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1. 已知实数 $ x_1, x_2 $ 满足 $ x_1 + x_2 = 7, x_1 x_2 = 9 $，则以 $ x_1, x_2 $ 为根的一元二次方程是（
A.$ x^2 -7x +9=0 $
B.$ x^2 +7x +9=0 $
C.$ x^2 +7x -9=0 $
D.$ x^2 -7x -9=0 $
A
）。A.$ x^2 -7x +9=0 $
B.$ x^2 +7x +9=0 $
C.$ x^2 +7x -9=0 $
D.$ x^2 -7x -9=0 $
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系：对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$。题目已经直接给出两根之和$x_1+x_2=7$、两根之积$x_1x_2=9$，只需将数值代入上述公式，即可得到所求的一元二次方程，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，以$x_1$、$x_2$为根且二次项系数为1的一元二次方程的形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将$x_1 + x_2 = 7$，$x_1 x_2 = 9$代入上式，得：
$x^2 - 7x + 9 = 0$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 求作一元二次方程
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查已知两根的和与积构造一元二次方程的能力，熟记二次项系数为1时方程系数与两根和、积的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆一元二次方程根与系数的关系：对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$。题目已经直接给出两根之和$x_1+x_2=7$、两根之积$x_1x_2=9$，只需将数值代入上述公式，即可得到所求的一元二次方程，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，以$x_1$、$x_2$为根且二次项系数为1的一元二次方程的形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
将$x_1 + x_2 = 7$，$x_1 x_2 = 9$代入上式，得：
$x^2 - 7x + 9 = 0$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 求作一元二次方程
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心考查已知两根的和与积构造一元二次方程的能力，熟记二次项系数为1时方程系数与两根和、积的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
2. 如果关于$x$的方程$2x^2 -7x +m=0$的两个实数根互为倒数，那么$m$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.2
D.$-2$
C
）。A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.2
D.$-2$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时可从题干给出的两个条件出发思考：第一，两个实数根互为倒数，根据倒数的性质可知两根乘积为1；第二，题目明确是一元二次方程的两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）中两根之积的公式，可先列出关于m的等式求出m的候选值，再代入判别式验证是否满足有两个实根的要求即可。
【解析】
设方程$2x^2 -7x +m=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两根互为倒数可得：$x_1x_2=1$。
2. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中$a=2$，$c=m$，因此$x_1x_2=\frac{m}{2}$。
3. 联立等式：$\frac{m}{2}=1$，解得$m=2$。
4. 验证判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×2×2=49-16=33＞0$，符合方程有两个实数根的条件，因此$m=2$成立。
【答案】
C
【知识点】
根与系数的关系，倒数的性质，根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题时要注意不要遗漏验证根的判别式，避免求出的m值使得方程无实根，导致错解。
【难度系数】
0.8
解题时可从题干给出的两个条件出发思考：第一，两个实数根互为倒数，根据倒数的性质可知两根乘积为1；第二，题目明确是一元二次方程的两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）中两根之积的公式，可先列出关于m的等式求出m的候选值，再代入判别式验证是否满足有两个实根的要求即可。
【解析】
设方程$2x^2 -7x +m=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两根互为倒数可得：$x_1x_2=1$。
2. 根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题中$a=2$，$c=m$，因此$x_1x_2=\frac{m}{2}$。
3. 联立等式：$\frac{m}{2}=1$，解得$m=2$。
