12.如图，抛物线$y=(x-1)^2 -4$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$D$，抛物线的顶点为$C$.
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)若点$P$是抛物线上一动点，当$△ ABP$的面积为$6$时，求所有符合条件的点$P$的坐标.

12.【解】(1)$\because$抛物线与$x$轴交于$A$，$B$两点，抛物线的顶点为$C$，$\therefore$点$C(1,-4)$。点$C$到$x$轴的距离为$|-4|=4$。$\therefore$当$y=0$时，$(x-1)^2-4=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。$\therefore$点$A(-1,0)$，$B(3,0)$。$\therefore AB=4$。$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×4×4=8$。$\therefore△ ABC$的面积为$8$。
(2)设点$P$的坐标为$(m,n)$，$\because△ ABP$的面积为$6$，$\therefore\dfrac{1}{2}AB·|n|=6$。$\therefore n=\pm3$。$\because$点$P(m,n)$在抛物线$y=(x-1)^2-4$上，$\therefore n=(m-1)^2-4$。$\therefore(m-1)^2-4=-3$或$(m-1)^2-4=3$。解得$m_1=0,m_2=2,m_3=1-\sqrt{7},m_4=1+\sqrt{7}$。$\therefore$符合条件的点$P$的坐标为$(0,-3)$或$(2,-3)$或$(1-\sqrt{7},3)$或$(1+\sqrt{7},3)$。

【分析】
(1) 求△ABC的面积，首先确定底AB的长度和AB边上的高：AB是抛物线与x轴交点的连线段，令y=0解一元二次方程即可得到A、B两点坐标，算出AB长度；抛物线顶点C的坐标可直接由顶点式得到，C到x轴的距离就是△ABC中AB边上的高，代入三角形面积公式计算即可。
(2) △ABP的底AB长度固定，因此可先根据面积求出点P到x轴的距离，即点P纵坐标的绝对值，分纵坐标为3和-3两种情况，分别代入抛物线解析式求解对应的横坐标，即可得到所有符合条件的点P的坐标。
【解析】
(1) 由抛物线顶点式$y=(x-1)^2 -4$可得顶点C的坐标为$(1,-4)$，则点C到x轴的距离为$|-4|=4$。
令$y=0$，则$(x-1)^2 -4=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∴点A坐标为$(-1,0)$，点B坐标为$(3,0)$，
∴$AB=3 - (-1)=4$，
∴$S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}×AB×4=\dfrac{1}{2}×4×4=8$。
(2) 设点P的坐标为$(m,n)$，
∵$S_{△ABP}=6$，$AB=4$，
∴$\dfrac{1}{2}×AB×|n|=6$，即$\dfrac{1}{2}×4×|n|=6$，
解得$n=\pm3$。
∵点P在抛物线上，
∴将$(m,n)$代入$y=(x-1)^2 -4$得$(m-1)^2 -4 = n$。
当$n=-3$时，$(m-1)^2 -4=-3$，解得$m_1=0$，$m_2=2$；
当$n=3$时，$(m-1)^2 -4=3$，解得$m_3=1-\sqrt{7}$，$m_4=1+\sqrt{7}$。
∴符合条件的点P坐标为$(0,-3)$、$(2,-3)$、$(1-\sqrt{7},3)$、$(1+\sqrt{7},3)$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；
(2) $\boxed{(0,-3)}$、$\boxed{(2,-3)}$、$\boxed{(1-\sqrt{7},3)}$、$\boxed{(1+\sqrt{7},3)}$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点求解；三角形面积计算；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础应用类题目，解题的关键是抓住AB为定长这一特点，将面积条件转化为动点纵坐标的取值，再代入解析式求解，注意要考虑纵坐标正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

1.已知点$(-1,y_1),(1,y_2),(4,y_3)$是抛物线$y=-(x-1)^2+2$上的点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为().

