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1.函数$y=-x^2+4x-1$的最大值是(
A.2
B.0
C.3
D.5
C
).A.2
B.0
C.3
D.5
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查二次函数的最值求解，解题思路如下：第一步先判断二次函数的开口方向：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；第二步选择配方法或顶点纵坐标公式计算顶点的纵坐标，即可得到函数的最大值，两种方法都属于现阶段要求掌握的内容。
【解析】
方法一：配方法
将函数解析式配方转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x-1\\&=-(x^2-4x)-1\\&=-(x^2-4x+4-4)-1\\&=-(x-2)^2+4-1\\&=-(x-2)^2+3\end{aligned}$
因为$(x-2)^2≥0$，所以$-(x-2)^2≤0$，当$x=2$时，$-(x-2)^2=0$，此时$y$取得最大值3。
方法二：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点的纵坐标$\frac{4ac-b^2}{4a}$即为函数的最值。
本题中$a=-1$，$b=4$，$c=-1$，代入得：
$y_{max}=\frac{4×(-1)×(-1)-4^2}{4×(-1)}=\frac{4-16}{-4}=3$
综上函数的最大值是3。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础考题，核心考查开口方向与最值的对应关系，以及配方法或顶点公式的运用，属于常规基础题型，计算量小，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的最值求解，解题思路如下：第一步先判断二次函数的开口方向：对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值；第二步选择配方法或顶点纵坐标公式计算顶点的纵坐标，即可得到函数的最大值，两种方法都属于现阶段要求掌握的内容。
【解析】
方法一：配方法
将函数解析式配方转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+4x-1\\&=-(x^2-4x)-1\\&=-(x^2-4x+4-4)-1\\&=-(x-2)^2+4-1\\&=-(x-2)^2+3\end{aligned}$
因为$(x-2)^2≥0$，所以$-(x-2)^2≤0$，当$x=2$时，$-(x-2)^2=0$，此时$y$取得最大值3。
方法二：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点的纵坐标$\frac{4ac-b^2}{4a}$即为函数的最值。
本题中$a=-1$，$b=4$，$c=-1$，代入得：
$y_{max}=\frac{4×(-1)×(-1)-4^2}{4×(-1)}=\frac{4-16}{-4}=3$
综上函数的最大值是3。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础考题，核心考查开口方向与最值的对应关系，以及配方法或顶点公式的运用，属于常规基础题型，计算量小，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.抛物线 $ y = x^2 -6x +15 $ 的顶点坐标是(
A.(3,6)
B.(3,−6)
C.(−3,6)
D.(−3,−6)
A
).A.(3,6)
B.(3,−6)
C.(−3,6)
D.(−3,−6)
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点坐标的求解，共有两种常用解题思路：思路一是配方法，将二次函数的一般式转化为顶点式，直接读取顶点坐标；思路二是顶点坐标公式法，先利用公式$x=-\frac{b}{2a}$算出顶点的横坐标，再代入解析式算出纵坐标，即可得到顶点坐标。解题时先确定一般式$y=ax^2+bx+c$中$a=1$、$b=-6$、$c=15$，再任选一种方法计算即可。
【解析】
方法一（配方法）：
将抛物线解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y &= x^2 -6x +15\\&=x^2 -6x +9 +6\\&=(x-3)^2 +6\end{aligned}$
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此该抛物线顶点坐标为$(3,6)$。
方法二（公式法）：
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=-6$得：
$x=-\frac{-6}{2×1}=3$
将$x=3$代入原解析式得：
$y=3^2 -6×3 +15=9-18+15=6$
因此顶点坐标为$(3,6)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标；配方法；顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，主要考查二次函数顶点坐标的求解方法，熟练掌握配方法或顶点坐标公式，注意计算时的符号问题即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点坐标的求解，共有两种常用解题思路：思路一是配方法，将二次函数的一般式转化为顶点式，直接读取顶点坐标；思路二是顶点坐标公式法，先利用公式$x=-\frac{b}{2a}$算出顶点的横坐标，再代入解析式算出纵坐标，即可得到顶点坐标。解题时先确定一般式$y=ax^2+bx+c$中$a=1$、$b=-6$、$c=15$，再任选一种方法计算即可。
