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1.将分式$\frac{a^2b}{2ab}$约分，其结果为(
A.$\frac{2}{a}$
B.$\frac{a}{2}$
C.$\frac{b}{2a}$
D.$2a$
B
).A.$\frac{2}{a}$
B.$\frac{a}{2}$
C.$\frac{b}{2a}$
D.$2a$
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查分式的约分，解题核心是利用分式的基本性质求解。首先明确分式有意义的前提是分母不为0，即本题中$2ab≠0$，也就是$ab≠0$，满足约分的条件。解题时第一步先找分子和分母的公因式：分子$a^2b$和分母$2ab$共有的因式是$ab$，即公因式为$ab$；第二步将分子、分母同时除以公因式$ab$，就能得到最简结果。
【解析】
解：分式约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
由分式有意义可得$2ab≠0$，即$ab≠0$，因此可将分子分母同时除以公因式$ab$：
$\frac{a^2b}{2ab}=\frac{a^2b÷ ab}{2ab÷ ab}=\frac{a}{2}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题，解题关键是准确找出分子与分母的公因式，约分过程中要注意保证公因式不为0，符合原分式有意义的要求。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式的约分，解题核心是利用分式的基本性质求解。首先明确分式有意义的前提是分母不为0，即本题中$2ab≠0$，也就是$ab≠0$，满足约分的条件。解题时第一步先找分子和分母的公因式：分子$a^2b$和分母$2ab$共有的因式是$ab$，即公因式为$ab$；第二步将分子、分母同时除以公因式$ab$，就能得到最简结果。
【解析】
解：分式约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
由分式有意义可得$2ab≠0$，即$ab≠0$，因此可将分子分母同时除以公因式$ab$：
$\frac{a^2b}{2ab}=\frac{a^2b÷ ab}{2ab÷ ab}=\frac{a}{2}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题，解题关键是准确找出分子与分母的公因式，约分过程中要注意保证公因式不为0，符合原分式有意义的要求。
【难度系数】
0.9
2.当$\frac{2x-1}{xy}=\frac{k}{3x^2y^3}$时，k代表的代数式是(
A.$\frac{3}{2}xy^2(2x-1)$
B.$3xy^2(2x-1)$
C.$\frac{2}{3}xy^2(2x-1)$
D.$xy^2(2x-1)$
B
).A.$\frac{3}{2}xy^2(2x-1)$
B.$3xy^2(2x-1)$
C.$\frac{2}{3}xy^2(2x-1)$
D.$xy^2(2x-1)$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先观察等式两侧分式的分母，计算右式分母是左式分母乘了哪个不为0的整式；再根据分式基本性质，要使分式值不变，左式分子也要乘同一个整式，所得结果就是k代表的代数式。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
第一步：计算分母的变化量
左式分母为$xy$，右式分母为$3x^2y^3$，则右式分母是左式分母乘：
$3x^2y^3 ÷ xy = 3xy^2$（由题意，分式有意义时$xy≠0$，因此$3xy^2≠0$，符合分式基本性质的要求）
第二步：推导k的表达式
要使分式值不变，左式分子$(2x-1)$也需要乘$3xy^2$，因此：
$k=(2x-1)×3xy^2=3xy^2(2x-1)$
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、整式乘除运算
【点评】
本题是分式性质的常规基础题，解题核心是准确比对分母的变形规律，再对分子做同步变形即可，计算时注意不要漏乘系数或字母的指数。
【难度系数】
0.85
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先观察等式两侧分式的分母，计算右式分母是左式分母乘了哪个不为0的整式；再根据分式基本性质，要使分式值不变，左式分子也要乘同一个整式，所得结果就是k代表的代数式。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
第一步：计算分母的变化量
左式分母为$xy$，右式分母为$3x^2y^3$，则右式分母是左式分母乘：
$3x^2y^3 ÷ xy = 3xy^2$（由题意，分式有意义时$xy≠0$，因此$3xy^2≠0$，符合分式基本性质的要求）
第二步：推导k的表达式
要使分式值不变，左式分子$(2x-1)$也需要乘$3xy^2$，因此：
$k=(2x-1)×3xy^2=3xy^2(2x-1)$
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的基本性质、整式乘除运算
【点评】
本题是分式性质的常规基础题，解题核心是准确比对分母的变形规律，再对分子做同步变形即可，计算时注意不要漏乘系数或字母的指数。
【难度系数】
0.85
3.下列分式是最简分式的是(
A.$\frac{a}{a^3}$
B.
