登录
7.刻度尺与$\odot O$按如图所示的方式摆放时，有刻度的一边与$\odot O$的两个交点处的读数如图所示(单位:cm)，已知$\odot O$的半径是5 cm，则圆心O到刻度尺的最小距离为
3
cm.答案
7.3
解析
【分析】
解题时首先读取刻度尺与圆两个交点的读数，先求出弦的总长度；再利用垂径定理得到半弦长，最后以半径、半弦长、圆心到刻度尺的距离为三边构造直角三角形，通过勾股定理即可求出所求距离。
【解析】
首先读取刻度尺与$\odot O$两个交点的读数，分别为$1\ \mathrm{cm}$和$9\ \mathrm{cm}$，因此该弦的长度为：
$9-1=8\ \mathrm{cm}$
过圆心$O$作刻度尺所在直线的垂线，垂足为$C$，根据垂径定理，垂足平分弦，因此半弦长为：
$\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
已知$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$，在由半径、半弦长、圆心到刻度尺的距离构成的直角三角形中，根据勾股定理，圆心到刻度尺的距离为：
$\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，解题关键是准确获取弦长信息，构造直角三角形结合勾股定理计算未知线段长度，难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先读取刻度尺与圆两个交点的读数，先求出弦的总长度；再利用垂径定理得到半弦长，最后以半径、半弦长、圆心到刻度尺的距离为三边构造直角三角形，通过勾股定理即可求出所求距离。
【解析】
首先读取刻度尺与$\odot O$两个交点的读数，分别为$1\ \mathrm{cm}$和$9\ \mathrm{cm}$，因此该弦的长度为：
$9-1=8\ \mathrm{cm}$
过圆心$O$作刻度尺所在直线的垂线，垂足为$C$，根据垂径定理，垂足平分弦，因此半弦长为：
$\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
已知$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$，在由半径、半弦长、圆心到刻度尺的距离构成的直角三角形中，根据勾股定理，圆心到刻度尺的距离为：
$\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，解题关键是准确获取弦长信息，构造直角三角形结合勾股定理计算未知线段长度，难度较低。
【难度系数】
0.7
8.如图，MN是$\odot O$的直径，弦AB垂直平分半径OM，垂足为H，弦AD$//$MN，若AD=2，则MN的长为
4
.答案
8.4 【提示】如图,连接AO,AM,DO.
∵AB垂直平分OM，
∴AO=AM.
∴△OAM为等边三角形.
∵AD//MN，
∴∠AOM=∠OAD=60°.
∴△AOD为等边三角形.
∴AD=OA.
∵AD=2,
∴MN=2OA=2AD=4.
解析
【分析】
求解本题首先需连接圆的半径构造辅助三角形：第一步，利用AB垂直平分OM的条件，结合垂直平分线的性质可得AO=AM，再结合圆的半径相等，可判定△OAM为等边三角形，得到∠AOM=60°；第二步，根据AD//MN的平行关系，由内错角相等推出∠OAD=60°，结合OA=OD可判定△AOD为等边三角形，得到AD与半径OA的等量关系；第三步，根据直径是半径的2倍，即可求出MN的长度。
【解析】
如图，连接AO,AM,DO.
∵AB垂直平分OM，
∴AO=AM.
∵AO、OM都是⊙O的半径，
∴AO=OM=AM，即△OAM为等边三角形，
∴∠AOM=60°.
∵AD//MN，
∴∠AOM=∠OAD=60°.
又
∵OA、OD都是⊙O的半径，即OA=OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴AD=OA.
∵AD=2，
∴OA=2，
∴MN=2OA=2×2=4.