4. 验证判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×2×2=49-16=33＞0$，符合方程有两个实数根的条件，因此$m=2$成立。
【答案】
C
【知识点】
根与系数的关系，倒数的性质，根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题时要注意不要遗漏验证根的判别式，避免求出的m值使得方程无实根，导致错解。
【难度系数】
0.8
3. 设一元二次方程$x^2 -6x +4=0$的两个实数根分别为$x_1$和$x_2$，则$x_1 + x_2 =$
6
，$x_1 · x_2 =$4
。答案
3. 6，4
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从给定方程中对应找出$a、b、c$的取值，要特别注意系数的符号；再直接套用根与系数的关系公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1·x_2=\frac{c}{a}$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1、x_2$，则有根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}$
题目给出的方程为$x^2 -6x +4=0$，对应可得：$a=1$，$b=-6$，$c=4$
代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{1}=6$
$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{1}=4$
【答案】
6，4
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确提取方程各项的系数，尤其注意一次项系数的符号，避免因符号疏忽计算出错。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从给定方程中对应找出$a、b、c$的取值，要特别注意系数的符号；再直接套用根与系数的关系公式：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1·x_2=\frac{c}{a}$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若方程的两个实数根为$x_1、x_2$，则有根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1·x_2=\frac{c}{a}$
题目给出的方程为$x^2 -6x +4=0$，对应可得：$a=1$，$b=-6$，$c=4$
代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-6)}{1}=6$
$x_1·x_2=\frac{c}{a}=\frac{4}{1}=4$
【答案】
6，4
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确提取方程各项的系数，尤其注意一次项系数的符号，避免因符号疏忽计算出错。
【难度系数】
0.9
4. 一元二次方程$x^2 - kx +6=0$的一个实数根$x_1=2$，则另一个实数根$x_2=$
3
。答案
4. 3
解析
【分析】
解题时可从两个思路入手：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系，在$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之积等于$\frac{c}{a}$，本题直接用两根乘积关系即可快速求出另一个根，不需要计算参数$k$的值，更为简便；思路2：先将已知的根$x_1=2$代入原方程，求出$k$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$x^2 - kx +6=0$，其中$a=1$，$c=6$，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=6$。
已知$x_1=2$，代入得$2· x_2=6$，解得$x_2=3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=2$代入原方程得：$2^2 - 2k +6=0$，
计算得$4-2k+6=0$，即$10-2k=0$，解得$k=5$。
则原方程为$x^2 -5x +6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=3$，故另一个实数根为3。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，两种解题方法都可得到结果，灵活运用韦达定理可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
解题时可从两个思路入手：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系，在$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，两根之积等于$\frac{c}{a}$，本题直接用两根乘积关系即可快速求出另一个根，不需要计算参数$k$的值，更为简便；思路2：先将已知的根$x_1=2$代入原方程，求出$k$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
对于一元二次方程$x^2 - kx +6=0$，其中$a=1$，$c=6$，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=6$。
已知$x_1=2$，代入得$2· x_2=6$，解得$x_2=3$。
方法二（代入求参法）：
将$x_1=2$代入原方程得：$2^2 - 2k +6=0$，
