能构成直角三角形，不符合要求；
C选项：最长边为13，$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，符合要求；
D选项：最长边为14，$5^2 + 12^2 = 169$，$14^2 = 196$，$169 ≠ 196$，不能构成直角三角形，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题将三角形外心的位置特征与勾股定理的逆定理结合考查，解题的关键是先由外心的位置反推三角形的形状，再通过计算验证即可，核心是对基础概念的理解和运用。
【难度系数】
0.8
3.用反证法说明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，应假设
垂直于同一条直线的两条直线不平行
.答案
3.垂直于同一条直线的两条直线不平行
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法的基本步骤：用反证法证明命题时，第一步需要先假设原命题的结论不成立，也就是对原命题的结论做否定。首先拆分原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的结构：题设是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”，我们只需要否定原命题的结论，就能得到反证法对应的假设内容。
【解析】
反证法的首要步骤是假设原命题的结论不成立。
原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的结论为“两条直线平行”，对该结论进行否定，即可得到反证法的假设：垂直于同一条直线的两条直线不平行。
【答案】
垂直于同一条直线的两条直线不平行
【知识点】
反证法；命题的组成
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考查反证法的初始假设规则，解题关键是准确找出原命题的结论并对其进行否定，掌握反证法的基本流程就能快速作答。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确反证法的基本步骤：用反证法证明命题时，第一步需要先假设原命题的结论不成立，也就是对原命题的结论做否定。首先拆分原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的结构：题设是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”，我们只需要否定原命题的结论，就能得到反证法对应的假设内容。
【解析】
反证法的首要步骤是假设原命题的结论不成立。
原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的结论为“两条直线平行”，对该结论进行否定，即可得到反证法的假设：垂直于同一条直线的两条直线不平行。
【答案】
垂直于同一条直线的两条直线不平行
【知识点】
反证法；命题的组成
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心考查反证法的初始假设规则，解题关键是准确找出原命题的结论并对其进行否定，掌握反证法的基本流程就能快速作答。
【难度系数】
0.8
4.如图,已知E为直线l外一点,求证:过点E只能有一条直线垂直于l.用反证法说明此题的步骤包括:①在$△ EFG$中,$∠ 1+∠ 2+∠ 3＞180°$,这与三角形内角和定理矛盾;②假设过点E有两条直线EF,EG分别垂直l于F,G两点;③$∠ 2=90°$,$∠ 3=90°$;④过点E只有一条直线垂直于l.请按反证法的正确证明步骤排列出来
(第4题)
②③①④
(只写出步骤的标号即可). (第4题)答案
4.②③①④
解析
【分析】
反证法的解题逻辑分为三步：首先反设，即假设原命题的结论不成立；其次归谬，从假设出发进行推导，得到和已知定理、定义相矛盾的结果；最后下结论，说明假设错误，原命题成立。对应本题的步骤：第一步先做反设，对应步骤②；第二步根据假设结合垂直的定义推导角的度数，对应步骤③；第三步利用三角形内角和定理找到矛盾点，对应步骤①；最后推导原结论成立，对应步骤④，即可得到正确排序。
【解析】
反证法的证明流程如下：
1. 反设：假设原命题结论不成立，即②假设过点E有两条直线EF，EG分别垂直l于F，G两点；
2. 推导：根据垂直的定义，可得③$∠ 2=90°$，$∠ 3=90°$；
3. 归谬：在$△ EFG$中，$∠ 1+∠ 2+∠ 3=∠ 1+90°+90°=∠ 1+180°＞180°$，这与三角形内角和定理矛盾，对应步骤①；
4. 结论：假设不成立，原命题正确，即④过点E只有一条直线垂直于l。