【答案】
4
【知识点】
垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合应用题，解题的核心是通过连接半径构造特殊三角形，结合线段垂直平分线、平行线的性质推导等边三角形，建立已知线段与圆半径的关系，进而求出直径长度。
【难度系数】
0.7
求解本题首先需连接圆的半径构造辅助三角形：第一步，利用AB垂直平分OM的条件，结合垂直平分线的性质可得AO=AM，再结合圆的半径相等，可判定△OAM为等边三角形，得到∠AOM=60°；第二步，根据AD//MN的平行关系，由内错角相等推出∠OAD=60°，结合OA=OD可判定△AOD为等边三角形，得到AD与半径OA的等量关系；第三步，根据直径是半径的2倍，即可求出MN的长度。
【解析】
如图，连接AO,AM,DO.
∵AB垂直平分OM，
∴AO=AM.
∵AO、OM都是⊙O的半径，
∴AO=OM=AM，即△OAM为等边三角形，
∴∠AOM=60°.
∵AD//MN，
∴∠AOM=∠OAD=60°.
又
∵OA、OD都是⊙O的半径，即OA=OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴AD=OA.
∵AD=2，
∴OA=2，
∴MN=2OA=2×2=4.
【答案】
4
【知识点】
垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础综合应用题，解题的核心是通过连接半径构造特殊三角形，结合线段垂直平分线、平行线的性质推导等边三角形，建立已知线段与圆半径的关系，进而求出直径长度。
【难度系数】
0.7
9.如图，AB是$\odot O$的直径，交弦CD于点E，E是CD的中点，若$CD=8$，$BE=2$，则$\odot O$的半径为
5
。答案
9.5
解析
【分析】
首先结合已知条件思考：AB是⊙O的直径，且E是弦CD的中点，根据垂径定理的推论可推出AB⊥CD，进而得到直角三角形OCE。要求圆的半径，可设半径为r，将OC、OE的长度用含r的式子表示，再利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，E是CD的中点，
∴由垂径定理得：$AB⊥ CD$，$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
设⊙O的半径为r，则$OC=OB=r$，
∵$BE=2$，
∴$OE=OB-BE=r-2$。
在$Rt△ OCE$中，根据勾股定理有$OC^2=OE^2+CE^2$，
代入数值：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得：$r^2=r^2-4r+4+16$，
整理得$4r=20$，解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆中线段计算的典型基础题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，掌握垂径定理构造直角三角形的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
首先结合已知条件思考：AB是⊙O的直径，且E是弦CD的中点，根据垂径定理的推论可推出AB⊥CD，进而得到直角三角形OCE。要求圆的半径，可设半径为r，将OC、OE的长度用含r的式子表示，再利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，E是CD的中点，
∴由垂径定理得：$AB⊥ CD$，$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
设⊙O的半径为r，则$OC=OB=r$，
∵$BE=2$，
∴$OE=OB-BE=r-2$。
在$Rt△ OCE$中，根据勾股定理有$OC^2=OE^2+CE^2$，
代入数值：$r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得：$r^2=r^2-4r+4+16$，
整理得$4r=20$，解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是圆中线段计算的典型基础题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，掌握垂径定理构造直角三角形的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
10.如图，AB是$\odot O$的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交$\odot O$于点E，若$AC=4\sqrt{2}$，$DE=4$，则BC的长是________。
答案
10.2 【提示】
∵OD⊥AC,AC=4√2，
∴AD=CD=2√2.
∵DE=4,
∴OA=OE=4−OD.
由勾股定理,得OA²=AD²+OD²，
∴(4−OD)²=(2√2)²+OD².
解得OD=1.
∵OA=OB,
∴BC=2OD=2.
∵OD⊥AC,AC=4√2，
∴AD=CD=2√2.
∵DE=4,
∴OA=OE=4−OD.
由勾股定理,得OA²=AD²+OD²，
∴(4−OD)²=(2√2)²+OD².
解得OD=1.
∵OA=OB,
∴BC=2OD=2.
