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7.已知四张卡片上面分别写着6，$x+1$，$x^2 - 1$，$x - 1$，请从中任意选两个整式，组成一个分式：
$\frac{6}{x+1}$(答案不唯一)
.(写出一个分式即可)答案
7.$\frac{6}{x+1}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确分式的判定规则：如果A、B是两个整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就叫做分式，同时分母B不能为0。解题时只需从给出的四个整式中任选两个，将含有字母的整式作为分母，另一个整式作为分子，就能组成符合要求的分式。
【解析】
根据分式的定义，我们选取常数6作为分子，含字母的整式$x+1$作为分母：
1. 首先验证构成条件：分子6是整式，分母$x+1$是整式，且分母$x+1$中含有字母x，完全满足分式的构成要求，因此$\frac{6}{x+1}$是符合题意的分式。
注：也可选择其他组合，如$\frac{6}{x-1}$、$\frac{x+1}{x^2-1}$等，只要满足分母为含字母的整式即可。
【答案】
$\frac{6}{x+1}$(答案不唯一)
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对分式概念的理解，只要抓住“分母为含字母的整式”这一核心判定要点，即可快速写出符合要求的答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确分式的判定规则：如果A、B是两个整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就叫做分式，同时分母B不能为0。解题时只需从给出的四个整式中任选两个，将含有字母的整式作为分母，另一个整式作为分子，就能组成符合要求的分式。
【解析】
根据分式的定义，我们选取常数6作为分子，含字母的整式$x+1$作为分母：
1. 首先验证构成条件：分子6是整式，分母$x+1$是整式，且分母$x+1$中含有字母x，完全满足分式的构成要求，因此$\frac{6}{x+1}$是符合题意的分式。
注：也可选择其他组合，如$\frac{6}{x-1}$、$\frac{x+1}{x^2-1}$等，只要满足分母为含字母的整式即可。
【答案】
$\frac{6}{x+1}$(答案不唯一)
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题属于开放性基础题，核心考查对分式概念的理解，只要抓住“分母为含字母的整式”这一核心判定要点，即可快速写出符合要求的答案。
【难度系数】
0.9
8.在分式$\frac{x-3}{x+3}$中，当$x=$
-3
时，分式无意义；当$x=$3
时，分式的值为0。答案
8.-3;3
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆分式的相关性质：1. 分式无意义的条件是分母等于0；2. 分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0（要先保证分式有意义）。
第一步求分式无意义时的x值：直接令分母为0，列方程求解即可。
第二步求分式值为0时的x值：先令分子为0求出x的候选值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是答案。
【解析】
1. 求分式无意义时的x值：
对于分式$\frac{x-3}{x+3}$，分母为$x+3$，当分母为0时分式无意义，即：
$x+3=0$
解得$x=-3$。
2. 求分式值为0时的x值：
分式值为0需要满足两个条件：分子为0，且分母不为0。
首先令分子为0：$x-3=0$，解得$x=3$。
再验证分母：当$x=3$时，分母$x+3=3+3=6≠0$，满足分式有意义的条件。
所以此时x=3。
【答案】
-3；3
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 分式值为零的条件
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是求解分式值为0的问题时，容易遗漏“分母不为0”的前提条件，做题时要注意先验证分式有意义再求值。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆分式的相关性质：1. 分式无意义的条件是分母等于0；2. 分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0（要先保证分式有意义）。
第一步求分式无意义时的x值：直接令分母为0，列方程求解即可。
第二步求分式值为0时的x值：先令分子为0求出x的候选值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是答案。
【解析】
1. 求分式无意义时的x值：
对于分式$\frac{x-3}{x+3}$，分母为$x+3$，当分母为0时分式无意义，即：
$x+3=0$
解得$x=-3$。
2. 求分式值为0时的x值：
分式值为0需要满足两个条件：分子为0，且分母不为0。
首先令分子为0：$x-3=0$，解得$x=3$。
再验证分母：当$x=3$时，分母$x+3=3+3=6≠0$，满足分式有意义的条件。
所以此时x=3。
