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一、基础性作业
1. 如图
，一艘轮船以40 km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报。某台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动，距台风中心200 km的圆形区域（包括边界）都属于台风影响区。当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500 km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300 km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(
A.10
B.7
C.6
D.12
1. 如图
，一艘轮船以40 km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报。某台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动，距台风中心200 km的圆形区域（包括边界）都属于台风影响区。当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500 km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300 km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(B
)h它就会进入台风影响区。A.10
B.7
C.6
D.12
答案
1.B
解析
【分析】
这是一道动态行程结合几何的应用题，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理求出初始状态下轮船到点A的水平距离AC；第二步，设经过t小时轮船进入台风影响区，分别表示出t小时后轮船与台风中心的水平距离、垂直距离；第三步，根据“刚好进入台风影响区时两者距离为200km”，结合勾股定理列出一元二次方程；第四步，解方程后根据实际意义选取较小的正根，即为进入台风影响区的时间。
【解析】
设经过$ t $小时轮船进入台风影响区。
1. 求初始水平距离$ AC $：
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ BAC=90° $，$ BC=500\ \mathrm{km} $，$ AB=300\ \mathrm{km} $，由勾股定理得：
$ AC=\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{500^2 - 300^2}=400\ \mathrm{km} $。
2. 表示$ t $小时后的相对距离：
$ t $小时后，轮船向东行驶了$ 40t\ \mathrm{km} $，此时轮船与点$ A $的水平距离为$ |400 - 40t|\ \mathrm{km} $；
台风中心向北移动了$ 20t\ \mathrm{km} $，此时台风中心与点$ A $的垂直距离为$ |300 - 20t|\ \mathrm{km} $。
3. 列方程求解：
当轮船刚好进入台风影响区时，轮船与台风中心的距离为$ 200\ \mathrm{km} $，由勾股定理得：
$ (400 - 40t)^2 + (300 - 20t)^2 = 200^2 $
展开整理得：
$ 1600t^2 - 32000t + 160000 + 400t^2 - 12000t + 90000 = 40000 $
合并同类项化简：
$ t^2 - 22t + 105 = 0 $
因式分解得：
$ (t - 7)(t - 15) = 0 $
解得$ t_1=7 $，$ t_2=15 $。
其中$ t=7 $是第一次距离达到200km的时间，即刚进入台风影响区的时间，$ t=15 $是离开台风影响区的时间。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题将动态行程问题与几何知识结合，核心是通过设未知数准确表示运动后两物体的相对位置，利用勾股定理建立方程求解，解题时要注意结合实际问题对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
这是一道动态行程结合几何的应用题，解题思路如下：第一步，先利用勾股定理求出初始状态下轮船到点A的水平距离AC；第二步，设经过t小时轮船进入台风影响区，分别表示出t小时后轮船与台风中心的水平距离、垂直距离；第三步，根据“刚好进入台风影响区时两者距离为200km”，结合勾股定理列出一元二次方程；第四步，解方程后根据实际意义选取较小的正根，即为进入台风影响区的时间。
【解析】
设经过$ t $小时轮船进入台风影响区。
1. 求初始水平距离$ AC $：
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ BAC=90° $，$ BC=500\ \mathrm{km} $，$ AB=300\ \mathrm{km} $，由勾股定理得：
$ AC=\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{500^2 - 300^2}=400\ \mathrm{km} $。
2. 表示$ t $小时后的相对距离：