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件OD⊥AC，结合垂径定理可得到AC的中点D，求出AD的长度；观察图形可知O是AB中点，D是AC中点，因此OD是△ABC的中位线，可得BC=2OD，故只需算出OD的长度即可求解；设OD的长为x，结合DE=4可得半径OA=OE=4-x，在Rt△ADO中利用勾股定理列方程求解出x，就能得到BC的长度。
【解析】
解：
∵OD⊥AC，$AC=4\sqrt{2}$，根据垂径定理，
∴$AD=DC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$。
设$OD=x$，
∵$DE=4$，DE是过圆心的线段，OE是$\odot O$的半径，
∴$OA=OE=DE-OD=4-x$。
在$Rt△ ADO$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$(4-x)^2=(2\sqrt{2})^2+x^2$，
展开计算：$16-8x+x^2=8+x^2$，
化简得：$8x=8$，解得$x=1$，即$OD=1$。
又
∵O是AB的中点，D是AC的中点，
∴OD是$△ ABC$的中位线，
∴$BC=2OD=2×1=2$。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆性质的常规综合题，将垂径定理、勾股定理与三角形中位线性质结合考查，解题的关键是明确所求线段与已知线段的关联，通过方程思想求出中间线段长度即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知条件OD⊥AC，结合垂径定理可得到AC的中点D，求出AD的长度；观察图形可知O是AB中点，D是AC中点，因此OD是△ABC的中位线，可得BC=2OD，故只需算出OD的长度即可求解；设OD的长为x，结合DE=4可得半径OA=OE=4-x，在Rt△ADO中利用勾股定理列方程求解出x，就能得到BC的长度。
【解析】
解：
∵OD⊥AC，$AC=4\sqrt{2}$，根据垂径定理，
∴$AD=DC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$。
设$OD=x$，
∵$DE=4$，DE是过圆心的线段，OE是$\odot O$的半径，
∴$OA=OE=DE-OD=4-x$。
在$Rt△ ADO$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$(4-x)^2=(2\sqrt{2})^2+x^2$，
展开计算：$16-8x+x^2=8+x^2$，
化简得：$8x=8$，解得$x=1$，即$OD=1$。
又
∵O是AB的中点，D是AC的中点，
∴OD是$△ ABC$的中位线，
∴$BC=2OD=2×1=2$。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆性质的常规综合题，将垂径定理、勾股定理与三角形中位线性质结合考查，解题的关键是明确所求线段与已知线段的关联，通过方程思想求出中间线段长度即可得到结果。
【难度系数】
0.7
11.如图，线段$AB=10$，$AC=8$，点$D$，$E$在以$AB$为直径的半圆$O$上，且四边形$ACDE$是平行四边形，过点$O$作$OF⊥DE$于点$F$。
(1)求线段$OF$的长；
(2)求线段$AE$的长。
(1)求线段$OF$的长；
(2)求线段$AE$的长。
答案
11.【解】(1)如图,连接OE.
∵四边形ACDE是平行四边形,AC=8，
∴ED//AB,DE=AC=8.
∵OF⊥DE,
∴EF=4.
∵AB=10,
∴OE=OA=5.
由勾股定理,得OF=√(OE²−EF²)=3.
(2)如图,过点E作EH⊥AB,垂足为H.
∴EH=FO=3,EH//FO.可得四边形OFEH为矩形.
∴HO=EF=4.
∴AH=OA−OH=1.
由勾股定理,得AE=√(AH²+EH²)=√10.