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$

1.D

【分析】
要比较抛物线上三个点的纵坐标大小，首先先分析该抛物线的基本性质：所给抛物线为顶点式，首先确定其开口方向、对称轴，开口向下的抛物线上的点，离对称轴水平距离越近，对应的函数值越大；也可以直接将三个点的横坐标代入解析式，计算出对应函数值后直接比较大小，两种方法均可解题。
【解析】
方法1：利用二次函数性质判断
抛物线解析式为$y=-(x-1)^2+2$，其中$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$。
开口向下的抛物线中，点到对称轴的水平距离越小，对应函数值越大：
点$(-1,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为$\left|-1-1\right|=2$；
点$(1,y_2)$到对称轴$x=1$的距离为$\left|1-1\right|=0$；
点$(4,y_3)$到对称轴$x=1$的距离为$\left|4-1\right|=3$。
因为$0＜2＜3$，所以函数值大小关系为$y_2＞y_1＞y_3$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
方法2：代入求值法
将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式：
当$x=-1$时，$y_1=-(-1-1)^2+2=-4+2=-2$；
当$x=1$时，$y_2=-(1-1)^2+2=0+2=2$；
当$x=4$时，$y_3=-(4-1)^2+2=-9+2=-7$。
比较三个函数值：$-7＜-2＜2$，即$y_3＜y_1＜y_2$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象性质、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，两种解题方法都需要熟练掌握，利用抛物线开口方向和对称轴的性质判断大小能大幅缩短解题时间，需牢记二次函数顶点式对应的图象特征。
【难度系数】
0.8

2.已知二次函数$y=(x-h)^2+1$（$h$为常数），当$1≤x≤3$时，$y$的最小值为5，那么$h$的值为().

A.$-1$
B.$5$
C.$-1$或$5$
D.$1$或$-5$

2.C 【提示】二次函数图象的顶点为$(h,1)$，开口向上。当$1≤ h≤ 3$时，最小值为$1$，不符合题意，故分$h＜1$和$h＞3$两种情况讨论，分别令$x=1$和$x=3$时$y=5$，解方程并舍去不符合条件的解。

【分析】
本题考查二次函数顶点式的最值问题，解题思路如下：首先明确二次函数$y=(x-h)^2+1$开口向上，顶点坐标为$(h,1)$，函数的最小值为1；题目要求在$1≤x≤3$的区间内y的最小值为5，说明顶点不在该区间内，因此需要分对称轴（即直线x=h）在区间左侧、右侧两种情况讨论：当h＜1时，函数在区间内单调递增，最小值在x=1处取得；当h＞3时，函数在区间内单调递减，最小值在x=3处取得，分别代入列方程求解，再舍去不符合取值范围的解即可得到h的值。
【解析】
已知二次函数$y=(x-h)^2+1$，其图象开口向上，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,1)$，当$x=h$时，$y$取得最小值1。
∵当$1≤x≤3$时，$y$的最小值为5≠1，
∴对称轴$x=h$不在区间$[1,3]$内，分两种情况讨论：
1. 当$h＜1$时，在$1≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=1$时$y$取最小值5，代入得：
$(1-h)^2+1=5$
整理得$(1-h)^2=4$
开方得$1-h=2$或$1-h=-2$
解得$h=-1$或$h=3$
∵$h＜1$，
∴$h=3$不符合题意，舍去，得$h=-1$。
2. 当$h＞3$时，在$1≤x≤3$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此$x=3$时$y$取最小值5，代入得：
$(3-h)^2+1=5$
整理得$(3-h)^2=4$
开方得$3-h=2$或$3-h=-2$
解得$h=1$或$h=5$
∵$h＞3$，
∴$h=1$不符合题意，舍去，得$h=5$。
综上，$h$的值为$-1$或$5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数区间最值，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数最值应用的常考题型，解题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值的取值点，通过分类讨论避免漏解，同时要注意对求解结果进行取舍，排除不符合取值范围的解。
【难度系数】
0.65

3.抛物线$y=a(x+h)^2+k(a＜0)$的开口方向是，顶点坐标是，对称轴是直线.当x时，函数y随x的增大而增大；当x时，函数y随x的增大而减小.

3.向下，$(-h,k)$，$x=-h$，$＜-h$，$＞-h$

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-m)^2+n$的基本性质：①a的符号决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下；②顶点坐标为$(m,n)$，对称轴为直线$x=m$；③开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，对称轴右侧y随x增大而减小。本题给出的解析式是$y=a(x+h)^2+k$，只需将其变形为标准顶点式的形式，对应代入性质即可得出结果，注意符号不要出错。
【解析】
1. 开口方向判断：二次函数中二次项系数a的符号决定开口方向，已知$a＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 顶点坐标与对称轴：将给定解析式变形为标准顶点式$y=a[x-(-h)]^2+k$，对照标准顶点式的性质，可得该抛物线顶点坐标为$(-h,k)$，对称轴是直线$x=-h$；
3. 增减性判断：因抛物线开口向下，函数图象在对称轴左侧呈上升趋势，右侧呈下降趋势，因此当$x＜-h$时，y随x的增大而增大；当$x＞-h$时，y随x的增大而减小。
【答案】
向下，$(-h,k)$，$x=-h$，$＜-h$，$＞-h$
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数图象特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点需要注意顶点式中括号内是加号时对应顶点横坐标的符号，牢记a的正负对开口方向和增减性的影响，就能快速得分。
【难度系数】
0.9