$ t $小时后，轮船向东行驶了$ 40t\ \mathrm{km} $，此时轮船与点$ A $的水平距离为$ |400 - 40t|\ \mathrm{km} $；
台风中心向北移动了$ 20t\ \mathrm{km} $，此时台风中心与点$ A $的垂直距离为$ |300 - 20t|\ \mathrm{km} $。
3. 列方程求解：
当轮船刚好进入台风影响区时，轮船与台风中心的距离为$ 200\ \mathrm{km} $，由勾股定理得：
$ (400 - 40t)^2 + (300 - 20t)^2 = 200^2 $
展开整理得：
$ 1600t^2 - 32000t + 160000 + 400t^2 - 12000t + 90000 = 40000 $
合并同类项化简：
$ t^2 - 22t + 105 = 0 $
因式分解得：
$ (t - 7)(t - 15) = 0 $
解得$ t_1=7 $，$ t_2=15 $。
其中$ t=7 $是第一次距离达到200km的时间，即刚进入台风影响区的时间，$ t=15 $是离开台风影响区的时间。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题将动态行程问题与几何知识结合，核心是通过设未知数准确表示运动后两物体的相对位置，利用勾股定理建立方程求解，解题时要注意结合实际问题对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
2. 如图 2-4-2,在宽为 20 m、长为 30 m 的矩形地面上修建两条宽均为 x m 的小路(阴影),余下部分作为草地,草地面积为 $551\ \mathrm{m}^2$。根据图中数据,列出的关于 x 的方程为(
图 2-4-2
A.$(30 - x)(20 - x) = 551$
B.$(30 + x)(20 + x) = 551$
C.$(30 - x)(20 - x) + x^2 = 551$
D.$(30 - x)(20 - x) - x^2 = 551$
A
)。图 2-4-2
A.$(30 - x)(20 - x) = 551$
B.$(30 + x)(20 + x) = 551$
C.$(30 - x)(20 - x) + x^2 = 551$
D.$(30 - x)(20 - x) - x^2 = 551$
答案
2.A
解析
【分析】
拿到本题，首先明确已知条件：矩形地面长30m、宽20m，两条垂直交叉的小路宽均为x m，草地面积为551㎡，需要列出对应的方程。解题时可以优先选择平移法简化图形：将两条小路分别平移到矩形的边缘，此时余下的草地会拼接成一个规则的矩形，无需额外考虑两条小路重叠部分的面积计算，大幅降低解题难度。平移后新矩形的长为原长减去纵向小路的宽度（即30-x），宽为原宽减去横向小路的宽度（即20-x），再结合矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
解法1（平移法）：
将横向阴影小路向上平移、纵向阴影小路向右平移后，余下的草地恰好形成一个长为$(30-x)\mathrm{m}$、宽为$(20-x)\mathrm{m}$的矩形。
根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，结合已知草地面积为$551\mathrm{m}^2$，可列方程：
$(30-x)(20-x)=551$
解法2（总面积减道路面积）：
矩形地面总面积为$30×20=600\mathrm{m}^2$，横向小路面积为$30x\mathrm{m}^2$，纵向小路面积为$20x\mathrm{m}^2$，两条小路重叠的部分面积为$x^2\mathrm{m}^2$（该部分在减去两条小路面积时被重复扣除了1次，需要加回）。
因此草地面积可表示为：$600-30x-20x+x^2=551$，整理后也可得$(30-x)(20-x)=551$。
综上，对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程、平移法求面积、矩形面积计算
【点评】
本题是面积类一元二次方程应用的典型题型，平移法可快速将不规则的草地转化为规则矩形，简化计算的同时也能避免直接扣除道路面积时遗漏重叠部分的错误，熟练掌握该技巧可高效解决同类交叉道路的面积问题。
【难度系数】
0.7
拿到本题，首先明确已知条件：矩形地面长30m、宽20m，两条垂直交叉的小路宽均为x m，草地面积为551㎡，需要列出对应的方程。解题时可以优先选择平移法简化图形：将两条小路分别平移到矩形的边缘，此时余下的草地会拼接成一个规则的矩形，无需额外考虑两条小路重叠部分的面积计算，大幅降低解题难度。平移后新矩形的长为原长减去纵向小路的宽度（即30-x），宽为原宽减去横向小路的宽度（即20-x），再结合矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
解法1（平移法）：
将横向阴影小路向上平移、纵向阴影小路向右平移后，余下的草地恰好形成一个长为$(30-x)\mathrm{m}$、宽为$(20-x)\mathrm{m}$的矩形。
根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，结合已知草地面积为$551\mathrm{m}^2$，可列方程：
$(30-x)(20-x)=551$
解法2（总面积减道路面积）：
矩形地面总面积为$30×20=600\mathrm{m}^2$，横向小路面积为$30x\mathrm{m}^2$，纵向小路面积为$20x\mathrm{m}^2$，两条小路重叠的部分面积为$x^2\mathrm{m}^2$（该部分在减去两条小路面积时被重复扣除了1次，需要加回）。