计算得$4-2k+6=0$，即$10-2k=0$，解得$k=5$。
则原方程为$x^2 -5x +6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=3$，故另一个实数根为3。
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，两种解题方法都可得到结果，灵活运用韦达定理可简化计算步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
5. 已知关于x的一元二次方程$x^2 + 5x - m = 0$的一个根是-7，则另一个根是
2
。答案
5. 2
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根相关性质的应用，有两种常规解题思路：思路1：利用根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算参数m的值，通过两根之和的关系直接求另一个根，计算更简便。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入已知根即可快速求出未知根。思路2：利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
解法1（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，已知其中一个根$x_1=-7$。
对于方程$x^2 + 5x - m = 0$，$a=1$，$b=5$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-5$。
代入$x_1=-7$可得：$-7 + x_2 = -5$
解得：$x_2 = -5 +7 = 2$
解法2（代入求参法）：
将$x=-7$代入原方程$x^2 + 5x - m = 0$，得：
$(-7)^2 +5×(-7) - m = 0$
计算得：$49 -35 - m = 0$，即$14 - m = 0$，解得$m=14$。
则原方程为$x^2+5x-14=0$，因式分解得$(x+7)(x-2)=0$，解得$x_1=-7$，$x_2=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础题型，两种解题方法均适用，其中运用韦达定理求解可省略求参数的步骤，简化计算过程，是这类题的最优解法。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程根相关性质的应用，有两种常规解题思路：思路1：利用根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算参数m的值，通过两根之和的关系直接求另一个根，计算更简便。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入已知根即可快速求出未知根。思路2：利用一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
解法1（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_2$，已知其中一个根$x_1=-7$。
对于方程$x^2 + 5x - m = 0$，$a=1$，$b=5$，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-5$。
代入$x_1=-7$可得：$-7 + x_2 = -5$
解得：$x_2 = -5 +7 = 2$
解法2（代入求参法）：
将$x=-7$代入原方程$x^2 + 5x - m = 0$，得：
$(-7)^2 +5×(-7) - m = 0$
计算得：$49 -35 - m = 0$，即$14 - m = 0$，解得$m=14$。
则原方程为$x^2+5x-14=0$，因式分解得$(x+7)(x-2)=0$，解得$x_1=-7$，$x_2=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础题型，两种解题方法均适用，其中运用韦达定理求解可省略求参数的步骤，简化计算过程，是这类题的最优解法。
【难度系数】
0.9
6. 若一元二次方程$x^2 -8x -7=0$的两个实数根分别是$a$,$b$,请写出一次函数$y=abx + a + b$的表达式,并画出它的图象。
答案
解:
∵$x^2 -8x -7=0$的两个实数根分别是$a,b$,
∴$a+b=8,ab=-7$,
∴一次函数的表达式为$y=abx+a+b=-7x+8$。
（图象略）
∵$x^2 -8x -7=0$的两个实数根分别是$a,b$,
∴$a+b=8,ab=-7$,
∴一次函数的表达式为$y=abx+a+b=-7x+8$。
（图象略）
解析
【分析】
本题是一元二次方程根与系数关系和一次函数的结合类基础题，解题思路如下：首先观察待求的一次函数表达式中，未知系数恰好是方程两根的和$a+b$与两根的积$ab$，因此第一步先利用一元二次方程根与系数的关系，求出$a+b$和$ab$的值；第二步将求出的数值代入一次函数解析式，就能得到最终的表达式；画图象时只需找到函数与坐标轴的两个交点，连接两点即可画出对应直线。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 -8x -7=0$的两个实数根分别为$a$，$b$，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，两根之积$x_1x_2=\frac{C}{A}$，
∴ 代入对应系数可得：$a+b=-\frac{-8}{1}=8$，$ab=\frac{-7}{1}=-7$，
将$a+b=8$、$ab=-7$代入一次函数$y=abx + a + b$，得$y=-7x+8$。
（画图象提示：取$x=0$得交点$(0,8)$，取$y=0$得交点$(\frac{8}{7},0)$，在坐标系中描点连线即可得到函数图象，图象略）