【答案】
-3；3
【知识点】
1. 分式无意义的条件
2. 分式值为零的条件
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点是求解分式值为0的问题时，容易遗漏“分母不为0”的前提条件，做题时要注意先验证分式有意义再求值。
【难度系数】
0.9
9.若分式$\frac{x-1}{2x^2+1}$的值为正数，则$x$需满足的条件是
$x＞1$
。答案
9.$x＞1$
解析
【分析】
要判断分式的值为正数的条件，需明确分式值为正等价于分子和分母同号（同正或同负）。首先观察分母的结构，含x²项，可根据平方的非负性先判断分母的取值范围，再结合分式正负性要求推导分子需满足的条件，最后解不等式得到x的取值范围。
【解析】
首先分析分母的取值：
∵ 对任意实数x，都有$x^2≥0$，
∴ $2x^2≥0$，
∴ $2x^2+1≥1＞0$，即分母恒为正数。
要使分式$\frac{x-1}{2x^2+1}$的值为正数，需分子与分母同号，
∵ 分母为正，
∴ 分子$x-1＞0$，
解得：$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
分式正负性判断；平方的非负性；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题关键是先利用平方的非负性确定分母恒为正，无需分类讨论，只需让分子符号为正即可求解，有效降低了解题复杂度。
【难度系数】
0.8
要判断分式的值为正数的条件，需明确分式值为正等价于分子和分母同号（同正或同负）。首先观察分母的结构，含x²项，可根据平方的非负性先判断分母的取值范围，再结合分式正负性要求推导分子需满足的条件，最后解不等式得到x的取值范围。
【解析】
首先分析分母的取值：
∵ 对任意实数x，都有$x^2≥0$，
∴ $2x^2≥0$，
∴ $2x^2+1≥1＞0$，即分母恒为正数。
要使分式$\frac{x-1}{2x^2+1}$的值为正数，需分子与分母同号，
∵ 分母为正，
∴ 分子$x-1＞0$，
解得：$x＞1$。
【答案】
$x＞1$
【知识点】
分式正负性判断；平方的非负性；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，解题关键是先利用平方的非负性确定分母恒为正，无需分类讨论，只需让分子符号为正即可求解，有效降低了解题复杂度。
【难度系数】
0.8
10.如果$m$为整数，那么使分式$\frac{m+3}{m+1}$的值为整数的$m$的值是
$-3,-2,0$或$1$
。答案
10.$-3,-2,0$或$1$
解析
【分析】
要让分式的值为整数且m是整数，我们可以先对分式做拆分变形：把分子拆成含有分母的形式，将分式拆成“整数+分式”的结构，此时要让整个式子为整数，只需剩余的分式值为整数即可，也就是分母是分子的整数约数，找出所有符合条件的约数后就能求出对应的m，同时注意分母不能为0。
【解析】
先对分式变形：
$\frac{m+3}{m+1}=\frac{(m+1)+2}{m+1}=1+\frac{2}{m+1}$
∵ m为整数，且分式$\frac{m+3}{m+1}$的值为整数
∴ $\frac{2}{m+1}$必须为整数，即$m+1$是2的整数因数
2的整数因数有$\pm1、\pm2$，分情况计算：
① 当$m+1=1$时，$m=0$；
② 当$m+1=-1$时，$m=-2$；
③ 当$m+1=2$时，$m=1$；
④ 当$m+1=-2$时，$m=-3$。
上述m值均满足分母$m+1≠0$，均符合要求。
【答案】
$-3,-2,0$或$1$
【知识点】
分式的化简；整除的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题解题关键是将分式拆分为“整式+最简分式”的形式，将问题转化为整除问题求解，解题时注意不要遗漏负因数的情况，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6
要让分式的值为整数且m是整数，我们可以先对分式做拆分变形：把分子拆成含有分母的形式，将分式拆成“整数+分式”的结构，此时要让整个式子为整数，只需剩余的分式值为整数即可，也就是分母是分子的整数约数，找出所有符合条件的约数后就能求出对应的m，同时注意分母不能为0。
【解析】
先对分式变形：
$\frac{m+3}{m+1}=\frac{(m+1)+2}{m+1}=1+\frac{2}{m+1}$
∵ m为整数，且分式$\frac{m+3}{m+1}$的值为整数
∴ $\frac{2}{m+1}$必须为整数，即$m+1$是2的整数因数
2的整数因数有$\pm1、\pm2$，分情况计算：
① 当$m+1=1$时，$m=0$；
② 当$m+1=-1$时，$m=-2$；
③ 当$m+1=2$时，$m=1$；
④ 当$m+1=-2$时，$m=-3$。
上述m值均满足分母$m+1≠0$，均符合要求。
【答案】
$-3,-2,0$或$1$
【知识点】
分式的化简；整除的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题解题关键是将分式拆分为“整式+最简分式”的形式，将问题转化为整除问题求解，解题时注意不要遗漏负因数的情况，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6
11.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?