【解析】
方法一（配方法）：
将抛物线解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y &= x^2 -6x +15\\&=x^2 -6x +9 +6\\&=(x-3)^2 +6\end{aligned}$
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此该抛物线顶点坐标为$(3,6)$。
方法二（公式法）：
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$、$b=-6$得：
$x=-\frac{-6}{2×1}=3$
将$x=3$代入原解析式得：
$y=3^2 -6×3 +15=9-18+15=6$
因此顶点坐标为$(3,6)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标；配方法；顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，主要考查二次函数顶点坐标的求解方法，熟练掌握配方法或顶点坐标公式，注意计算时的符号问题即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3.将二次函数$y=x^2 -4x -3$化为$y=a(x-h)^2 +k$的形式，正确的是(
A.$y=(x-2)^2 +1$
B.$y=(x-2)^2 -7$
C.$y=(x+2)^2 +1$
D.$y=(x+2)^2 -7$
B
).A.$y=(x-2)^2 +1$
B.$y=(x-2)^2 -7$
C.$y=(x+2)^2 +1$
D.$y=(x+2)^2 -7$
答案
3.B
解析
【分析】
这道题考查二次函数一般式转化为顶点式的方法，解题核心是运用配方法。思考步骤如下：第一步，先将二次项和一次项看作一组，分离出常数项；第二步，对二次项和一次项组成的多项式配方，加上一次项系数一半的平方，为了保证式子的值不变，还要同时减去相同的数；第三步，将配方后的完全平方式整理，合并常数项即可得到顶点式，再对应选项判断。
【解析】
我们用配方法对$y=x^2-4x-3$变形：
1. 分组，将含$x$的项放在一起：
$y=(x^2-4x)-3$
2. 配方，一次项系数是$-4$，它的一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，给括号内加4再减4（保证式子值不变）：
$y=(x^2-4x+4)-4-3$
3. 括号内写成完全平方形式，合并常数项：
$y=(x-2)^2-7$
对比选项，可知B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查配方法的正确使用，解题时要注意配方时增减的常数相等，避免改变原式的大小，熟练掌握配方步骤即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次函数一般式转化为顶点式的方法，解题核心是运用配方法。思考步骤如下：第一步，先将二次项和一次项看作一组，分离出常数项；第二步，对二次项和一次项组成的多项式配方，加上一次项系数一半的平方，为了保证式子的值不变，还要同时减去相同的数；第三步，将配方后的完全平方式整理，合并常数项即可得到顶点式，再对应选项判断。
【解析】
我们用配方法对$y=x^2-4x-3$变形：
1. 分组，将含$x$的项放在一起：
$y=(x^2-4x)-3$
2. 配方，一次项系数是$-4$，它的一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，给括号内加4再减4（保证式子值不变）：
$y=(x^2-4x+4)-4-3$
3. 括号内写成完全平方形式，合并常数项：
$y=(x-2)^2-7$
对比选项，可知B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查配方法的正确使用，解题时要注意配方时增减的常数相等，避免改变原式的大小，熟练掌握配方步骤即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4.关于抛物线$y=-x^2+6x+7$，下列说法正确的是(
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.与$y$轴的交点坐标是$(0,7)$
D.顶点坐标是$(3,2)$
C
).A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.与$y$轴的交点坐标是$(0,7)$
D.顶点坐标是$(3,2)$
答案
4.C
解析
【分析】
要判断关于二次函数的四个说法是否正确，需结合二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质逐步分析：①根据$a$的正负判断开口方向；②利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求对称轴；③令$x=0$代入函数解析式，即可得到与$y$轴交点的纵坐标；④利用顶点坐标公式求顶点坐标，最后逐一核对选项即可选出正确答案。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+6x+7$，其中$a=-1$，$b=6$，$c=7$：
1. 判断A选项：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A选项错误；
2. 判断B选项：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，不是$x=-3$，B选项错误；
3. 判断C选项：令$x=0$，代入解析式得$y=0+0+7=7$，$\therefore$抛物线与$y$轴交点坐标为$(0,7)$，C选项正确；