C.$\frac{x}{x+1}$
C
).A.$\frac{a}{a^3}$
B.
C.$\frac{x}{x+1}$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式是最简分式。解题时逐个分析每个选项的分子、分母是否存在公因式，能找到公因式的就不是最简分式，找不到公因式的就是正确选项。
【解析】
首先明确最简分式的判定标准：分子与分母不含公因式的分式为最简分式。
对各选项逐一分析：
A选项：$\frac{a}{a^3}$的分子为$a$，分母为$a^3$，二者存在公因式$a$，约分可得$\frac{a}{a^3}=\frac{1}{a^2}$，不是最简分式；
B选项：$\frac{6}{3y}$的分子为6，分母为$3y$，二者存在公因式3，约分可得$\frac{6}{3y}=\frac{2}{y}$，不是最简分式；
D选项：$\frac{x-1}{x^2-1}$的分母利用平方差公式因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子分母存在公因式$x-1$，约分可得$\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}$（$x≠\pm1$），不是最简分式；
C选项：$\frac{x}{x+1}$的分子$x$和分母$x+1$没有公因式，符合最简分式的定义，是最简分式。
【答案】
C
【知识点】
最简分式判定，分式约分，因式分解
【点评】
本题是分式部分的基础题型，核心考查最简分式的概念，解题的关键是准确找出分子和分母的公因式，需要熟练掌握常见的因式分解方法来辅助判断。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式是最简分式。解题时逐个分析每个选项的分子、分母是否存在公因式，能找到公因式的就不是最简分式，找不到公因式的就是正确选项。
【解析】
首先明确最简分式的判定标准：分子与分母不含公因式的分式为最简分式。
对各选项逐一分析：
A选项：$\frac{a}{a^3}$的分子为$a$，分母为$a^3$，二者存在公因式$a$，约分可得$\frac{a}{a^3}=\frac{1}{a^2}$，不是最简分式；
B选项：$\frac{6}{3y}$的分子为6，分母为$3y$，二者存在公因式3，约分可得$\frac{6}{3y}=\frac{2}{y}$，不是最简分式；
D选项：$\frac{x-1}{x^2-1}$的分母利用平方差公式因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分子分母存在公因式$x-1$，约分可得$\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}$（$x≠\pm1$），不是最简分式；
C选项：$\frac{x}{x+1}$的分子$x$和分母$x+1$没有公因式，符合最简分式的定义，是最简分式。
【答案】
C
【知识点】
最简分式判定，分式约分，因式分解
【点评】
本题是分式部分的基础题型，核心考查最简分式的概念，解题的关键是准确找出分子和分母的公因式，需要熟练掌握常见的因式分解方法来辅助判断。
【难度系数】
0.8
4.下列约分正确的是(
(A)$\frac{x^6}{x^2}=x^3$
(C)$\frac{x+y}{x^2+xy}=\frac{1}{x}$
C
).(A)$\frac{x^6}{x^2}=x^3$
(C)$\frac{x+y}{x^2+xy}=\frac{1}{x}$
答案
4.C
解析
【分析】
这道题考查分式的约分，解题思路如下：首先回忆分式约分的依据是分式的基本性质，约分需要约去分子和分母的公因式，同时要保证约去的公因式不为0，约分的结果应为最简分式。接下来我们逐个分析每个选项：先看分子分母是否有公因式，有公因式的先因式分解，再约分验证结果是否正确，没有公因式的不能随意约分。
【解析】
我们依据分式的基本性质逐个判断选项：
1. 选项A：根据同底数幂的除法法则，$\frac{x^6}{x^2}=x^{6-2}=x^4 ≠ x^3$，因此A错误。
2. 选项B：$\frac{x+y}{x-y}$的分子和分母没有公因式，无法约分；且该分式等于0的条件是$x+y=0$且$x≠ y$，不是约分后为0，因此B错误。
3. 选项C：先对分母因式分解，$x^2+xy=x(x+y)$，因此原式可写为$\frac{x+y}{x(x+y)}$，当$x≠0$且$x+y≠0$时，约去分子分母的公因式$x+y$，得到$\frac{1}{x}$，因此C正确。
4. 选项D：分子分母的公因式为$2xy$，约去后可得$\frac{2xy^2}{4x^2y}=\frac{2xy· y}{2xy· 2x}=\frac{y}{2x}≠ \frac{1}{2}$，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式约分,分式的基本性质,提公因式法因式分解
【点评】