因此正确的排序为②③①④。
【答案】
②③①④
【知识点】
反证法，三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题主要考查反证法的基本步骤，熟练掌握反证法“反设-归谬-结论”的核心流程就能快速解题。
【难度系数】
0.8
反证法的解题逻辑分为三步：首先反设，即假设原命题的结论不成立；其次归谬，从假设出发进行推导，得到和已知定理、定义相矛盾的结果；最后下结论，说明假设错误，原命题成立。对应本题的步骤：第一步先做反设，对应步骤②；第二步根据假设结合垂直的定义推导角的度数，对应步骤③；第三步利用三角形内角和定理找到矛盾点，对应步骤①；最后推导原结论成立，对应步骤④，即可得到正确排序。
【解析】
反证法的证明流程如下：
1. 反设：假设原命题结论不成立，即②假设过点E有两条直线EF，EG分别垂直l于F，G两点；
2. 推导：根据垂直的定义，可得③$∠ 2=90°$，$∠ 3=90°$；
3. 归谬：在$△ EFG$中，$∠ 1+∠ 2+∠ 3=∠ 1+90°+90°=∠ 1+180°＞180°$，这与三角形内角和定理矛盾，对应步骤①；
4. 结论：假设不成立，原命题正确，即④过点E只有一条直线垂直于l。
因此正确的排序为②③①④。
【答案】
②③①④
【知识点】
反证法，三角形内角和定理，垂直的定义
【点评】
本题主要考查反证法的基本步骤，熟练掌握反证法“反设-归谬-结论”的核心流程就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5.已知平面上有四个点，任何三点不共线.用反证法说明：以每三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.
答案
5.【解】假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形,记这四个顶点分别为 $A,B,C,D$,考虑点 $D$ 在 $ABC$ 内、外两种情形.
(1)如图①,点 $D$ 在 $ABC$ 内.
$\because△ ABD,△ BDC,△ ADC$ 都是锐角三角形,
$\therefore∠ ADB＜90°,∠ BDC＜90°,∠ ADC＜90°$.
$\therefore∠ ADB+∠ BDC+∠ ADC＜270°$.
这与一个周角等于 $360°$矛盾.
(2)如图②,点 $D$ 在 $ABC$ 外.
$\because△ ABD,△ BDC,△ ADC,△ ABC$ 都是锐角三角形,
$\therefore∠ BAD＜90°,∠ BCD＜90°,∠ ADC＜90°,∠ ABC＜90°$.
$\therefore∠ BAD +∠ BCD+∠ ADC+∠ ABC＜360°$.
这与四边形 $ABCD$ 的内角和为 $360°$矛盾.
综合(1)(2)可知,假设不成立.
$\therefore$ 原结论正确.
解析
【分析】
使用反证法证明该结论需遵循反证法的常规步骤：第一步先反设，即假设“以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形”成立；其次结合平面内无三点共线的四点的位置关系，第四个点要么在另外三点构成的三角形内部，要么在外部，分这两种情况分别推导，验证是否与已知定理产生矛盾；若两种情况均推出矛盾，即可说明假设不成立，原结论正确。
【解析】
证明：假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，记四个顶点分别为$A,B,C,D$，分两种情况讨论：
(1) 点$D$在$△ ABC$内（如图①）：
$\because △ ABD、△ BDC、△ ADC$都是锐角三角形
$\therefore ∠ ADB＜90°,∠ BDC＜90°,∠ ADC＜90°$
$\therefore ∠ ADB+∠ BDC+∠ ADC＜90°×3=270°$
而点$D$处三个角构成周角，和为$360°$，与上述结论矛盾。
(2) 点$D$在$△ ABC$外（如图②）：
$\because △ ABD、△ BDC、△ ADC、△ ABC$都是锐角三角形
$\therefore ∠ BAD＜90°,∠ BCD＜90°,∠ ADC＜90°,∠ ABC＜90°$
$\therefore ∠ BAD+∠ BCD+∠ ADC+∠ ABC＜90°×4=360°$
而四边形$ABCD$的内角和为$(4-2)×180°=360°$，与上述结论矛盾。
综合(1)(2)可知，假设不成立，因此原结论正确。
【答案】
假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形,记这四个顶点分别为 $A,B,C,D$,考虑点 $D$ 在 $ABC$ 内、外两种情形.