4. 判断D选项：顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×7 - 6^2}{4×(-1)}=\frac{-28-36}{-4}=16$，即顶点坐标为$(3,16)$，不是$(3,2)$，D选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称轴；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础性质的考查，熟练掌握二次函数相关基础量的求解方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断关于二次函数的四个说法是否正确，需结合二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质逐步分析：①根据$a$的正负判断开口方向；②利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求对称轴；③令$x=0$代入函数解析式，即可得到与$y$轴交点的纵坐标；④利用顶点坐标公式求顶点坐标，最后逐一核对选项即可选出正确答案。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+6x+7$，其中$a=-1$，$b=6$，$c=7$：
1. 判断A选项：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A选项错误；
2. 判断B选项：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，不是$x=-3$，B选项错误；
3. 判断C选项：令$x=0$，代入解析式得$y=0+0+7=7$，$\therefore$抛物线与$y$轴交点坐标为$(0,7)$，C选项正确；
4. 判断D选项：顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-1)×7 - 6^2}{4×(-1)}=\frac{-28-36}{-4}=16$，即顶点坐标为$(3,16)$，不是$(3,2)$，D选项错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称轴；二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数基础性质的考查，熟练掌握二次函数相关基础量的求解方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5.已知抛物线$y=x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，且与$x$轴交于点$(1,0)$，当$-2＜x＜1$时，$y$的取值范围是(
A.$-3＜y＜0$
B.$-4≤y＜0$
C.$-4＜y＜-3$
D.$-3＜y＜1$
B
).A.$-3＜y＜0$
B.$-4≤y＜0$
C.$-4＜y＜-3$
D.$-3＜y＜1$
答案
5.B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，利用二次函数对称轴公式求出参数b的值；第二步，将抛物线与x轴的交点坐标代入解析式，求出参数c的值，得到完整的二次函数解析式；第三步，结合二次函数的开口方向、顶点坐标，以及给定的x的取值范围，分别求出y的最小值和最大值（注意开闭区间对取值的影响），最终确定y的取值范围。
【解析】
1. 求参数b：
二次函数$y=x^2+bx+c$中$a=1$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，已知对称轴为$x=-1$，代入得：
$-\frac{b}{2×1}=-1$，解得$b=2$。
2. 求参数c：
已知抛物线过点$(1,0)$，将$x=1,y=0,b=2$代入解析式得：
$0=1^2+2×1+c$，解得$c=-3$。
因此抛物线解析式为$y=x^2+2x-3$，整理为顶点式为$y=(x+1)^2-4$。
3. 求$-2＜x＜1$时y的取值范围：
该抛物线开口向上，顶点坐标为$(-1,-4)$，顶点横坐标$-1$在区间$(-2,1)$内，因此y的最小值为顶点纵坐标$-4$（可取得，因为$x=-1$在区间内）。
分别计算区间端点的y值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^2+2×(-2)-3=-3$；
当$x=1$时，$y=1^2+2×1-3=0$。
由于区间是$-2＜x＜1$，$x$无法取到$-2$和$1$，因此$y＜0$。
综上，y的取值范围是$-4≤ y＜0$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；二次函数最值
【点评】
本题重点考查二次函数解析式的确定与区间内函数值范围的求解，解题的关键是先准确求出函数解析式，再结合开口方向、顶点位置判断最值，要注意开区间的端点值无法取到，避免取值范围判断错误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，利用二次函数对称轴公式求出参数b的值；第二步，将抛物线与x轴的交点坐标代入解析式，求出参数c的值，得到完整的二次函数解析式；第三步，结合二次函数的开口方向、顶点坐标，以及给定的x的取值范围，分别求出y的最小值和最大值（注意开闭区间对取值的影响），最终确定y的取值范围。
【解析】
1. 求参数b：
二次函数$y=x^2+bx+c$中$a=1$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，已知对称轴为$x=-1$，代入得：
$-\frac{b}{2×1}=-1$，解得$b=2$。
2. 求参数c：
已知抛物线过点$(1,0)$，将$x=1,y=0,b=2$代入解析式得：
$0=1^2+2×1+c$，解得$c=-3$。
因此抛物线解析式为$y=x^2+2x-3$，整理为顶点式为$y=(x+1)^2-4$。