解析
【分析】
(1) 求解OF的长时，可通过构造直角三角形利用勾股定理计算：首先连接半径OE，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到DE=AC=8且DE//AB；结合OF⊥DE，根据垂径定理可得EF为DE的一半，即EF=4；再由AB为半圆直径得到半径OE=5，最后在Rt△OEF中用勾股定理即可求出OF。
(2) 求解AE的长时，可过E作EH⊥AB构造Rt△AEH：由DE//AB可知平行线间的距离相等，即EH=OF=3；同时可证四边形OFEH是矩形，得到OH=EF=4，结合OA=5算出AH=1，最后在Rt△AEH中用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
(1) 连接OE，
∵四边形ACDE是平行四边形，AC=8，
∴ED//AB，DE=AC=8，
∵OF⊥DE，
∴EF=$\frac{1}{2}$DE=4，
∵AB=10，AB是半圆O的直径，
∴OE=OA=$\frac{1}{2}$AB=5，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：
OF=$\sqrt{OE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
(2) 过点E作EH⊥AB，垂足为H，
∵ED//AB，OF⊥DE，
∴EH=FO=3，且EH//FO，
∴四边形OFEH为矩形，
∴HO=EF=4，
∵OA=5，
∴AH=OA-OH=5-4=1，
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
AE=$\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 线段OF的长为3；
(2) 线段AE的长为$\sqrt{10}$。
【知识点】
垂径定理；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆相关的基础综合题，需要结合平行四边形性质转化线段关系，通过合理作辅助线构造直角三角形求解，解题的核心是掌握垂径定理的应用，熟练运用勾股定理计算直角三角形边长。
【难度系数】
0.7
(1) 求解OF的长时，可通过构造直角三角形利用勾股定理计算：首先连接半径OE，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到DE=AC=8且DE//AB；结合OF⊥DE，根据垂径定理可得EF为DE的一半，即EF=4；再由AB为半圆直径得到半径OE=5，最后在Rt△OEF中用勾股定理即可求出OF。
(2) 求解AE的长时，可过E作EH⊥AB构造Rt△AEH：由DE//AB可知平行线间的距离相等，即EH=OF=3；同时可证四边形OFEH是矩形，得到OH=EF=4，结合OA=5算出AH=1，最后在Rt△AEH中用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
(1) 连接OE，
∵四边形ACDE是平行四边形，AC=8，
∴ED//AB，DE=AC=8，
∵OF⊥DE，
∴EF=$\frac{1}{2}$DE=4，
∵AB=10，AB是半圆O的直径，
∴OE=OA=$\frac{1}{2}$AB=5，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：
OF=$\sqrt{OE^2-EF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
(2) 过点E作EH⊥AB，垂足为H，
∵ED//AB，OF⊥DE，
∴EH=FO=3，且EH//FO，
∴四边形OFEH为矩形，
∴HO=EF=4，
∵OA=5，
∴AH=OA-OH=5-4=1，
在Rt△AEH中，由勾股定理得：
AE=$\sqrt{AH^2+EH^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 线段OF的长为3；
(2) 线段AE的长为$\sqrt{10}$。
【知识点】
垂径定理；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆相关的基础综合题，需要结合平行四边形性质转化线段关系，通过合理作辅助线构造直角三角形求解，解题的核心是掌握垂径定理的应用，熟练运用勾股定理计算直角三角形边长。
【难度系数】
0.7
12.如图，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$，垂足为E，$BO⊥ AC$，垂足为F.
(1)求$∠ BAC$的度数；
(2)若$AB=2\sqrt{3}$，求$\odot O$的半径.
(1)求$∠ BAC$的度数；
(2)若$AB=2\sqrt{3}$，求$\odot O$的半径.
答案
12.【解】(1)如图,连接BC.
∵BO⊥AC,垂足为F，
∴AF=CF.
∴BC=BA.
同理可得CA=CB.
∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC=60°.
(2)如图,连接OA,设⊙O的半径为x.
∵AB=2√3,CD为⊙O的直径,AB⊥CD，
∴AE=√3,AC=AB=2√3.
在Rt△ACE中,CE=√(AC²−AE²)=3.
在Rt△AOE中,OA²=AE²+OE²，
∴x²=(√3)²+(3−x)².解得x=2.
∴⊙O的半径为2.