本题属于分式约分的基础题型，解题时要注意只有分子分母的公因式才能约去，不能对分子分母的部分项直接约分，同时要牢记约分的前提是约去的整式不为0，避免忽略分式有意义的条件出错。
【难度系数】
0.7
这道题考查分式的约分，解题思路如下：首先回忆分式约分的依据是分式的基本性质，约分需要约去分子和分母的公因式，同时要保证约去的公因式不为0，约分的结果应为最简分式。接下来我们逐个分析每个选项：先看分子分母是否有公因式，有公因式的先因式分解，再约分验证结果是否正确，没有公因式的不能随意约分。
【解析】
我们依据分式的基本性质逐个判断选项：
1. 选项A：根据同底数幂的除法法则，$\frac{x^6}{x^2}=x^{6-2}=x^4 ≠ x^3$，因此A错误。
2. 选项B：$\frac{x+y}{x-y}$的分子和分母没有公因式，无法约分；且该分式等于0的条件是$x+y=0$且$x≠ y$，不是约分后为0，因此B错误。
3. 选项C：先对分母因式分解，$x^2+xy=x(x+y)$，因此原式可写为$\frac{x+y}{x(x+y)}$，当$x≠0$且$x+y≠0$时，约去分子分母的公因式$x+y$，得到$\frac{1}{x}$，因此C正确。
4. 选项D：分子分母的公因式为$2xy$，约去后可得$\frac{2xy^2}{4x^2y}=\frac{2xy· y}{2xy· 2x}=\frac{y}{2x}≠ \frac{1}{2}$，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式约分,分式的基本性质,提公因式法因式分解
【点评】
本题属于分式约分的基础题型，解题时要注意只有分子分母的公因式才能约去，不能对分子分母的部分项直接约分，同时要牢记约分的前提是约去的整式不为0，避免忽略分式有意义的条件出错。
【难度系数】
0.7
5.如果把分式$\frac{xy}{x+y}$中的$x$和$y$都扩大到原来的2倍，那么分式的值(
A.扩大到原来的4倍
B.扩大到原来的2倍
C.不变
D.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
B
).A.扩大到原来的4倍
B.扩大到原来的2倍
C.不变
D.缩小到原来的$\frac{1}{2}$
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查分式的变化规律，解题思路如下：首先根据题意将原分式中的x、y分别替换为扩大2倍后的2x、2y，得到新的分式；再利用分式的基本性质对新分式进行化简；最后将化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式$\frac{xy}{x+y}$中的$x$、$y$都扩大到原来的2倍，即将$x$替换为$2x$，$y$替换为$2y$，代入可得新分式：
$\frac{(2x)·(2y)}{2x+2y}=\frac{4xy}{2(x+y)}$
根据分式的基本性质，对上述分式约分，得：
$\frac{4xy}{2(x+y)}=\frac{2xy}{x+y}=2×\frac{xy}{x+y}$
对比可知新分式的值是原分式值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍。
【答案】
B
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式的约分
【点评】
本题属于分式性质的基础应用题型，解题时需注意同时考虑分子和分母的变化，不要仅计算分子的倍数变化就直接得出结论，避免错选。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的变化规律，解题思路如下：首先根据题意将原分式中的x、y分别替换为扩大2倍后的2x、2y，得到新的分式；再利用分式的基本性质对新分式进行化简；最后将化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式$\frac{xy}{x+y}$中的$x$、$y$都扩大到原来的2倍，即将$x$替换为$2x$，$y$替换为$2y$，代入可得新分式：
$\frac{(2x)·(2y)}{2x+2y}=\frac{4xy}{2(x+y)}$
根据分式的基本性质，对上述分式约分，得：
$\frac{4xy}{2(x+y)}=\frac{2xy}{x+y}=2×\frac{xy}{x+y}$
对比可知新分式的值是原分式值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍。
【答案】
B
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式的约分
【点评】
本题属于分式性质的基础应用题型，解题时需注意同时考虑分子和分母的变化，不要仅计算分子的倍数变化就直接得出结论，避免错选。
【难度系数】
0.8
6.将分式$\frac{2a - \frac{3}{2}b}{\frac{2}{3}a - 8b}$中各项系数化为整数，结果等于
$\frac{12a-9b}{4a-48b}$
。答案
6.$\frac{12a-9b}{4a-48b}$