3. 求$-2＜x＜1$时y的取值范围：
该抛物线开口向上，顶点坐标为$(-1,-4)$，顶点横坐标$-1$在区间$(-2,1)$内，因此y的最小值为顶点纵坐标$-4$（可取得，因为$x=-1$在区间内）。
分别计算区间端点的y值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^2+2×(-2)-3=-3$；
当$x=1$时，$y=1^2+2×1-3=0$。
由于区间是$-2＜x＜1$，$x$无法取到$-2$和$1$，因此$y＜0$。
综上，y的取值范围是$-4≤ y＜0$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；二次函数最值
【点评】
本题重点考查二次函数解析式的确定与区间内函数值范围的求解，解题的关键是先准确求出函数解析式，再结合开口方向、顶点位置判断最值，要注意开区间的端点值无法取到，避免取值范围判断错误。
【难度系数】
0.7
6.二次函数$y=x^2 -6x +8$图象的顶点坐标是
(3,-1)
。答案
6.(3,-1)
解析
【分析】
要求二次函数图象的顶点坐标，我们可以用九年级所学的两种常用方法求解：
方法一：配方法，将二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标直接对应$(h,k)$；
方法二：顶点坐标公式法，直接代入公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算即可。
本题中二次函数为$y=x^2-6x+8$，对应$a=1,b=-6,c=8$，任选一种方法计算即可。
【解析】
方法一（配方法）：
对二次项和一次项配方：
$y=x^2-6x+8$
$=x^2-6x+9-9+8$
$=(x-3)^2-1$
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此顶点坐标为$(3,-1)$。
方法二（顶点坐标公式法）：
代入顶点横坐标公式：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2×1}=3$
代入顶点纵坐标公式：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×8-(-6)^2}{4×1}=\frac{32-36}{4}=-1$
因此顶点坐标为$(3,-1)$。
【答案】
$(3,-1)$
【知识点】
配方法、顶点坐标公式、二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查二次函数顶点坐标的求解方法，只要熟练掌握配方法或者顶点坐标公式，计算时注意符号即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
要求二次函数图象的顶点坐标，我们可以用九年级所学的两种常用方法求解：
方法一：配方法，将二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，顶点坐标直接对应$(h,k)$；
方法二：顶点坐标公式法，直接代入公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算即可。
本题中二次函数为$y=x^2-6x+8$，对应$a=1,b=-6,c=8$，任选一种方法计算即可。
【解析】
方法一（配方法）：
对二次项和一次项配方：
$y=x^2-6x+8$
$=x^2-6x+9-9+8$
$=(x-3)^2-1$
顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，因此顶点坐标为$(3,-1)$。
方法二（顶点坐标公式法）：
代入顶点横坐标公式：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2×1}=3$
代入顶点纵坐标公式：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×8-(-6)^2}{4×1}=\frac{32-36}{4}=-1$
因此顶点坐标为$(3,-1)$。
【答案】
$(3,-1)$
【知识点】
配方法、顶点坐标公式、二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查二次函数顶点坐标的求解方法，只要熟练掌握配方法或者顶点坐标公式，计算时注意符号即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.85
7.将抛物线$y=x^2 -2x +1$向左平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为
$y=x^2$
。答案
7.$y=x^2$
解析
【分析】
解决二次函数图象平移问题，核心是抓住平移过程中抛物线的形状、开口大小不变，仅位置改变，可通过两种常用思路求解：思路1：先将原二次函数一般式转化为顶点式，确定顶点坐标，根据平移规则得到平移后的顶点坐标，再写出新的顶点式解析式即可；思路2：直接运用“左加右减，上加下减”的平移规则，对原解析式中的自变量进行替换计算。本题中原解析式可直接整理为完全平方形式，能简化计算过程。
【解析】
方法一：先将原抛物线解析式化为顶点式：
$y=x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$，
可得原抛物线的顶点坐标为$(1,0)$，
将抛物线向左平移1个单位长度，顶点横坐标减1，纵坐标不变，得到新顶点坐标为$(1-1,0)$即$(0,0)$，
平移不改变抛物线的开口方向和大小，二次项系数不变，因此平移后抛物线的解析式为$y=(x-0)^2 = x^2$。
方法二：根据平移“左加右减”的规则，向左平移1个单位，即将原解析式中所有$x$替换为$x+1$，代入得：
$y=(x+1)^2 - 2(x+1) +1$