4.如图是抛物线$y=(x-h)^2 -9$的部分图象，若$y≤0$，则自变量$x$的取值范围是。

4.$-1≤ x≤5$ 【提示】观察题图可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(-1,0)$，从而可判断$y≤0$时对应自变量取值范围。

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先从图像中提取关键信息：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，且与x轴的一个交点坐标为$(-1,0)$；第二步，利用抛物线的轴对称性，计算出抛物线与x轴的另一个交点坐标，两个交点到对称轴的距离相等；第三步，结合开口方向判断$y≤0$对应的x范围：开口向上时，$y≤0$的部分对应x轴下方（含x轴）的图像，即两个交点之间的x的取值。
【解析】
解：
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=2$，且抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$，
根据抛物线的对称性，另一个交点到对称轴$x=2$的距离与点$(-1,0)$到对称轴的距离相等，
点$(-1,0)$到$x=2$的距离为$2 - (-1) = 3$，
∴ 另一个交点的横坐标为$2 + 3 = 5$，即另一个交点坐标为$(5,0)$，
又
∵ 抛物线开口向上，
∴ 当$y≤0$时，自变量x的取值范围是两个交点之间的区间，即$-1≤x≤5$。
【答案】
$-1≤x≤5$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数图像性质的典型应用，核心是利用抛物线的对称性求出未知的x轴交点，再结合开口方向判断不等式对应的x取值范围，解题过程用到数形结合思想，能很好地考查对二次函数图像的理解能力。
【难度系数】
0.7

5.已知抛物线的顶点A在直线$y=2x$上，抛物线过原点O，与x轴的另一个交点为B，且$OB=4$，求抛物线的解析式.

5.【解】$\because$抛物线的顶点$A$在直线$y=2x$上，设点$A(m,2m)$，则抛物线的解析式为$y=a(x-m)^2+2m$。$\because$抛物线过原点$O$，$\therefore am^2+2m=0$。$\because$抛物线与$x$轴的另一个交点为$B$，且$OB=4$，$\therefore B(4,0)$或$B(-4,0)$。将点$B(4,0)$的坐标代入，得$a(4-m)^2+2m=0$。联立得$m=2,a=-1$，$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+4x$。同理，当$B(-4,0)$时，抛物线的解析式为$y=x^2+4x$。$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+4x$或$y=x^2+4x$。

【分析】
要求抛物线的解析式，已知顶点在直线$y=2x$上，优先选择顶点式设解析式降低计算难度。首先根据顶点在直线上设出顶点坐标，写出顶点式；再结合抛物线过原点、$OB=4$的条件求解，注意$OB$是线段长度，所以点$B$的坐标有两种可能：$(4,0)$或$(-4,0)$，需分两种情况将对应点坐标代入解析式，联立方程求解参数，最后整理为一般式即可。
【解析】
∵抛物线的顶点$A$在直线$y=2x$上，
∴设顶点$A$的坐标为$(m,2m)$，
则可设抛物线的顶点式为$y=a(x-m)^2+2m$（$a≠0$）。
∵抛物线过原点$O(0,0)$，将$(0,0)$代入解析式得：
$a(0-m)^2+2m=0$，即$am^2+2m=0$ ①。
∵抛物线与$x$轴的另一个交点为$B$，且$OB=4$，
∴点$B$的坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$，分两种情况讨论：
1. 当$B$点坐标为$(4,0)$时，将$(4,0)$代入解析式得：
$a(4-m)^2+2m=0$ ②，
联立①②解得$m=2$，$a=-1$，
代入顶点式整理得：$y=-(x-2)^2+4=-x^2+4x$。
2. 当$B$点坐标为$(-4,0)$时，将$(-4,0)$代入解析式得：
$a(-4-m)^2+2m=0$ ③，
联立①③解得$m=-2$，$a=1$，
代入顶点式整理得：$y=(x+2)^2-4=x^2+4x$。
【答案】
$y=-x^2+4x$或$y=x^2+4x$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像性质，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数基础常考题，解题核心是结合顶点所在直线的条件合理选用顶点式简化计算，需注意线段长度转化为点坐标时要考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7