(1)如图①,点 $D$ 在 $ABC$ 内.
$\because△ ABD,△ BDC,△ ADC$ 都是锐角三角形,
$\therefore∠ ADB＜90°,∠ BDC＜90°,∠ ADC＜90°$.
$\therefore∠ ADB+∠ BDC+∠ ADC＜270°$.
这与一个周角等于 $360°$矛盾.
(2)如图②,点 $D$ 在 $ABC$ 外.
$\because△ ABD,△ BDC,△ ADC,△ ABC$ 都是锐角三角形,
$\therefore∠ BAD＜90°,∠ BCD＜90°,∠ ADC＜90°,∠ ABC＜90°$.
$\therefore∠ BAD +∠ BCD+∠ ADC+∠ ABC＜360°$.
这与四边形 $ABCD$ 的内角和为 $360°$矛盾.
综合(1)(2)可知,假设不成立.
$\therefore$ 原结论正确.
【知识点】
反证法，周角的性质，多边形内角和
【点评】
本题考查反证法的应用，解题关键是对第四个点的位置合理分类讨论，结合已学的角的性质推导矛盾，能够锻炼逻辑推理能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
使用反证法证明该结论需遵循反证法的常规步骤：第一步先反设，即假设“以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形”成立；其次结合平面内无三点共线的四点的位置关系，第四个点要么在另外三点构成的三角形内部，要么在外部，分这两种情况分别推导，验证是否与已知定理产生矛盾；若两种情况均推出矛盾，即可说明假设不成立，原结论正确。
【解析】
证明：假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，记四个顶点分别为$A,B,C,D$，分两种情况讨论：
(1) 点$D$在$△ ABC$内（如图①）：
$\because △ ABD、△ BDC、△ ADC$都是锐角三角形
$\therefore ∠ ADB＜90°,∠ BDC＜90°,∠ ADC＜90°$
$\therefore ∠ ADB+∠ BDC+∠ ADC＜90°×3=270°$
而点$D$处三个角构成周角，和为$360°$，与上述结论矛盾。
(2) 点$D$在$△ ABC$外（如图②）：
$\because △ ABD、△ BDC、△ ADC、△ ABC$都是锐角三角形
$\therefore ∠ BAD＜90°,∠ BCD＜90°,∠ ADC＜90°,∠ ABC＜90°$
$\therefore ∠ BAD+∠ BCD+∠ ADC+∠ ABC＜90°×4=360°$
而四边形$ABCD$的内角和为$(4-2)×180°=360°$，与上述结论矛盾。
综合(1)(2)可知，假设不成立，因此原结论正确。
【答案】
假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形,记这四个顶点分别为 $A,B,C,D$,考虑点 $D$ 在 $ABC$ 内、外两种情形.
(1)如图①,点 $D$ 在 $ABC$ 内.
$\because△ ABD,△ BDC,△ ADC$ 都是锐角三角形,
$\therefore∠ ADB＜90°,∠ BDC＜90°,∠ ADC＜90°$.
$\therefore∠ ADB+∠ BDC+∠ ADC＜270°$.
这与一个周角等于 $360°$矛盾.
(2)如图②,点 $D$ 在 $ABC$ 外.
$\because△ ABD,△ BDC,△ ADC,△ ABC$ 都是锐角三角形,
$\therefore∠ BAD＜90°,∠ BCD＜90°,∠ ADC＜90°,∠ ABC＜90°$.
$\therefore∠ BAD +∠ BCD+∠ ADC+∠ ABC＜360°$.
这与四边形 $ABCD$ 的内角和为 $360°$矛盾.
综合(1)(2)可知,假设不成立.
$\therefore$ 原结论正确.
【知识点】
反证法，周角的性质，多边形内角和
【点评】
本题考查反证法的应用，解题关键是对第四个点的位置合理分类讨论，结合已学的角的性质推导矛盾，能够锻炼逻辑推理能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.6