展开计算：$y=x^2 +2x +1 -2x -2 +1 = x^2$。
【答案】
$y=x^2$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数式的转化
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移规则的应用，无论是通过顶点平移求解，还是直接对解析式变形，只要准确掌握“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对常数项）”的规律，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解决二次函数图象平移问题，核心是抓住平移过程中抛物线的形状、开口大小不变，仅位置改变，可通过两种常用思路求解：思路1：先将原二次函数一般式转化为顶点式，确定顶点坐标，根据平移规则得到平移后的顶点坐标，再写出新的顶点式解析式即可；思路2：直接运用“左加右减，上加下减”的平移规则，对原解析式中的自变量进行替换计算。本题中原解析式可直接整理为完全平方形式，能简化计算过程。
【解析】
方法一：先将原抛物线解析式化为顶点式：
$y=x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$，
可得原抛物线的顶点坐标为$(1,0)$，
将抛物线向左平移1个单位长度，顶点横坐标减1，纵坐标不变，得到新顶点坐标为$(1-1,0)$即$(0,0)$，
平移不改变抛物线的开口方向和大小，二次项系数不变，因此平移后抛物线的解析式为$y=(x-0)^2 = x^2$。
方法二：根据平移“左加右减”的规则，向左平移1个单位，即将原解析式中所有$x$替换为$x+1$，代入得：
$y=(x+1)^2 - 2(x+1) +1$
展开计算：$y=x^2 +2x +1 -2x -2 +1 = x^2$。
【答案】
$y=x^2$
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数式的转化
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移规则的应用，无论是通过顶点平移求解，还是直接对解析式变形，只要准确掌握“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对常数项）”的规律，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
8.二次函数$y=x^2 - 2x + 2$的最小值为
1
.答案
8.1
解析
【分析】
要解决二次函数求最小值的问题，我们可以结合二次函数的性质思考：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中，若$a＞0$，抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值就是顶点的纵坐标。我们可以用两种常用方法计算：一是用配方法把一般式转化为顶点式，直接得到最小值；二是代入二次函数最值公式计算。本题中二次项系数$a=1＞0$，符合有最小值的情况，任选一种方法计算即可。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式配方变形：
$y=x^2 - 2x + 2$
$=(x^2 - 2x +1) +1$
$=(x-1)^2 +1$
因为二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为1。
方法二（公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＞0$时，函数最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=2$，代入公式得：
最小值$=\frac{4×1×2 - (-2)^2}{4×1}=\frac{8-4}{4}=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值公式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，是该模块的常规题型，熟练掌握配方法或者二次函数最值公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数求最小值的问题，我们可以结合二次函数的性质思考：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中，若$a＞0$，抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值就是顶点的纵坐标。我们可以用两种常用方法计算：一是用配方法把一般式转化为顶点式，直接得到最小值；二是代入二次函数最值公式计算。本题中二次项系数$a=1＞0$，符合有最小值的情况，任选一种方法计算即可。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式配方变形：
$y=x^2 - 2x + 2$
$=(x^2 - 2x +1) +1$
$=(x-1)^2 +1$
因为二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为1。
方法二（公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＞0$时，函数最小值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=2$，代入公式得：
最小值$=\frac{4×1×2 - (-2)^2}{4×1}=\frac{8-4}{4}=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的性质、配方法、二次函数最值公式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，是该模块的常规题型，熟练掌握配方法或者二次函数最值公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