$\frac{5a}{3},\frac{1}{m},\frac{1}{4}(x-y),\frac{1}{2-y},\frac{x}{π},\frac{1}{a-2},\frac{xy^2}{x},\frac{x^2}{2}-1.$
$\frac{5a}{3},\frac{1}{m},\frac{1}{4}(x-y),\frac{1}{2-y},\frac{x}{π},\frac{1}{a-2},\frac{xy^2}{x},\frac{x^2}{2}-1.$
答案
11.解:$\frac{5a}{3},\frac{1}{4}(x-y),\frac{x}{π},\frac{x^2}{2}-1$是整式;$\frac{1}{m},\frac{1}{2-y},\frac{1}{a-2},\frac{xy^2}{x}$是分式.
解析
【分析】
要判断一个式子是整式还是分式，首先明确二者的判断核心：整式是单项式和多项式的统称，分母中不含字母；分式的定义是分母中含有字母的有理式。判断时注意两个易错点：①π是圆周率，属于固定常数，不是字母；②判断分式要以原式的分母为准，不能先约分再判断。接下来逐个检查每个式子的分母是否含字母，再分类即可。
【解析】
解：先明确判断依据：分母中不含字母的式子是整式，分母中含有字母的式子是分式；其中π为常数，判断分式需看原式的分母，不提前约分。
逐个分析各式：
1. $\frac{5a}{3}$：分母为3（常数），是整式；
2. $\frac{1}{m}$：分母为m（含字母），是分式；
3. $\frac{1}{4}(x-y)$：分母为4（常数），是整式；
4. $\frac{1}{2-y}$：分母为$2-y$（含字母y），是分式；
5. $\frac{x}{π}$：分母为π（常数），是整式；
6. $\frac{1}{a-2}$：分母为$a-2$（含字母a），是分式；
7. $\frac{xy^2}{x}$：原式分母为x（含字母），是分式；
8. $\frac{x^2}{2}-1$：分母为2（常数），是整式。
【答案】
整式:$\frac{5a}{3},\frac{1}{4}(x-y),\frac{x}{π},\frac{x^2}{2}-1$；分式:$\frac{1}{m},\frac{1}{2-y},\frac{1}{a-2},\frac{xy^2}{x}$
【知识点】
整式的定义，分式的定义，整式与分式的判别
【点评】
本题是整式、分式区分的基础题型，解题的关键是牢记判断标准，尤其要注意π为常数不是字母，判断分式需观察原式的分母，不可约分后再判断，避开易错点就能快速准确分类。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是整式还是分式，首先明确二者的判断核心：整式是单项式和多项式的统称，分母中不含字母；分式的定义是分母中含有字母的有理式。判断时注意两个易错点：①π是圆周率，属于固定常数，不是字母；②判断分式要以原式的分母为准，不能先约分再判断。接下来逐个检查每个式子的分母是否含字母，再分类即可。
【解析】
解：先明确判断依据：分母中不含字母的式子是整式，分母中含有字母的式子是分式；其中π为常数，判断分式需看原式的分母，不提前约分。
逐个分析各式：
1. $\frac{5a}{3}$：分母为3（常数），是整式；
2. $\frac{1}{m}$：分母为m（含字母），是分式；
3. $\frac{1}{4}(x-y)$：分母为4（常数），是整式；
4. $\frac{1}{2-y}$：分母为$2-y$（含字母y），是分式；
5. $\frac{x}{π}$：分母为π（常数），是整式；
6. $\frac{1}{a-2}$：分母为$a-2$（含字母a），是分式；
7. $\frac{xy^2}{x}$：原式分母为x（含字母），是分式；