【答案】
一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-7x+8}$，图象略。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，求一次函数解析式
【点评】
本题属于基础综合题，把一元二次方程和一次函数两个知识点结合考查，只要熟练掌握根与系数的关系，准确计算两根和与两根积，代入即可得到一次函数表达式，画一次函数图象只需确定两个点的坐标连线即可，整体解题门槛较低。
【难度系数】
0.85
本题是一元二次方程根与系数关系和一次函数的结合类基础题，解题思路如下：首先观察待求的一次函数表达式中，未知系数恰好是方程两根的和$a+b$与两根的积$ab$，因此第一步先利用一元二次方程根与系数的关系，求出$a+b$和$ab$的值；第二步将求出的数值代入一次函数解析式，就能得到最终的表达式；画图象时只需找到函数与坐标轴的两个交点，连接两点即可画出对应直线。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 -8x -7=0$的两个实数根分别为$a$，$b$，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，两根之积$x_1x_2=\frac{C}{A}$，
∴ 代入对应系数可得：$a+b=-\frac{-8}{1}=8$，$ab=\frac{-7}{1}=-7$，
将$a+b=8$、$ab=-7$代入一次函数$y=abx + a + b$，得$y=-7x+8$。
（画图象提示：取$x=0$得交点$(0,8)$，取$y=0$得交点$(\frac{8}{7},0)$，在坐标系中描点连线即可得到函数图象，图象略）
【答案】
一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-7x+8}$，图象略。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，求一次函数解析式
【点评】
本题属于基础综合题，把一元二次方程和一次函数两个知识点结合考查，只要熟练掌握根与系数的关系，准确计算两根和与两根积，代入即可得到一次函数表达式，画一次函数图象只需确定两个点的坐标连线即可，整体解题门槛较低。
【难度系数】
0.85
7. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (k + 4)x + 2k = 0 $。
(1)求证:不论 $ k $ 为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $,且满足 $ x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0 $,求 $ k $ 的值。
(1)求证:不论 $ k $ 为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $,且满足 $ x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0 $,求 $ k $ 的值。
答案
(1)证明:
∵$\Delta=[-(k+4)]^2-4×1×2k=k^2+16＞0$,
∴不论 $ k $ 取何值,方程总有两个不相等的实数根。
(2)解:由根与系数的关系可知,$x_1+x_2=k+4,x_1x_2=2k$。
∵$x_1+x_2-2x_1x_2=0$,
∴$k+4-4k=0$,解得 $ k=\frac{4}{3} $。
∵$\Delta=[-(k+4)]^2-4×1×2k=k^2+16＞0$,
∴不论 $ k $ 取何值,方程总有两个不相等的实数根。
(2)解:由根与系数的关系可知,$x_1+x_2=k+4,x_1x_2=2k$。
∵$x_1+x_2-2x_1x_2=0$,
∴$k+4-4k=0$,解得 $ k=\frac{4}{3} $。
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是证明根的判别式$\Delta$恒大于0。先根据方程确定系数$a、b、c$，代入$\Delta=b^2-4ac$的公式化简，判断化简结果的正负性即可完成证明。
(2)已知方程两根满足和与积的数量关系，可直接利用根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$k$的表达式，再代入题中等式得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值，因第一问已证明方程总有实根，无需额外验证判别式。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - (k + 4)x + 2k = 0$，其中$a=1$，$b=-(k+4)$，$c=2k$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac=[-(k+4)]^2 - 4×1×2k = k^2+8k+16-8k = k^2+16$，
∵$k^2≥0$，
∴$k^2+16≥16＞0$，
∴不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)解：由根与系数的关系可知，方程两根$x_1、x_2$满足：
$x_1+x_2=k+4$，$x_1x_2=2k$，
代入$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$得：
$k+4-2×2k=0$，
整理得$k+4-4k=0$，