9.把二次函数$y=x^2 -4x +3$变形为$y=a(x-h)^2 +k$的形式为
$y=(x-2)^2-1$
。答案
9.$y=(x-2)^2-1$
解析
【分析】
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，解题核心是运用配方法构造完全平方式。首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需提取系数，只需将含x的二次项、一次项组合，在括号内加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证代数式的值不变，最后将前三项写成完全平方形式，合并剩余常数项即可得到顶点式。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -4x +3$进行配方：
第一步，将含x的项分组，得：
$y=(x^2 -4x)+3$
第二步，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，在括号内加4再减4，保证等式成立：
$y=(x^2 -4x +4 -4)+3$
第三步，将括号内前三项写成完全平方形式，再合并常数项：
$y=(x-2)^2 -4 +3$
$y=(x-2)^2 -1$
【答案】
$y=(x-2)^2-1$
【知识点】
1. 二次函数一般式化顶点式
2. 配方法
3. 完全平方公式
【点评】
本题属于二次函数部分的基础题型，重点考查配方法的实际运用，掌握该转化方法是后续学习二次函数顶点、对称轴、最值等性质的前提，需熟练掌握配方的步骤，避免常数项计算错误。
【难度系数】
0.8
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，解题核心是运用配方法构造完全平方式。首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需提取系数，只需将含x的二次项、一次项组合，在括号内加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证代数式的值不变，最后将前三项写成完全平方形式，合并剩余常数项即可得到顶点式。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -4x +3$进行配方：
第一步，将含x的项分组，得：
$y=(x^2 -4x)+3$
第二步，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(-4÷2)^2=4$，在括号内加4再减4，保证等式成立：
$y=(x^2 -4x +4 -4)+3$
第三步，将括号内前三项写成完全平方形式，再合并常数项：
$y=(x-2)^2 -4 +3$
$y=(x-2)^2 -1$
【答案】
$y=(x-2)^2-1$
【知识点】
1. 二次函数一般式化顶点式
2. 配方法
3. 完全平方公式
【点评】
本题属于二次函数部分的基础题型，重点考查配方法的实际运用，掌握该转化方法是后续学习二次函数顶点、对称轴、最值等性质的前提，需熟练掌握配方的步骤，避免常数项计算错误。
【难度系数】
0.8
10.若抛物线$y=2x^2+bx+1$的对称轴为直线$x=-1$，则$b=$
4
.答案
10.4
解析
【分析】
要解这道题，首先回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。本题已经给出抛物线的一般式和对称轴的具体值，我们只需先确定式中$a$的取值，再把$a$和已知对称轴的数值代入公式，就能得到关于$b$的一元一次方程，解方程即可求出$b$的值，计算时要注意符号不要出错。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=2x^2+bx+1$中，$a=2$，已知对称轴为直线$x=-1$，代入公式可得：
$-1=-\frac{b}{2×2}$
整理得：$-1=-\frac{b}{4}$
方程两边同时乘$-4$，解得$b=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 二次函数一般式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数对称轴公式的直接应用，解题关键是牢记公式，代入计算时注意规避符号错误即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
要解这道题，首先回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。本题已经给出抛物线的一般式和对称轴的具体值，我们只需先确定式中$a$的取值，再把$a$和已知对称轴的数值代入公式，就能得到关于$b$的一元一次方程，解方程即可求出$b$的值，计算时要注意符号不要出错。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=2x^2+bx+1$中，$a=2$，已知对称轴为直线$x=-1$，代入公式可得：
$-1=-\frac{b}{2×2}$
整理得：$-1=-\frac{b}{4}$
方程两边同时乘$-4$，解得$b=4$。
【答案】
4
【知识点】
1. 二次函数对称轴公式
2. 二次函数一般式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数对称轴公式的直接应用，解题关键是牢记公式，代入计算时注意规避符号错误即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
11.已知二次函数$y=x^2 -2x -3$.
