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1.如图，CD是$\odot O$的弦，直径$AB⊥ CD$，垂足为$E$.若$AB=12$，$BE=3$，则四边形$ACBD$的面积为(
A.$36\sqrt{3}$
B.$24\sqrt{3}$
C.$18\sqrt{3}$
D.$72\sqrt{3}$
A
).A.$36\sqrt{3}$
B.$24\sqrt{3}$
C.$18\sqrt{3}$
D.$72\sqrt{3}$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①AB是直径长12，可先求出圆的半径为6，结合BE=3算出OE的长度；②根据直径AB⊥CD，想到垂径定理可得CE=DE，连接OC，在直角三角形OCE中用勾股定理求出CE的长，进而得到CD的长度；③观察四边形ACBD的对角线AB与CD互相垂直，利用对角线互相垂直的四边形面积等于两条对角线乘积的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=12$，
∴$OC=OB=\frac{1}{2}AB=6$，
∵$BE=3$，
∴$OE=OB-BE=6-3=3$，
∵$AB⊥CD$，
∴由垂径定理得：$CE=DE$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
∴$CD=2CE=6\sqrt{3}$，
∵$AB⊥CD$，
∴四边形$ACBD$的面积$S=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×12×6\sqrt{3}=36\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的核心是熟练运用垂径定理得到弦长CD的长度，再结合特殊四边形的面积公式求解，掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①AB是直径长12，可先求出圆的半径为6，结合BE=3算出OE的长度；②根据直径AB⊥CD，想到垂径定理可得CE=DE，连接OC，在直角三角形OCE中用勾股定理求出CE的长，进而得到CD的长度；③观察四边形ACBD的对角线AB与CD互相垂直，利用对角线互相垂直的四边形面积等于两条对角线乘积的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=12$，
∴$OC=OB=\frac{1}{2}AB=6$，
∵$BE=3$，
∴$OE=OB-BE=6-3=3$，
∵$AB⊥CD$，
∴由垂径定理得：$CE=DE$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
∴$CD=2CE=6\sqrt{3}$，
∵$AB⊥CD$，
∴四边形$ACBD$的面积$S=\frac{1}{2}×AB×CD=\frac{1}{2}×12×6\sqrt{3}=36\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；对角线垂直的四边形面积计算
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的核心是熟练运用垂径定理得到弦长CD的长度，再结合特殊四边形的面积公式求解，掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2.如图,在半径为5的$\odot O$中,弦$BC=8$,P是弦BC上一动点(不与点B,C重合),过点P作$PA⊥ OP$,交$\odot O$于点A,则PA的最大值为(
A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.4
D.8
C
).A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.4
D.8
答案
2.C
解析
【分析】
首先观察到△OPA为直角三角形，结合勾股定理可得到PA与OP的数量关系：OA为定值（圆的半径），因此要使PA最大，需使OP的长度最小。根据点到直线垂线段最短的性质，可知当OP垂直于BC时OP最小，再结合垂径定理和勾股定理计算出OP的最小值，即可求出PA的最大值。
【解析】
连接OA，
∵PA⊥OP，
∴∠OPA=90°，
在Rt△OPA中，由勾股定理可得：$\boldsymbol{PA^2 + OP^2 = OA^2}$，
已知⊙O半径为5，故OA=5，代入得：$PA^2=25-OP^2$，即$PA=\sqrt{25-OP^2}$，
因此要使PA最大，需使OP长度最小。
根据垂线段最短的性质，当OP⊥BC时，OP长度最小。
过O作OD⊥BC于点D，由垂径定理得：$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
在Rt△OBD中，OB=5，BD=4，
∴$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即OP的最小值为3，
代入PA的表达式可得PA的最大值为：$\sqrt{25-3^2}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题将线段最值问题转化为另一条线段的最值问题求解，结合圆的性质和直角三角形的相关定理即可得出结果，解题过程中体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
首先观察到△OPA为直角三角形，结合勾股定理可得到PA与OP的数量关系：OA为定值（圆的半径），因此要使PA最大，需使OP的长度最小。根据点到直线垂线段最短的性质，可知当OP垂直于BC时OP最小，再结合垂径定理和勾股定理计算出OP的最小值，即可求出PA的最大值。
【解析】
连接OA，
∵PA⊥OP，
∴∠OPA=90°，
在Rt△OPA中，由勾股定理可得：$\boldsymbol{PA^2 + OP^2 = OA^2}$，
已知⊙O半径为5，故OA=5，代入得：$PA^2=25-OP^2$，即$PA=\sqrt{25-OP^2}$，
因此要使PA最大，需使OP长度最小。
根据垂线段最短的性质，当OP⊥BC时，OP长度最小。
过O作OD⊥BC于点D，由垂径定理得：$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
在Rt△OBD中，OB=5，BD=4，
∴$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即OP的最小值为3，
代入PA的表达式可得PA的最大值为：$\sqrt{25-3^2}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题将线段最值问题转化为另一条线段的最值问题求解，结合圆的性质和直角三角形的相关定理即可得出结果，解题过程中体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
3.如图,在$\odot O$中,弦$CD ⊥ AB$,垂足为E.若$\odot O$的半径为10,$AB=CD=16$,则OE的长是
6√2
.答案
3.6√2 【提示】如图,过点O作OF⊥AB，OG⊥CD,垂足分别为F,G,连接OA,OC.