解得$k=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)证明成立，不论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)$k=\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，第一问侧重根的判别式的应用，核心是化简判别式判断正负；第二问侧重根与系数关系的直接代入应用，运算量小，熟练掌握相关公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1)要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是证明根的判别式$\Delta$恒大于0。先根据方程确定系数$a、b、c$，代入$\Delta=b^2-4ac$的公式化简，判断化简结果的正负性即可完成证明。
(2)已知方程两根满足和与积的数量关系，可直接利用根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$k$的表达式，再代入题中等式得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$的值，因第一问已证明方程总有实根，无需额外验证判别式。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - (k + 4)x + 2k = 0$，其中$a=1$，$b=-(k+4)$，$c=2k$，
根的判别式$\Delta = b^2-4ac=[-(k+4)]^2 - 4×1×2k = k^2+8k+16-8k = k^2+16$，
∵$k^2≥0$，
∴$k^2+16≥16＞0$，
∴不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)解：由根与系数的关系可知，方程两根$x_1、x_2$满足：
$x_1+x_2=k+4$，$x_1x_2=2k$，
代入$x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 0$得：
$k+4-2×2k=0$，
整理得$k+4-4k=0$，
解得$k=\frac{4}{3}$。
【答案】
(1)证明成立，不论$k$为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)$k=\frac{4}{3}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题，第一问侧重根的判别式的应用，核心是化简判别式判断正负；第二问侧重根与系数关系的直接代入应用，运算量小，熟练掌握相关公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 已知 $ x_1, x_2 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 5 = 0 $ 的两个实数根。
(1) 若 $ (x_1 - 1)(x_2 - 1) = 28 $，求 $ m $ 的值；
(2) 已知等腰三角形 $ ABC $ 的一边长为 7，若 $ x_1, x_2 $ 恰好是 $ △ ABC $ 另外两边的长，求这个三角形的周长。
(1) 若 $ (x_1 - 1)(x_2 - 1) = 28 $，求 $ m $ 的值；
(2) 已知等腰三角形 $ ABC $ 的一边长为 7，若 $ x_1, x_2 $ 恰好是 $ △ ABC $ 另外两边的长，求这个三角形的周长。
答案
解:(1)根据题意得 $\Delta=4(m+1)^2-4(m^2+5)≥0$,解得
$m≥2$。
$x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2+5$。
∵$(x_1-1)(x_2-1)=28$,即 $x_1x_2-(x_1+x_2)+1=28$,
∴$m^2+5-2(m+1)+1=28$,
整理得 $m^2-2m-24=0$,解得 $m_1=6,m_2=-4$,
而 $m≥2$,
∴$m$ 的值为 6。
(2)若 $ x=7 $ 是一元二次方程 $ x^2-2(m+1)x+m^2+5=0 $
的一个解,
则把 $ x=7 $ 代入方程得 $49-14(m+1)+m^2+5=0$,
整理得 $m^2-14m+40=0$,解得 $m_1=10,m_2=4$。
当 $ m=10 $ 时,$x_1+x_2=2(m+1)=22$,解得 $x_2=15$,
而 $7+7＜15$,故舍去。
当 $ m=4 $ 时,$x_1+x_2=2(m+1)=10$,解得 $x_2=3$,
则这个三角形的周长为 $3+7+7=17$。
若 $ x_1=x_2 $,
则 $ \Delta=0 $,
∴$m=2$。
原方程化为 $ x^2-6x+9=0 $,解得 $x_1=x_2=3$,
而 $3+3＜7$,故舍去。
∴这个三角形的周长为 17。
$m≥2$。
$x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2+5$。
∵$(x_1-1)(x_2-1)=28$,即 $x_1x_2-(x_1+x_2)+1=28$,
∴$m^2+5-2(m+1)+1=28$,
整理得 $m^2-2m-24=0$,解得 $m_1=6,m_2=-4$,
而 $m≥2$,
∴$m$ 的值为 6。
(2)若 $ x=7 $ 是一元二次方程 $ x^2-2(m+1)x+m^2+5=0 $
的一个解,
则把 $ x=7 $ 代入方程得 $49-14(m+1)+m^2+5=0$,
整理得 $m^2-14m+40=0$,解得 $m_1=10,m_2=4$。
当 $ m=10 $ 时,$x_1+x_2=2(m+1)=22$,解得 $x_2=15$,
而 $7+7＜15$,故舍去。
当 $ m=4 $ 时,$x_1+x_2=2(m+1)=10$,解得 $x_2=3$,
则这个三角形的周长为 $3+7+7=17$。
若 $ x_1=x_2 $,
则 $ \Delta=0 $,
∴$m=2$。
原方程化为 $ x^2-6x+9=0 $,解得 $x_1=x_2=3$,
而 $3+3＜7$,故舍去。
∴这个三角形的周长为 17。
解析
【分析】