解析
【分析】
要将分式中各项系数化为整数且不改变分式的值，需运用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘同一个不为0的数，分式的值不变。首先观察分式中分数系数的分母：分子里分数的分母为2，分母里分数的分母为3，计算得2和3的最小公倍数是6，只需将分子、分母的每一项同时乘6即可将所有系数化为整数，注意乘的时候不能漏乘整数项。
【解析】
根据分式的基本性质，将原分式的分子、分母同时乘以6（6≠0，分式值不变）：
分子计算：$(2a - \frac{3}{2}b) × 6 = 2a × 6 - \frac{3}{2}b × 6 = 12a - 9b$
分母计算：$(\frac{2}{3}a - 8b) × 6 = \frac{2}{3}a × 6 - 8b × 6 = 4a - 48b$
因此系数化为整数后的分式为$\frac{12a-9b}{4a-48b}$。
【答案】
$\frac{12a-9b}{4a-48b}$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 最小公倍数的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查分式基本性质的应用，解题的易错点是漏乘分子或分母中的整数项，计算时需注意每一项都要乘相同的非零数。
【难度系数】
0.8
要将分式中各项系数化为整数且不改变分式的值，需运用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘同一个不为0的数，分式的值不变。首先观察分式中分数系数的分母：分子里分数的分母为2，分母里分数的分母为3，计算得2和3的最小公倍数是6，只需将分子、分母的每一项同时乘6即可将所有系数化为整数，注意乘的时候不能漏乘整数项。
【解析】
根据分式的基本性质，将原分式的分子、分母同时乘以6（6≠0，分式值不变）：
分子计算：$(2a - \frac{3}{2}b) × 6 = 2a × 6 - \frac{3}{2}b × 6 = 12a - 9b$
分母计算：$(\frac{2}{3}a - 8b) × 6 = \frac{2}{3}a × 6 - 8b × 6 = 4a - 48b$
因此系数化为整数后的分式为$\frac{12a-9b}{4a-48b}$。
【答案】
$\frac{12a-9b}{4a-48b}$
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 最小公倍数的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查分式基本性质的应用，解题的易错点是漏乘分子或分母中的整数项，计算时需注意每一项都要乘相同的非零数。
【难度系数】
0.8
7.化简分式$\frac{3-x}{x^2 -9}$的结果等于
$-\frac{1}{x+3}$
。答案
7.$-\frac{1}{x+3}$
解析
【分析】
要化简该分式，遵循分式化简的常规思路即可：首先对分子、分母分别因式分解，找到公因式后约分得到最简结果。首先观察分母$x^2-9$属于平方差的形式，可利用平方差公式分解因式；再将分子$3-x$提取负号变形为$-(x-3)$，即可和分母分解后的因式找到公因式$x-3$，在分式有意义（公因式不为0）的前提下约去公因式，就能得到最终化简结果。
【解析】
解：第一步，对分母因式分解，由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$可得：
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$
第二步，对分子变形，提取负号得：
$3 - x = -(x - 3)$
将上述结果代入原式：
$\frac{3-x}{x^2 -9} = \frac{-(x-3)}{(x+3)(x-3)}$
根据分式有意义的条件，$x^2 -9 ≠ 0$，即$x ≠ \pm3$，因此$x-3 ≠ 0$，可约去公因式$x-3$，得：
原式$= -\frac{1}{x+3}$
【答案】
$-\frac{1}{x+3}$
【知识点】
因式分解，分式约分，分式基本性质
【点评】
本题属于分式化简的基础题，解题核心是正确利用平方差公式分解分母，同时注意分子的符号变形，避免漏写负号，掌握分式基本性质和基础因式分解方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要化简该分式，遵循分式化简的常规思路即可：首先对分子、分母分别因式分解，找到公因式后约分得到最简结果。首先观察分母$x^2-9$属于平方差的形式，可利用平方差公式分解因式；再将分子$3-x$提取负号变形为$-(x-3)$，即可和分母分解后的因式找到公因式$x-3$，在分式有意义（公因式不为0）的前提下约去公因式，就能得到最终化简结果。
【解析】
解：第一步，对分母因式分解，由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$可得：