∵AB=CD=16,
∴AF=CG=8.
∵OA=OC=10,
∴OF=OG=6.
由CD⊥AB,可得四边形OFEG为正方形.
∴EF=OF.
∴OE=√(OF²+EF²)=6√2.
解析
【分析】
遇到圆中弦长计算问题，通常过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，结合半径通过勾股定理求出弦心距。本题中两条弦互相垂直，作出两条弦的弦心距后，可先证明围成的四边形是矩形，再由两条弦长度相等得到弦心距相等，进一步得到四边形为正方形，最后在直角三角形中用勾股定理即可求出OE的长度。
【解析】
解：过点O作$OF⊥AB$，$OG⊥CD$，垂足分别为F、G，连接$OA$、$OC$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∵$AB=CD=16$，
∴$AF=\frac{1}{2}AB=8$，$CG=\frac{1}{2}CD=8$。
在$Rt△OAF$中，$OA=10$，$AF=8$，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
同理可得$OG=\sqrt{OC^2-CG^2}=6$，
∴$OF=OG$。
∵$CD⊥AB$，$OF⊥AB$，$OG⊥CD$，
∴$∠OFE=∠OGE=∠FEG=90°$，
∴四边形$OFEG$是矩形，
又
∵$OF=OG$，
∴矩形$OFEG$是正方形，
∴$EF=OF=6$。
在$Rt△OFE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，核心考查“遇弦作弦心距”的常用辅助线作法，将圆的性质与特殊四边形、勾股定理结合考查，需要熟练掌握各知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
遇到圆中弦长计算问题，通常过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，结合半径通过勾股定理求出弦心距。本题中两条弦互相垂直，作出两条弦的弦心距后，可先证明围成的四边形是矩形，再由两条弦长度相等得到弦心距相等，进一步得到四边形为正方形，最后在直角三角形中用勾股定理即可求出OE的长度。
【解析】
解：过点O作$OF⊥AB$，$OG⊥CD$，垂足分别为F、G，连接$OA$、$OC$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∵$AB=CD=16$，
∴$AF=\frac{1}{2}AB=8$，$CG=\frac{1}{2}CD=8$。
在$Rt△OAF$中，$OA=10$，$AF=8$，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
同理可得$OG=\sqrt{OC^2-CG^2}=6$，
∴$OF=OG$。
∵$CD⊥AB$，$OF⊥AB$，$OG⊥CD$，
∴$∠OFE=∠OGE=∠FEG=90°$，
∴四边形$OFEG$是矩形，
又
∵$OF=OG$，
∴矩形$OFEG$是正方形，
∴$EF=OF=6$。
在$Rt△OFE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，核心考查“遇弦作弦心距”的常用辅助线作法，将圆的性质与特殊四边形、勾股定理结合考查，需要熟练掌握各知识点的综合应用。
【难度系数】
0.7
4.如图，$\odot O$的半径$OD$垂直于弦$AB$，垂足为$C$，连接$AO$并延长交$\odot O$于点$E$，连接$BE$，$CE$。若$AB=8$，$CD=2$，则$△ BCE$的面积为________。
答案
4.12 【提示】设⊙O的半径为x,则有x²=4²+(x−2)².解得x=5.
∴OC=3.
∵OA=OE,CA=CB，
∴BE=2OC=6,∠ABE=∠ACO=90°.
∴△BCE的面积为1/2 BC·BE=1/2×4×6=12.
∴OC=3.