8. $\frac{x^2}{2}-1$：分母为2（常数），是整式。
【答案】
整式:$\frac{5a}{3},\frac{1}{4}(x-y),\frac{x}{π},\frac{x^2}{2}-1$；分式:$\frac{1}{m},\frac{1}{2-y},\frac{1}{a-2},\frac{xy^2}{x}$
【知识点】
整式的定义，分式的定义，整式与分式的判别
【点评】
本题是整式、分式区分的基础题型，解题的关键是牢记判断标准，尤其要注意π为常数不是字母，判断分式需观察原式的分母，不可约分后再判断，避开易错点就能快速准确分类。
【难度系数】
0.8
12.求下列分式的值：
(1)$\frac{11a}{a+8}$，其中$a=3$；
(2)$\frac{x-y}{x+y^2}$，其中$x=2,y=-1$。
(1)$\frac{11a}{a+8}$，其中$a=3$；
(2)$\frac{x-y}{x+y^2}$，其中$x=2,y=-1$。
答案
12.解:(1)原式$=\frac{11×3}{3+8}=3$.
(2)原式$=\frac{2-(-1)}{2+(-1)^2}=\frac{3}{3}=1$.
(2)原式$=\frac{2-(-1)}{2+(-1)^2}=\frac{3}{3}=1$.
解析
【分析】
这是分式代入求值类题目，解题思路是先将题目给出的字母取值分别代入分式的分子和分母中，再按照有理数的运算规则分别计算分子、分母的结果，最后将分式约分化为最简得到最终值。代入时要注意：若字母取值为负数，参与减法、乘方运算时需要添加括号避免符号错误。
【解析】
(1) 将$a=3$代入$\frac{11a}{a+8}$：
原式$=\frac{11×3}{3+8}=\frac{33}{11}=3$
(2) 将$x=2,y=-1$代入$\frac{x-y}{x+y^2}$：
原式$=\frac{2-(-1)}{2+(-1)^2}=\frac{2+1}{2+1}=\frac{3}{3}=1$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
分式求值、代数式代入、有理数混合运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查代数式代入的规范和有理数运算的准确性，计算时注意负数代入的符号处理、乘方运算的优先级，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
这是分式代入求值类题目，解题思路是先将题目给出的字母取值分别代入分式的分子和分母中，再按照有理数的运算规则分别计算分子、分母的结果，最后将分式约分化为最简得到最终值。代入时要注意：若字母取值为负数，参与减法、乘方运算时需要添加括号避免符号错误。
【解析】
(1) 将$a=3$代入$\frac{11a}{a+8}$：
原式$=\frac{11×3}{3+8}=\frac{33}{11}=3$
(2) 将$x=2,y=-1$代入$\frac{x-y}{x+y^2}$：
原式$=\frac{2-(-1)}{2+(-1)^2}=\frac{2+1}{2+1}=\frac{3}{3}=1$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
分式求值、代数式代入、有理数混合运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查代数式代入的规范和有理数运算的准确性，计算时注意负数代入的符号处理、乘方运算的优先级，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