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)$
第二步，对分子变形，提取负号得：
$3 - x = -(x - 3)$
将上述结果代入原式：
$\frac{3-x}{x^2 -9} = \frac{-(x-3)}{(x+3)(x-3)}$
根据分式有意义的条件，$x^2 -9 ≠ 0$，即$x ≠ \pm3$，因此$x-3 ≠ 0$，可约去公因式$x-3$，得：
原式$= -\frac{1}{x+3}$
【答案】
$-\frac{1}{x+3}$
【知识点】
因式分解，分式约分，分式基本性质
【点评】
本题属于分式化简的基础题，解题核心是正确利用平方差公式分解分母，同时注意分子的符号变形，避免漏写负号，掌握分式基本性质和基础因式分解方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
8.若$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，则$x$的取值范围是
$x≠-1$
。答案
8.$x≠-1$
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。等式右侧是将左侧分式的分子分母同时乘整式$(x+1)$得到的，要保证等式成立，必须满足两个要求：一是变形时乘的整式不能为0，二是等式两边的分式都有意义。已知左侧$\frac{1}{2a}$有意义，说明$2a≠0$，因此只需保证乘的整式$x+1≠0$即可求出x的取值范围。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变。
要使$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，需满足：
1. 左侧分式$\frac{1}{2a}$有意义，隐含条件$2a≠0$；
2. 乘以的整式$x+1≠0$，且右侧分母$2a(x+1)≠0$。
结合$2a≠0$的前提，只需满足$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
【答案】
$x≠-1$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是忽略分式变形时所乘的整式不能为0的限制条件，掌握分式基本性质的前提条件即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。等式右侧是将左侧分式的分子分母同时乘整式$(x+1)$得到的，要保证等式成立，必须满足两个要求：一是变形时乘的整式不能为0，二是等式两边的分式都有意义。已知左侧$\frac{1}{2a}$有意义，说明$2a≠0$，因此只需保证乘的整式$x+1≠0$即可求出x的取值范围。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变。
要使$\frac{1}{2a}=\frac{x+1}{2a(x+1)}$成立，需满足：
1. 左侧分式$\frac{1}{2a}$有意义，隐含条件$2a≠0$；
2. 乘以的整式$x+1≠0$，且右侧分母$2a(x+1)≠0$。
结合$2a≠0$的前提，只需满足$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
【答案】
$x≠-1$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是忽略分式变形时所乘的整式不能为0的限制条件，掌握分式基本性质的前提条件即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
9.若$a=2b$，且$a,b$均不为0，则分式$\frac{a+b}{4a - b}$的值等于
$\frac{3}{7}$
.答案
9.$\frac{3}{7}$
解析
【分析】
已知a和b存在明确的等量关系a=2b，且a、b均不为0，解题时采用代入消元的思路：先把a用2b替换代入待求分式，此时分式的分子、分母都含有不为0的因式b，再根据分式的基本性质约去b，就能算出分式的最终值。
【解析】
解：
∵$a=2b$，且$a,b$均不为0，
∴将$a=2b$代入分式$\frac{a+b}{4a - b}$得：
$\frac{a+b}{4a - b}=\frac{2b + b}{4×2b - b}=\frac{3b}{7b}$
∵$b≠0$，根据分式的基本性质，分子、分母同时除以不为0的b，可得：
$\frac{3b}{7b}=\frac{3}{7}$
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
分式的基本性质，代数式求值，代入消元法
【点评】
本题是基础运算类题型，核心考查代入消元方法的运用和分式约分规则的掌握，代入计算时注意运算的准确性即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