(1) 解题首先要明确：一元二次方程有两个实数根，需先满足判别式$\Delta ≥ 0$，先求出$m$的取值范围；再利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$m$的表达式，将给出的$(x_1-1)(x_2-1)=28$展开后代入表达式，解关于$m$的一元二次方程，最后结合$m$的取值范围舍去不符合的解即可。
(2) 等腰三角形一边长为7，另外两边是方程的根，需分两种情况讨论：①若7为腰长，则7是方程的一个根，代入方程求出$m$的值，再求出另一个根，用三角形三边关系判断能否构成三角形，能的话计算周长；②若7为底边长，则方程的两个根相等（两腰长相等），此时判别式$\Delta=0$，求出$m$的值后解出方程的根，同样用三边关系检验，最后确定符合条件的周长。
【解析】
(1) 由一元二次方程有两个实数根，可得判别式：
$\Delta=4(m+1)^2-4(m^2+5)≥0$
化简得$8m-16≥0$，解得$m≥2$
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2+5$
将$(x_1-1)(x_2-1)=28$展开得：$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=28$
代入上述表达式得：
$m^2+5-2(m+1)+1=28$
整理得$m^2-2m-24=0$
解得$m_1=6$，$m_2=-4$
结合$m≥2$的前提，舍去$m=-4$，故$m=6$。
(2) 分两种情况讨论：
情况一：若7为等腰三角形的腰长，则$x=7$是方程的一个根，代入方程得：
$49-14(m+1)+m^2+5=0$
整理得$m^2-14m+40=0$，解得$m_1=10$，$m_2=4$
①当$m=10$时，$x_1+x_2=2(m+1)=22$，另一个根为$22-7=15$，三边长为7、7、15，$7+7＜15$，不满足三角形三边关系，舍去；
②当$m=4$时，$x_1+x_2=2(m+1)=10$，另一个根为$10-7=3$，三边长为3、7、7，满足三角形三边关系，周长为$3+7+7=17$。
情况二：若7为等腰三角形的底边长，则方程两根相等，此时$\Delta=0$
即$4(m+1)^2-4(m^2+5)=0$，解得$m=2$
原方程化为$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$，三边长为3、3、7，$3+3＜7$，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，三角形周长为17。
【答案】
(1) $m=6$；(2) $\boxed{17}$
【知识点】
根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合题，解题时要优先考虑方程有实根的前提，涉及等腰三角形的问题要做到分类讨论不重不漏，求出边长后必须用三角形三边关系检验是否符合实际，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
(1) 解题首先要明确：一元二次方程有两个实数根，需先满足判别式$\Delta ≥ 0$，先求出$m$的取值范围；再利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于$m$的表达式，将给出的$(x_1-1)(x_2-1)=28$展开后代入表达式，解关于$m$的一元二次方程，最后结合$m$的取值范围舍去不符合的解即可。
(2) 等腰三角形一边长为7，另外两边是方程的根，需分两种情况讨论：①若7为腰长，则7是方程的一个根，代入方程求出$m$的值，再求出另一个根，用三角形三边关系判断能否构成三角形，能的话计算周长；②若7为底边长，则方程的两个根相等（两腰长相等），此时判别式$\Delta=0$，求出$m$的值后解出方程的根，同样用三边关系检验，最后确定符合条件的周长。
【解析】
(1) 由一元二次方程有两个实数根，可得判别式：
$\Delta=4(m+1)^2-4(m^2+5)≥0$
化简得$8m-16≥0$，解得$m≥2$
根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2+5$
将$(x_1-1)(x_2-1)=28$展开得：$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=28$
代入上述表达式得：
$m^2+5-2(m+1)+1=28$
整理得$m^2-2m-24=0$
解得$m_1=6$，$m_2=-4$
结合$m≥2$的前提，舍去$m=-4$，故$m=6$。
(2) 分两种情况讨论：
情况一：若7为等腰三角形的腰长，则$x=7$是方程的一个根，代入方程得：
$49-14(m+1)+m^2+5=0$
整理得$m^2-14m+40=0$，解得$m_1=10$，$m_2=4$
①当$m=10$时，$x_1+x_2=2(m+1)=22$，另一个根为$22-7=15$，三边长为7、7、15，$7+7＜15$，不满足三角形三边关系，舍去；
②当$m=4$时，$x_1+x_2=2(m+1)=10$，另一个根为$10-7=3$，三边长为3、7、7，满足三角形三边关系，周长为$3+7+7=17$。
情况二：若7为等腰三角形的底边长，则方程两根相等，此时$\Delta=0$
即$4(m+1)^2-4(m^2+5)=0$，解得$m=2$
原方程化为$x^2-6x+9=0$，解得$x_1=x_2=3$，三边长为3、3、7，$3+3＜7$，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，三角形周长为17。
【答案】
(1) $m=6$；(2) $\boxed{17}$
【知识点】
根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系
【点评】
本题是一元二次方程与几何的综合题，解题时要优先考虑方程有实根的前提，涉及等腰三角形的问题要做到分类讨论不重不漏，求出边长后必须用三角形三边关系检验是否符合实际，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