解析
【分析】
(1) 要求∠BAC的度数，首先观察题中给出的两个垂直条件：BO⊥AC、CD⊥AB，均符合垂径定理的使用条件。首先由BO⊥AC，根据垂径定理可得BO垂直平分AC，因此AB=BC；再由CD⊥AB，同理可得CD垂直平分AB，因此AC=BC，即可推出△ABC为等边三角形，进而得到∠BAC的度数。
(2) 求圆的半径，常用勾股定理结合方程思想求解。首先由垂径定理得到AE的长度，结合第一问结论得到AC的长度，先在Rt△ACE中求出CE的长度；再设半径为x，将OE用含x的代数式表示，在Rt△AOE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接BC，
∵BO⊥AC，垂足为F，
∴根据垂径定理，AF=CF，即BO垂直平分AC，
∴BC=BA。
同理，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD垂直平分AB，
∴CA=CB。
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°。
(2) 连接OA，设⊙O的半径为x。
∵AB=2√3，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴根据垂径定理，AE=1/2AB=√3，
由(1)知AC=AB=2√3，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE=√(AC²−AE²)=√[(2√3)² - (√3)²]=√(12-3)=3。
∵OC=x，
∴OE=CE - OC=3 - x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得OA²=AE²+OE²，
代入得：x²=(√3)²+(3−x)²，
展开得：x²=3 + 9 - 6x + x²，
化简得6x=12，解得x=2。
即⊙O的半径为2。
【答案】
(1)如图,连接BC.
∵BO⊥AC,垂足为F，
∴AF=CF.
∴BC=BA.
同理可得CA=CB.
∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC=60°.
(2)如图,连接OA,设⊙O的半径为x.
∵AB=2√3,CD为⊙O的直径,AB⊥CD，
∴AE=√3,AC=AB=2√3.
在Rt△ACE中,CE=√(AC²−AE²)=3.
在Rt△AOE中,OA²=AE²+OE²，
∴x²=(√3)²+(3−x)².解得x=2.
∴⊙O的半径为2.
【知识点】
垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的典型综合题，解题的关键是灵活运用垂径定理得到相等的线段，结合等边三角形的性质，利用方程思想结合勾股定理求解半径，能较好地考查学生对圆的基础性质的掌握程度和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠BAC的度数，首先观察题中给出的两个垂直条件：BO⊥AC、CD⊥AB，均符合垂径定理的使用条件。首先由BO⊥AC，根据垂径定理可得BO垂直平分AC，因此AB=BC；再由CD⊥AB，同理可得CD垂直平分AB，因此AC=BC，即可推出△ABC为等边三角形，进而得到∠BAC的度数。
(2) 求圆的半径，常用勾股定理结合方程思想求解。首先由垂径定理得到AE的长度，结合第一问结论得到AC的长度，先在Rt△ACE中求出CE的长度；再设半径为x，将OE用含x的代数式表示，在Rt△AOE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接BC，
∵BO⊥AC，垂足为F，
∴根据垂径定理，AF=CF，即BO垂直平分AC，
∴BC=BA。
同理，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CD垂直平分AB，
∴CA=CB。
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°。
(2) 连接OA，设⊙O的半径为x。
∵AB=2√3，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴根据垂径定理，AE=1/2AB=√3，
由(1)知AC=AB=2√3，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE=√(AC²−AE²)=√[(2√3)² - (√3)²]=√(12-3)=3。
∵OC=x，
∴OE=CE - OC=3 - x，
在Rt△AOE中，由勾股定理得OA²=AE²+OE²，
代入得：x²=(√3)²+(3−x)²，
展开得：x²=3 + 9 - 6x + x²，
化简得6x=12，解得x=2。
即⊙O的半径为2。
【答案】
(1)如图,连接BC.
∵BO⊥AC,垂足为F，
∴AF=CF.
∴BC=BA.
同理可得CA=CB.
∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC=60°.
(2)如图,连接OA,设⊙O的半径为x.
∵AB=2√3,CD为⊙O的直径,AB⊥CD，
∴AE=√3,AC=AB=2√3.
在Rt△ACE中,CE=√(AC²−AE²)=3.
在Rt△AOE中,OA²=AE²+OE²，
∴x²=(√3)²+(3−x)².解得x=2.
∴⊙O的半径为2.
【知识点】
垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的典型综合题，解题的关键是灵活运用垂径定理得到相等的线段，结合等边三角形的性质，利用方程思想结合勾股定理求解半径，能较好地考查学生对圆的基础性质的掌握程度和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