因此草地面积可表示为：$600-30x-20x+x^2=551$，整理后也可得$(30-x)(20-x)=551$。
综上，对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程、平移法求面积、矩形面积计算
【点评】
本题是面积类一元二次方程应用的典型题型，平移法可快速将不规则的草地转化为规则矩形，简化计算的同时也能避免直接扣除道路面积时遗漏重叠部分的错误，熟练掌握该技巧可高效解决同类交叉道路的面积问题。
【难度系数】
0.7
3. 图2-4-3是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40 m，宽为22 m。停车场内车道的宽度都相等，若停车位的占地面积为520 m²，求车道的宽度（单位：m）。设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（
A.$(40 - 2x)(22 - x) = 520$
B.$(40 - x)(22 - x) = 520$
C.$(40 - x)(22 - 2x) = 520$
D.$(40 - x)(22 + x) = 520$
B
）。A.$(40 - 2x)(22 - x) = 520$
B.$(40 - x)(22 - x) = 520$
C.$(40 - x)(22 - 2x) = 520$
D.$(40 - x)(22 + x) = 520$
答案
3.B
解析
【分析】
本题属于一元二次方程的实际应用中的面积问题，解题核心是利用平移法简化不规则图形的面积计算。首先明确车道宽度均为x m，我们可以把上下两块分散的停车位区域向中间平移，拼接成一个规则的长方形，只需要求出拼接后长方形的长和宽，再结合已知的停车位总面积，就能列出对应的方程。
【解析】
我们通过平移法将上下两个停车位的阴影区域拼接，得到一个完整的长方形：
1. 拼接后长方形的长：原停车场长为40m，减去车道宽度x m，即$(40 - x)$m；
2. 拼接后长方形的宽：原停车场宽为22m，减去车道宽度x m，即$(22 - x)$m；
3. 已知停车位总占地面积为$520\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：
$(40 - x)(22 - x) = 520$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、平移法求面积、矩形面积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题型，解题的关键是熟练运用平移法将分散的阴影区域拼接为规则图形，不需要拆分计算各块阴影面积，能有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程的实际应用中的面积问题，解题核心是利用平移法简化不规则图形的面积计算。首先明确车道宽度均为x m，我们可以把上下两块分散的停车位区域向中间平移，拼接成一个规则的长方形，只需要求出拼接后长方形的长和宽，再结合已知的停车位总面积，就能列出对应的方程。
【解析】
我们通过平移法将上下两个停车位的阴影区域拼接，得到一个完整的长方形：
1. 拼接后长方形的长：原停车场长为40m，减去车道宽度x m，即$(40 - x)$m；
2. 拼接后长方形的宽：原停车场宽为22m，减去车道宽度x m，即$(22 - x)$m；
3. 已知停车位总占地面积为$520\ \mathrm{m}^2$，根据长方形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：
$(40 - x)(22 - x) = 520$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、平移法求面积、矩形面积计算
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题型，解题的关键是熟练运用平移法将分散的阴影区域拼接为规则图形，不需要拆分计算各块阴影面积，能有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
4. 如图2-4-4，用14 m长的铁丝围成一个一边靠墙的矩形场地，使场地的面积为18 m²，并且在垂直于墙的一边开一个1 m长的小门（该门用其他材料制成）。若墙足够长，设该矩形场地平行于墙的边长为x m，则列方程为
图2-4-4
$x · \frac{14+1-x}{2}=18$
。图2-4-4
答案
4.$x · \frac{14+1-x}{2}=18$
解析
【分析】
首先明确已知条件：平行于墙的边长为x m，铁丝总长14 m，垂直于墙的一边有1 m长的小门（不用该铁丝），场地面积为18 m²。解题时先推导垂直于墙的边长的表达式：因为1条平行边的铁丝长度+2条垂直边的铁丝长度（减去小门的1 m）=总铁丝长14 m，变形可得垂直边长的表达式，再根据矩形面积=长×宽的等量关系列方程即可。
【解析】
设矩形垂直于墙的边长为y m：
1. 分析铁丝用量：平行于墙的边需铁丝x m，两条垂直边因有1 m小门，共需铁丝$(2y - 1)$ m，总铁丝长14 m，可得等式：
$x + 2y -1 =14$
2. 整理求y：
$2y =14+1 -x$
$y=\frac{14+1 -x}{2}$
3. 根据矩形面积为18 m²，面积=平行边长×垂直边长，代入y的表达式得：
$x · \frac{14+1-x}{2}=18$