∵OA=OE,CA=CB，
∴BE=2OC=6,∠ABE=∠ACO=90°.
∴△BCE的面积为1/2 BC·BE=1/2×4×6=12.
解析
【分析】
首先根据垂径定理，由OD垂直AB可直接得到AC=BC=AB的一半即4，要求△BCE的面积，已知BC长度，只需求出BC边上的高即可。接下来设圆的半径为x，在Rt△OAC中，OA为半径x，OC为半径减去CD即x-2，结合勾股定理列方程可求出半径长，进而得到OC的长度。再根据O是AE中点、C是AB中点，可知OC是△ABE的中位线，由此可得BE的长度且BE垂直AB，BE就是△BCE中BC边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OD是⊙O的半径，AB是弦，
∴根据垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
设⊙O的半径为$x$，则$OA=OD=x$，$OC=OD-CD=x-2$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得：$x^2=4^2+(x-2)^2$，
展开化简得$4x=20$，解得$x=5$，
∴$OC=5-2=3$。
∵O是AE的中点，C是AB的中点，
∴OC是△ABE的中位线，
∴$BE=2OC=2×3=6$，且$BE// OC$，
∵OC⊥AB，
∴BE⊥AB，即BE是△BCE中BC边上的高，
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×BC×BE=\frac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的突破口是利用垂径定理得到等分线段，再结合勾股定理求出圆的半径，最后借助中位线的性质得到三角形的高，整体思路清晰，属于需要熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7
首先根据垂径定理，由OD垂直AB可直接得到AC=BC=AB的一半即4，要求△BCE的面积，已知BC长度，只需求出BC边上的高即可。接下来设圆的半径为x，在Rt△OAC中，OA为半径x，OC为半径减去CD即x-2，结合勾股定理列方程可求出半径长，进而得到OC的长度。再根据O是AE中点、C是AB中点，可知OC是△ABE的中位线，由此可得BE的长度且BE垂直AB，BE就是△BCE中BC边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OD是⊙O的半径，AB是弦，
∴根据垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
设⊙O的半径为$x$，则$OA=OD=x$，$OC=OD-CD=x-2$，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得：$x^2=4^2+(x-2)^2$，
展开化简得$4x=20$，解得$x=5$，
∴$OC=5-2=3$。
∵O是AE的中点，C是AB的中点，
∴OC是△ABE的中位线，
∴$BE=2OC=2×3=6$，且$BE// OC$，
∵OC⊥AB，
∴BE⊥AB，即BE是△BCE中BC边上的高，
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×BC×BE=\frac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，解题的突破口是利用垂径定理得到等分线段，再结合勾股定理求出圆的半径，最后借助中位线的性质得到三角形的高，整体思路清晰，属于需要熟练掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,有一座圆弧形拱桥,它的跨度AB为60 m,拱高PM为18 m,当洪水泛滥到跨度只有30 m时,就要采取紧急措施.若某次洪水中,拱顶离水面只有4 m,即PN=4 m时,试通过计算说明是否需要采取紧急措施.
答案
5.【解】如图,设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA,OA',延长PM至点O.
设⊙O的半径为x m，
则OA=OA'=OP=x m，
OM=OP−PM=(x−18) m.由垂径定理,得AM=BM,A'N=B'N.
∵AB=60 m,
∴AM=30 m.
在Rt△AOM中,由勾股定理,得AO²=OM²+AM²,即x²=(x−18)²+30².
解得x=34.
∴ON=OP−PN=30 m.
在Rt△A'ON中,由勾股定理,得A'N=√(OA'²−ON²)=16 m.
∴A'B'=2A'N=32 m＞30 m.
∴不需要采取紧急措施.
