11.(2024,云南,21)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证△ABC≌△AED.

11.证明:$\because ∠BAE=∠CAD$,
$\therefore ∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE$,
即$∠BAC=∠EAD$.
在$△ ABC$和$△ AED$中,
$\begin{cases}AB=AE,\\∠BAC=∠EAD,\\AC=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS}).$

【分析】
本题要求证明两个三角形全等，首先梳理已知条件：已经给出两组边对应相等，即$AB=AE$、$AC=AD$。根据三角形全等的SAS判定定理，还需要证明这两组边的夹角对应相等，也就是$∠ BAC=∠ EAD$。题目给出$∠ BAE=∠ CAD$，把这两个相等的角同时加上它们的公共部分$∠ CAE$，就能得到$∠ BAC$和$∠ EAD$相等，满足SAS的判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because ∠ BAE=∠ CAD$，
$\therefore ∠ BAE+∠ CAE=∠ CAD+∠ CAE$，
即$∠ BAC=∠ EAD$。
在$△ ABC$和$△ AED$中，
$\begin{cases}AB=AE,\\∠ BAC=∠ EAD,\\AC=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AED(\mathrm{SAS})$。
【答案】
$△ ABC≌△ AED$，证明过程如上。
【知识点】
SAS判定三角形全等；角的和差性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，重点考查SAS判定定理的运用，核心是通过角的和差推导得到待证的一组等角，解题时需注意对应边、对应角的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.85

12.如图,已知$AB⊥BC$,$CD⊥DE$,$B$,$C$,$D$三点在同一条直线上,且$AB=CD$,$BC=DE$.求证$AC⊥CE$.

12.证明:$\because AB⊥BC,CD⊥DE$,
$\therefore ∠B=∠D=90°$.
在$△ ABC$和$△ CDE$中,$\begin{cases}AB=CD,\\∠B=∠D,\\BC=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CDE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ACB=∠E.$
又$∠E+∠ECD=90°$,
$\therefore ∠ECD+∠ACB=90°$,
$\therefore ∠ACE=90°$,
$\therefore AC⊥CE.$

【分析】
要证明$AC⊥CE$，核心是证明$∠ACE=90°$。已知$B、C、D$三点共线，平角$∠BCD=180°$，因此只需推出$∠ACB+∠ECD=90°$即可。首先根据已知的垂直条件可得$∠B$和$∠D$均为直角，结合给出的两组对应边相等的条件，可通过SAS判定$△ ABC$和$△ CDE$全等，再利用全等三角形对应角相等得到$∠ACB=∠E$，最后结合直角三角形两锐角互余的性质，等量代换即可得到$∠ACB$与$∠ECD$的和为$90°$，进而推出$∠ACE=90°$，完成证明。
【解析】
证明:$\because AB⊥BC,CD⊥DE$,
$\therefore ∠B=∠D=90°$.
在$△ ABC$和$△ CDE$中,$\begin{cases}AB=CD,\\∠B=∠D,\\BC=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ CDE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠ACB=∠E.$
又$\because ∠E+∠ECD=90°$,
$\therefore ∠ECD+∠ACB=90°$,
$\therefore ∠ACE=180°-(∠ACB+∠ECD)=90°$,
$\therefore AC⊥CE.$
【答案】
$AC⊥CE$，得证。
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是几何证明的基础题，将三角形全等的判定、性质与垂直证明结合，解题的关键是先通过已知边、角条件证明三角形全等，再通过角的等量代换推导得到直角，能够较好地考察学生对基础几何知识的掌握程度和简单的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

1.如图,为测量池塘两侧A,B两点之间的距离,在地面上找一点C,连接AC,BC,使∠ACB=90°,然后在BC延长线上确定一点D,使CD=BC,得到△ABC≌△ADC.这样,为得到AB的长,只需要测量的线段是().

A.AC
B.BC
C.DC
D.AD

1.D

【分析】
要测量无法直接量取的AB的长度，可通过构造全等三角形将AB转化为便于测量的线段。首先结合已知条件判断构造的△ABC和△ADC全等的依据，再根据全等三角形对应边相等的性质，找到AB的对应边，该对应边就是需要测量的线段。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=90°，即∠ACB=∠ACD。
在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}BC=DC（已知）,\\∠ACB=∠ACD（已证）,\\AC=AC（公共边）,\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SAS）。
根据全等三角形对应边相等，可得AB=AD，因此只需测量AD的长度即可得到AB的长。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形在实际测量中的应用，核心思路是利用全等三角形实现线段长度的等量转化，将不可测的距离转化为可测的线段，解题的关键是准确识别全等三角形的对应边。
【难度系数】
0.9

2.如图，$AB=DB$，$BC=BE$，欲证$△ ABE ≌ △ DBC$，则可增加的条件是().

A.$∠ ABE=∠ DBE$
B.$∠ A=∠ D$
C.$∠ E=∠ C$
D.$∠ ABD=∠ EBC$

2.D

【分析】
要判定两个三角形全等，已知题目给出了两组对应边相等：$AB=DB$，$BC=BE$，根据全等三角形的SAS判定定理，此时只需补充这两组对应边的夹角相等，即$∠ ABE=∠ DBC$，再逐一分析各选项能否推出该夹角相等即可得到答案。
【解析】
已知在$△ ABE$和$△ DBC$中，$AB=DB$，$BE=BC$，若要利用SAS判定两三角形全等，需满足两边的夹角相等，即$∠ ABE=∠ DBC$。
对各选项逐一分析：
A. 给出$∠ ABE=∠ DBE$，无法推导出$∠ ABE=∠ DBC$，不能证明全等，不符合要求；
B. 给出$∠ A=∠ D$，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），无法判定三角形全等，不符合要求；
C. 给出$∠ E=∠ C$，同样属于SSA的情况，无法判定三角形全等，不符合要求；
D. 给出$∠ ABD=∠ EBC$，根据等式的性质，两个角同时加上公共角$∠ DBE$，可得$∠ ABD+∠ DBE=∠ EBC+∠ DBE$，即$∠ ABE=∠ DBC$，刚好满足SAS的夹角相等条件，可证明$△ ABE ≌ △ DBC$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形SAS判定，角的和差计算
【点评】
本题重点考查全等三角形的SAS判定，解题时要注意区分夹角和对角，SSA不能作为三角形全等的判定依据，结合角的和差推导相等关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7