【答案】
$x · \frac{14+1-x}{2}=18$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积公式
3. 列代数式
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题核心是准确理解“小门不用铁丝”的条件，避免遗漏小门长度导致垂直边长的表达式出错，再结合面积公式即可顺利列出方程。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：平行于墙的边长为x m，铁丝总长14 m，垂直于墙的一边有1 m长的小门（不用该铁丝），场地面积为18 m²。解题时先推导垂直于墙的边长的表达式：因为1条平行边的铁丝长度+2条垂直边的铁丝长度（减去小门的1 m）=总铁丝长14 m，变形可得垂直边长的表达式，再根据矩形面积=长×宽的等量关系列方程即可。
【解析】
设矩形垂直于墙的边长为y m：
1. 分析铁丝用量：平行于墙的边需铁丝x m，两条垂直边因有1 m小门，共需铁丝$(2y - 1)$ m，总铁丝长14 m，可得等式：
$x + 2y -1 =14$
2. 整理求y：
$2y =14+1 -x$
$y=\frac{14+1 -x}{2}$
3. 根据矩形面积为18 m²，面积=平行边长×垂直边长，代入y的表达式得：
$x · \frac{14+1-x}{2}=18$
【答案】
$x · \frac{14+1-x}{2}=18$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积公式
3. 列代数式
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，解题核心是准确理解“小门不用铁丝”的条件，避免遗漏小门长度导致垂直边长的表达式出错，再结合面积公式即可顺利列出方程。
【难度系数】
0.7
5. 古代有这样的一个问题:直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?其大意是:矩形面积是864平方步,其中长与宽的和为60步,问长比宽多多少步?若设长为x步,则可列方程是
(化为一般形式)
$x^2 -60x +864=0$
。(化为一般形式)
答案
5.$x^2 -60x +864=0$
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：设长为x步，长与宽的和为60步，矩形面积为864平方步。第一步先根据长和宽的和表示出宽的长度，即宽=(60 - x)步；第二步利用矩形面积=长×宽的等量关系列等式；最后将等式整理为一元二次方程的一般形式（二次项系数为正，按降幂排列，等号右侧为0）即可。
【解析】
1. 设长为x步，由“长与宽的和为60步”，可得宽为$(60 - x)$步。
2. 根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知面积为864平方步，列方程得：
$x(60 - x) = 864$
3. 整理为一般形式：
展开左侧得$60x - x^2 = 864$，移项后将二次项系数化为正，得$x^2 - 60x + 864 = 0$。
【答案】
$x^2 - 60x + 864 = 0$
【知识点】
矩形面积公式；列一元二次方程；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查将实际问题抽象为数学方程的能力，解题核心是找准等量关系、正确表示未知量，是一元二次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：设长为x步，长与宽的和为60步，矩形面积为864平方步。第一步先根据长和宽的和表示出宽的长度，即宽=(60 - x)步；第二步利用矩形面积=长×宽的等量关系列等式；最后将等式整理为一元二次方程的一般形式（二次项系数为正，按降幂排列，等号右侧为0）即可。
【解析】
1. 设长为x步，由“长与宽的和为60步”，可得宽为$(60 - x)$步。
2. 根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知面积为864平方步，列方程得：
$x(60 - x) = 864$
3. 整理为一般形式：
展开左侧得$60x - x^2 = 864$，移项后将二次项系数化为正，得$x^2 - 60x + 864 = 0$。
【答案】
$x^2 - 60x + 864 = 0$
【知识点】
矩形面积公式；列一元二次方程；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查将实际问题抽象为数学方程的能力，解题核心是找准等量关系、正确表示未知量，是一元二次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 如图2-4-5，在$Rt△ ABC$中，$AC = 6\ \mathrm{cm}$，$BC = 8\ \mathrm{cm}$。点M从点A出发，以1 cm/s的速度沿AC方向运动；同时点N从点C出发，以2 cm/s的速度沿CB方向运动，当点N到达点B时，点M同时停止运动。
(1)运动几秒时，$△ CMN$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$？
(2)$△ CMN$的面积能否等于$12\ \mathrm{cm}^2$？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由。