解析
【分析】
这是圆的实际应用类问题，解题核心是利用垂径定理将圆弧的弦长、拱高、半径的关系转化为直角三角形的边长关系求解：第一步先设圆的半径为未知数，结合已知的原跨度和拱高，用勾股定理列方程求出圆的半径；第二步计算拱顶离水面4m时对应的弦心距，再次用勾股定理求出此时水面跨度的一半，进而得到总跨度；第三步将得到的跨度和30m比较，判断是否需要采取紧急措施。
【解析】
解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OA'，延长PM至点O。
设⊙O的半径为$ x \, \mathrm{m} $，则$ OA=OA'=OP=x \, \mathrm{m} $，
弦心距$ OM=OP-PM=(x-18) \, \mathrm{m} $。
根据垂径定理可得：$ AM=BM=\frac{1}{2}AB $，$ A'N=B'N=\frac{1}{2}A'B' $。
已知$ AB=60 \, \mathrm{m} $，因此$ AM=30 \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ AOM $中，由勾股定理得：$ AO^2=OM^2+AM^2 $，
代入边长得方程：$ x^2=(x-18)^2+30^2 $，
展开计算化简后解得$ x=34 $。
已知$ PN=4 \, \mathrm{m} $，则此时弦心距$ ON=OP-PN=34-4=30 \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ A'ON $中，由勾股定理得：
$ A'N=\sqrt{OA'^2-ON^2}=\sqrt{34^2-30^2}=16 \, \mathrm{m} $，
因此此时水面跨度$ A'B'=2A'N=2×16=32 \, \mathrm{m} $。
因为$ 32 \, \mathrm{m}＞30 \, \mathrm{m} $，所以不需要采取紧急措施。
【答案】
如图,设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA,OA',延长PM至点O.
设⊙O的半径为x m，
则OA=OA'=OP=x m，
OM=OP−PM=(x−18) m.由垂径定理,得AM=BM,A'N=B'N.
∵AB=60 m,
∴AM=30 m.
在Rt△AOM中,由勾股定理,得AO²=OM²+AM²,即x²=(x−18)²+30².
解得x=34.
∴ON=OP−PN=30 m.
在Rt△A'ON中,由勾股定理,得A'N=√(OA'²−ON²)=16 m.
∴A'B'=2A'N=32 m＞30 m.
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，一元一次方程的应用
【点评】
本题将生活中的拱桥问题转化为圆的几何计算问题，解题关键是构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立方程求解半径，再进一步计算对应跨度判断结果，考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.7
这是圆的实际应用类问题，解题核心是利用垂径定理将圆弧的弦长、拱高、半径的关系转化为直角三角形的边长关系求解：第一步先设圆的半径为未知数，结合已知的原跨度和拱高，用勾股定理列方程求出圆的半径；第二步计算拱顶离水面4m时对应的弦心距，再次用勾股定理求出此时水面跨度的一半，进而得到总跨度；第三步将得到的跨度和30m比较，判断是否需要采取紧急措施。
【解析】
解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OA'，延长PM至点O。
设⊙O的半径为$ x \, \mathrm{m} $，则$ OA=OA'=OP=x \, \mathrm{m} $，
弦心距$ OM=OP-PM=(x-18) \, \mathrm{m} $。
根据垂径定理可得：$ AM=BM=\frac{1}{2}AB $，$ A'N=B'N=\frac{1}{2}A'B' $。
已知$ AB=60 \, \mathrm{m} $，因此$ AM=30 \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ AOM $中，由勾股定理得：$ AO^2=OM^2+AM^2 $，
代入边长得方程：$ x^2=(x-18)^2+30^2 $，
展开计算化简后解得$ x=34 $。
已知$ PN=4 \, \mathrm{m} $，则此时弦心距$ ON=OP-PN=34-4=30 \, \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ A'ON $中，由勾股定理得：
$ A'N=\sqrt{OA'^2-ON^2}=\sqrt{34^2-30^2}=16 \, \mathrm{m} $，
因此此时水面跨度$ A'B'=2A'N=2×16=32 \, \mathrm{m} $。
因为$ 32 \, \mathrm{m}＞30 \, \mathrm{m} $，所以不需要采取紧急措施。
【答案】
如图,设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA,OA',延长PM至点O.
设⊙O的半径为x m，
则OA=OA'=OP=x m，
OM=OP−PM=(x−18) m.由垂径定理,得AM=BM,A'N=B'N.
∵AB=60 m,
∴AM=30 m.
在Rt△AOM中,由勾股定理,得AO²=OM²+AM²,即x²=(x−18)²+30².
解得x=34.
∴ON=OP−PN=30 m.
在Rt△A'ON中,由勾股定理,得A'N=√(OA'²−ON²)=16 m.
∴A'B'=2A'N=32 m＞30 m.
∴不需要采取紧急措施.
【知识点】
垂径定理，勾股定理，一元一次方程的应用
【点评】
本题将生活中的拱桥问题转化为圆的几何计算问题，解题关键是构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理建立方程求解半径，再进一步计算对应跨度判断结果，考查学生将实际问题转化为数学问题的建模能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.7