(1)求该函数图象的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
(2)请画出该函数的大致图象.
(1)求该函数图象的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
(2)请画出该函数的大致图象.
答案
11.【解】(1)
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∴该函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$，与 y 轴交点坐标为$(0,-3)$.
∵$y=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$，
当$(x-3)(x+1)=0$时，$x=3$或$x=-1$，
∴该函数图象与 x 轴交点的坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$.
(2)如图。
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先回忆二次函数顶点坐标的求解方法：可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；求函数与坐标轴交点的通用方法是：与y轴交点令x=0计算y值，与x轴交点令y=0解一元二次方程得到x值，即可写出对应交点坐标。第(2)问绘制二次函数图象，只需先确定开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点等关键特征点，再用平滑曲线连接即可。
【解析】
(1) ①求顶点坐标：
对二次函数$y=x^2-2x-3$进行配方：
$y=x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得该函数顶点坐标为$(1,-4)$。
②求与y轴交点：
令$x=0$，代入函数得$y=0-0-3=-3$，因此与y轴交点坐标为$(0,-3)$。
③求与x轴交点：
令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$或$x=-1$，因此与x轴交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
(2) 绘制图象：先确定该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，标记出顶点$(1,-4)$、与坐标轴的三个交点，再补充1~2组对称点，用平滑曲线顺次连接所有点，即可得到函数的大致图象。
【答案】
(1)
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∴该函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$，与 y 轴交点坐标为$(0,-3)$。
∵$y=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$，
当$(x-3)(x+1)=0$时，$x=3$或$x=-1$，
∴该函数图象与 x 轴交点的坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
(2) 如图。
【知识点】
二次函数顶点求解、二次函数交点求解、二次函数图象绘制
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，主要检验学生对二次函数核心基础性质的掌握程度，熟练掌握配方法和函数交点求解方法是后续解决二次函数相关问题的必备基础。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先回忆二次函数顶点坐标的求解方法：可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；求函数与坐标轴交点的通用方法是：与y轴交点令x=0计算y值，与x轴交点令y=0解一元二次方程得到x值，即可写出对应交点坐标。第(2)问绘制二次函数图象，只需先确定开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点等关键特征点，再用平滑曲线连接即可。
【解析】
(1) ①求顶点坐标：
对二次函数$y=x^2-2x-3$进行配方：
$y=x^2-2x-3=x^2-2x+1-1-3=(x-1)^2-4$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得该函数顶点坐标为$(1,-4)$。
②求与y轴交点：
令$x=0$，代入函数得$y=0-0-3=-3$，因此与y轴交点坐标为$(0,-3)$。
③求与x轴交点：
令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x=3$或$x=-1$，因此与x轴交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
(2) 绘制图象：先确定该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，标记出顶点$(1,-4)$、与坐标轴的三个交点，再补充1~2组对称点，用平滑曲线顺次连接所有点，即可得到函数的大致图象。
【答案】
(1)
∵$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
∴该函数图象的顶点坐标为$(1,-4)$，与 y 轴交点坐标为$(0,-3)$。
∵$y=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$，
当$(x-3)(x+1)=0$时，$x=3$或$x=-1$，
∴该函数图象与 x 轴交点的坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$。
(2) 如图。
【知识点】
二次函数顶点求解、二次函数交点求解、二次函数图象绘制
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，主要检验学生对二次函数核心基础性质的掌握程度，熟练掌握配方法和函数交点求解方法是后续解决二次函数相关问题的必备基础。
【难度系数】
0.8