(1)运动几秒时，$△ CMN$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$？
(2)$△ CMN$的面积能否等于$12\ \mathrm{cm}^2$？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由。
答案
6. 解:(1)设运动 t(0≤t≤4)s 时,△CMN 的面积为 8 cm²,
根据题意得,CM=6−t,NC=2t,
则△CMN 的面积是$\frac{1}{2}CM · CN=\frac{1}{2} × (6-t) × 2t=8$,
解得 $t_1=2,t_2=4$。
故运动 2 s 或 4 s 时,△CMN 的面积为 8 cm²。
(2)△CMN 的面积不能等于 12 cm²。理由如下:
$\frac{1}{2} × (6-t) × 2t=-t^2+6t=-(t-3)^2+9$,
当 t=3 时,△CMN 的面积最大,为 9 cm²,
∴ △CMN 的面积不能等于 12 cm²。
根据题意得,CM=6−t,NC=2t,
则△CMN 的面积是$\frac{1}{2}CM · CN=\frac{1}{2} × (6-t) × 2t=8$,
解得 $t_1=2,t_2=4$。
故运动 2 s 或 4 s 时,△CMN 的面积为 8 cm²。
(2)△CMN 的面积不能等于 12 cm²。理由如下:
$\frac{1}{2} × (6-t) × 2t=-t^2+6t=-(t-3)^2+9$,
当 t=3 时,△CMN 的面积最大,为 9 cm²,
∴ △CMN 的面积不能等于 12 cm²。
解析
【分析】
本题属于动点结合一元二次方程的应用问题，解题思路如下：①先确定运动时间t的取值范围：点N从C到B的运动时间为8÷2=4s，故0≤t≤4；②用含t的代数式表示△CMN的两条直角边长度：点M运动路程AM=t cm，故CM=AC-AM=(6-t)cm，点N运动路程CN=2t cm；③结合直角三角形面积公式列方程求解：第一问令面积等于8，解方程后验证解是否在t的取值范围内即可；第二问可通过配方法求出面积的最大值，与12比较大小，即可得出结论。
【解析】
(1)设运动t s（0≤t≤4）时，△CMN的面积为8 cm²。
由题意得：CM=6-t，CN=2t，
∵∠C=90°，
∴$S_{△CMN}=\frac{1}{2}·CM·CN=\frac{1}{2}×(6-t)×2t=8$，
解得$t_1=2$，$t_2=4$，两个解均满足0≤t≤4，符合题意。
(2)△CMN的面积不能等于12 cm²，理由如下：
△CMN的面积可整理为：$\frac{1}{2} × (6-t) × 2t=-t^2+6t=-(t-3)^2+9$，
∵$(t-3)^2≥0$，
∴$-(t-3)^2+9≤9$，即当t=3时，△CMN的面积最大，为9 cm²，
∵9＜12，
∴△CMN的面积不能等于12 cm²。
【答案】
(1)运动2 s或4 s时，△CMN的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$；
(2)不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；三角形面积计算；配方法求最值
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题，结合动点场景考察分析问题、列方程求解的能力，解题时要注意先明确动点的运动范围，对求出的解要验证是否符合实际意义，判断量是否存在时可通过配方法求最值快速推导。
【难度系数】
0.7
本题属于动点结合一元二次方程的应用问题，解题思路如下：①先确定运动时间t的取值范围：点N从C到B的运动时间为8÷2=4s，故0≤t≤4；②用含t的代数式表示△CMN的两条直角边长度：点M运动路程AM=t cm，故CM=AC-AM=(6-t)cm，点N运动路程CN=2t cm；③结合直角三角形面积公式列方程求解：第一问令面积等于8，解方程后验证解是否在t的取值范围内即可；第二问可通过配方法求出面积的最大值，与12比较大小，即可得出结论。
【解析】
(1)设运动t s（0≤t≤4）时，△CMN的面积为8 cm²。
由题意得：CM=6-t，CN=2t，
∵∠C=90°，
∴$S_{△CMN}=\frac{1}{2}·CM·CN=\frac{1}{2}×(6-t)×2t=8$，
解得$t_1=2$，$t_2=4$，两个解均满足0≤t≤4，符合题意。
(2)△CMN的面积不能等于12 cm²，理由如下：
△CMN的面积可整理为：$\frac{1}{2} × (6-t) × 2t=-t^2+6t=-(t-3)^2+9$，
∵$(t-3)^2≥0$，
∴$-(t-3)^2+9≤9$，即当t=3时，△CMN的面积最大，为9 cm²，
∵9＜12，
∴△CMN的面积不能等于12 cm²。
【答案】
(1)运动2 s或4 s时，△CMN的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$；
(2)不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；三角形面积计算；配方法求最值
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题，结合动点场景考察分析问题、列方程求解的能力，解题时要注意先明确动点的运动范围，对求出的解要验证是否符合实际意义，判断量是否存在时可通过配方法求最值快速推导。
【难度系数】
0.7
