二、拓展性作业
9. 阅读材料：
材料1:如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有两个实数根$x_1, x_2$，那么$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
材料2:已知一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根分别为$m, n$，求$m^2n + mn^2$的值。
解:∵$m, n$是一元二次方程$x^2 - x - 1 = 0$的两个实数根，
∴$m + n = 1, mn = -1$。
∴$m^2n + mn^2 = mn(m + n) = -1×1 = -1$。
根据上述材料，结合你所学的知识，解决下列问题:
(1)应用:若一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根为$x_1, x_2$，则$x_1 + x_2 =$ ，$x_1x_2 =$ ；
(2)类比:已知一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根为$m, n$，求$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$的值；
(3)提升:已知实数$s, t$满足$2s^2 + 3s - 1 = 0$，$2t^2 + 3t - 1 = 0$，求$s^2 + t^2$的值。

9. 解:(1)$-\frac{3}{2}$ $-\frac{1}{2}$
(2)一元二次方程 $2x^2+3x-1=0$ 的两个实数根为 $m,n$,
且 $a=2,b=3,c=-1$,
∴$m+n=-\frac{3}{2},mn=-\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}=\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=3$。
(3)
∵实数 $s,t$ 满足 $2s^2+3s-1=0,2t^2+3t-1=0$,
∴实数 $s,t$ 是一元二次方程 $2x^2+3x-1=0$ 的两个实
数根,
∴$s+t=-\frac{3}{2},st=-\frac{1}{2}$,
∴$s^2+t^2=(s+t)^2-2st=(-\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})=\frac{13}{4}$。

【分析】
本题围绕一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）展开考查，解题思路如下：
1. 第(1)问：直接套用韦达定理公式，先确定方程中a、b、c的取值，再分别计算两根之和、两根之积即可。
2. 第(2)问：先将所求的$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$通分变形为仅含$m+n$和$mn$的形式，再利用韦达定理求出$m+n$、$mn$的值，整体代入计算。
3. 第(3)问：首先观察到s、t满足同一个一元二次方程，因此s、t是方程$2x^2+3x-1=0$的两个实数根，再将$s^2+t^2$利用完全平方公式变形为$(s+t)^2-2st$，最后代入韦达定理的结果计算即可。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$2x^2+3x-1=0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-1$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$。
(2)
∵一元二次方程$2x^2+3x-1=0$的两个实数根为$m,n$，其中$a=2,b=3,c=-1$
∴由根与系数的关系得：$m+n=-\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$
对所求代数式变形：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}$
代入数值计算：$\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=3$
(3)
∵实数$s,t$分别满足$2s^2+3s-1=0$，$2t^2+3t-1=0$
∴$s,t$是一元二次方程$2x^2+3x-1=0$的两个实数根
由根与系数的关系得：$s+t=-\frac{3}{2}$，$st=-\frac{1}{2}$
利用完全平方公式变形：$s^2+t^2=(s+t)^2-2st$
代入数值计算：$(-\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$
【答案】
(1) $-\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{2}$
(2) $3$
(3) $\frac{13}{4}$
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 代数式化简
3. 完全平方公式
【点评】
本题属于材料阅读类题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的内容，同时能够灵活对所求代数式进行变形，将其转化为用两根之和、两根之积表示的形式，再整体代入计算即可，侧重考查公式应用能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7

10. 若$ x_1, x_2 $是一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0 $的两个实数根，且满足$ |x_1 - x_2| = 1 $，则此类方程称为“差根方程”。根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1) 判断下列方程是不是“差根方程”：
①$ x^2 - 4x + 4 = 0 $；
②$ 2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0 $。（填“是”或“否”）
(2) 已知关于$ x $的方程$ x^2 + 2ax = 0 $是“差根方程”，求$ a $的值。
(3) 若关于$ x $的方程$ ax^2 + bx + 1 = 0(a ＞ 0) $是“差根方程”，请写出$ a $与$ b $之间的数量关系式。

10. 解:(1)①否 ②是
(2)$x^2+2ax=0$,
因式分解,得 $x(x+2a)=0$,解得 $x_1=0,x_2=-2a$。
∵关于 $x$ 的方程 $x^2+2ax=0$ 是“差根方程”,
∴$-2a=\pm1$,即 $a=\pm\frac{1}{2}$。
(3)设 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+1=0(a＞0)$ 的两
个实数根,则 $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1·x_2=\frac{1}{a}$。
∵关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+1=0(a＞0)$ 是“差根方程”,
∴$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=1$,
即 $\sqrt{(-\frac{b}{a})^2-4×\frac{1}{a}}=1$,
∴$b^2=a^2+4a$。

【分析】
解决本题的核心是准确理解“差根方程”的定义：若一元二次方程的两个实根满足$\vert x_1-x_2\vert=1$，即为差根方程。解题思路如下：
1. 小问(1)属于判断类题目，可先求出对应方程的两个根，直接计算两根差的绝对值，和1比较即可判断；也可利用根与系数的关系计算$\vert x_1-x_2\vert$的值判断。
2. 小问(2)可先通过因式分解求出方程的两个根，再结合$\vert x_1-x_2\vert=1$列等式求解$a$的值。
3. 小问(3)直接求根计算较繁琐，可利用根与系数的关系，将$\vert x_1-x_2\vert$转化为含有两根和、两根积的形式，代入后整理即可得到$a$与$b$的数量关系。
【解析】
(1) ①解方程$x^2 - 4x + 4 = 0$，因式分解得$(x-2)^2=0$，解得$x_1=x_2=2$，则$\vert x_1-x_2\vert=0≠1$，因此不是差根方程。
②解方程$2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$，由根与系数的关系得$x_1+x_2=\sqrt{3}$，$x_1x_2=\frac{1}{2}$，则$\vert x_1-x_2\vert=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-4×\frac{1}{2}}=\sqrt{3-2}=1$，因此是差根方程。
(2) 对$x^2 + 2ax = 0$因式分解，得$x(x+2a)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2a$。
∵该方程是“差根方程”，
∴$\vert x_1 - x_2\vert=\vert0 - (-2a)\vert=\vert2a\vert=1$，
解得$2a=\pm1$，即$a=\pm\frac{1}{2}$。
(3) 设$x_1,x_2$是方程$ax^2 + bx + 1 = 0(a＞0)$的两个实数根，
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1·x_2=\frac{1}{a}$。
∵该方程是“差根方程”，
∴$\vert x_1-x_2\vert=1$，
又
∵$\vert x_1-x_2\vert=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，
代入得$\sqrt{(-\frac{b}{a})^2 - 4×\frac{1}{a}}=1$，
两边平方得：$\frac{b^2}{a^2}-\frac{4}{a}=1$，
两边同乘$a^2$（$a＞0$，$a^2≠0$）得：$b^2 - 4a = a^2$，
整理得$b^2=a^2+4a$。
【答案】
(1) ①否；②是
(2) $a=\pm\frac{1}{2}$
(3) $b^2=a^2+4a$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，新定义应用
【点评】
本题为新定义类题型，结合了一元二次方程的求解和根与系数关系的应用，既考察对新定义的理解转化能力，也考察基础公式的运用能力，解题的关键是将“差根方程”的条件转化为熟悉的数学等式。
【难度系数】
0.7