已知a和b存在明确的等量关系a=2b，且a、b均不为0，解题时采用代入消元的思路：先把a用2b替换代入待求分式，此时分式的分子、分母都含有不为0的因式b，再根据分式的基本性质约去b，就能算出分式的最终值。
【解析】
解：
∵$a=2b$，且$a,b$均不为0，
∴将$a=2b$代入分式$\frac{a+b}{4a - b}$得：
$\frac{a+b}{4a - b}=\frac{2b + b}{4×2b - b}=\frac{3b}{7b}$
∵$b≠0$，根据分式的基本性质，分子、分母同时除以不为0的b，可得：
$\frac{3b}{7b}=\frac{3}{7}$
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
分式的基本性质，代数式求值，代入消元法
【点评】
本题是基础运算类题型，核心考查代入消元方法的运用和分式约分规则的掌握，代入计算时注意运算的准确性即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
10.若$\frac{1}{b-1}=\frac{M}{b^2 -1}$，$\frac{b^2 -2b +1}{b^2 -1}=\frac{b-1}{N}$，则$\frac{3N}{2M}=$
$\frac{3}{2}$
。答案
10.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时先利用因式分解对分式的分子、分母变形，再结合分式的基本性质分别求出M、N的表达式，最后代入所求代数式约分化简即可。首先处理第一个等式，将右边的分母因式分解后，对比左右分母的变化，根据分式基本性质得到M；再处理第二个等式，将左边的分子、分母因式分解后约分，对比右边的分子得到N；最后代入代数式，利用分式有意义的隐含条件（分母不为0）约去公因式得到结果。
【解析】
由分式有意义的条件可知：$b≠1$且$b≠-1$。
1. 求$M$的值
对第一个等式右侧的分母因式分解：$b^2-1=(b-1)(b+1)$，
根据分式的基本性质，将$\frac{1}{b-1}$的分子、分母同乘$(b+1)$得：
$\frac{1}{b-1}=\frac{1×(b+1)}{(b-1)(b+1)}=\frac{b+1}{b^2-1}$，
对比$\frac{M}{b^2-1}$，可得$M=b+1$。
2. 求$N$的值
对第二个等式左侧的分子、分母因式分解：
分子$b^2-2b+1=(b-1)^2$，分母$b^2-1=(b-1)(b+1)$，
约分后得：$\frac{b^2-2b+1}{b^2-1}=\frac{(b-1)^2}{(b-1)(b+1)}=\frac{b-1}{b+1}$，
对比$\frac{b-1}{N}$，可得$N=b+1$。
3. 计算$\frac{3N}{2M}$
将$M=b+1$、$N=b+1$代入代数式，因$b≠-1$，故$b+1≠0$，可约去公因式：
$\frac{3N}{2M}=\frac{3(b+1)}{2(b+1)}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式基础应用类题目，核心是熟练掌握因式分解的方法和分式的基本性质，解题时注意挖掘分母不为0的隐含条件，保证约分的合法性。
【难度系数】
0.7
解题时先利用因式分解对分式的分子、分母变形，再结合分式的基本性质分别求出M、N的表达式，最后代入所求代数式约分化简即可。首先处理第一个等式，将右边的分母因式分解后，对比左右分母的变化，根据分式基本性质得到M；再处理第二个等式，将左边的分子、分母因式分解后约分，对比右边的分子得到N；最后代入代数式，利用分式有意义的隐含条件（分母不为0）约去公因式得到结果。
【解析】
由分式有意义的条件可知：$b≠1$且$b≠-1$。
1. 求$M$的值
对第一个等式右侧的分母因式分解：$b^2-1=(b-1)(b+1)$，
根据分式的基本性质，将$\frac{1}{b-1}$的分子、分母同乘$(b+1)$得：
$\frac{1}{b-1}=\frac{1×(b+1)}{(b-1)(b+1)}=\frac{b+1}{b^2-1}$，
对比$\frac{M}{b^2-1}$，可得$M=b+1$。
2. 求$N$的值
对第二个等式左侧的分子、分母因式分解：
分子$b^2-2b+1=(b-1)^2$，分母$b^2-1=(b-1)(b+1)$，
约分后得：$\frac{b^2-2b+1}{b^2-1}=\frac{(b-1)^2}{(b-1)(b+1)}=\frac{b-1}{b+1}$，
对比$\frac{b-1}{N}$，可得$N=b+1$。
3. 计算$\frac{3N}{2M}$
将$M=b+1$、$N=b+1$代入代数式，因$b≠-1$，故$b+1≠0$，可约去公因式：
$\frac{3N}{2M}=\frac{3(b+1)}{2(b+1)}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式基础应用类题目，核心是熟练掌握因式分解的方法和分式的基本性质，解题时注意挖掘分母不为0的隐含条件，保证约分的合法性。
【难度系数】
0.7
