登录
7. 图2-4-6是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30 m，宽为18 m。停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288 m²。求车道的宽。
图2-4-6
图2-4-6
答案
7. 解:设车道的宽是 x m,则停车位可合成长为(30−x)m、宽为(18−x)m 的矩形,
根据题意,得$(30-x)(18-x)=288$,
整理,得 $x^2-48x+252=0$,
解得 $x_1=6,x_2=42$(不符合题意,舍去)。
故车道的宽是 6 m。
根据题意,得$(30-x)(18-x)=288$,
整理,得 $x^2-48x+252=0$,
解得 $x_1=6,x_2=42$(不符合题意,舍去)。
故车道的宽是 6 m。
解析
【分析】
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题核心是将分散的停车位面积转化为规则矩形的面积计算。首先设车道宽为x m，观察图形可知：上下两部分停车位可拼接为一个新矩形，该矩形的长等于外围总长减去左侧车道宽度x，即(30-x)m；矩形的宽等于外围总宽减去中间车道宽度x，即(18-x)m。结合已知的停车位总占地面积即可列方程，求解后结合实际情况舍去不符合题意的根，就能得到车道宽度。
【解析】
解：设车道的宽是x m，将上下两部分停车位拼接后，可得到长为$(30-x)$m、宽为$(18-x)$m的矩形。
根据停车位总占地面积为$288\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(30-x)(18-x)=288$
展开整理方程：
$540-48x+x^2=288$
$x^2-48x+252=0$
解方程得$x_1=6$，$x_2=42$。
由于停车场总宽仅为18 m，车道宽不可能超过18 m，因此$x=42$不符合实际意义，舍去。
【答案】
车道的宽是6 m
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，解题关键是通过平移拼接的方法将分散的停车位转化为规则矩形，降低面积计算难度，同时解出方程的根后要结合实际场景检验根的合理性，舍去不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题核心是将分散的停车位面积转化为规则矩形的面积计算。首先设车道宽为x m，观察图形可知：上下两部分停车位可拼接为一个新矩形，该矩形的长等于外围总长减去左侧车道宽度x，即(30-x)m；矩形的宽等于外围总宽减去中间车道宽度x，即(18-x)m。结合已知的停车位总占地面积即可列方程，求解后结合实际情况舍去不符合题意的根，就能得到车道宽度。
【解析】
解：设车道的宽是x m，将上下两部分停车位拼接后，可得到长为$(30-x)$m、宽为$(18-x)$m的矩形。
根据停车位总占地面积为$288\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(30-x)(18-x)=288$
展开整理方程：
$540-48x+x^2=288$
$x^2-48x+252=0$
解方程得$x_1=6$，$x_2=42$。
由于停车场总宽仅为18 m，车道宽不可能超过18 m，因此$x=42$不符合实际意义，舍去。
【答案】
车道的宽是6 m
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、一元二次方程求解
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，解题关键是通过平移拼接的方法将分散的停车位转化为规则矩形，降低面积计算难度，同时解出方程的根后要结合实际场景检验根的合理性，舍去不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
8. 如图2-4-7，利用一面墙(墙长25 m)，用总长度为49 m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1 m宽的小门。设栅栏BC的长为x m。
(1)AB=
(2)若矩形围栏ABCD的面积为210 m²，求栅栏BC的长。
(3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到240 m²？若有可能，求出相应x的值；若不可能，说明理由。
图2-4-7
(1)AB=
(51−3x)
m。(用含x的代数式表示)(2)若矩形围栏ABCD的面积为210 m²，求栅栏BC的长。
(3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到240 m²？若有可能，求出相应x的值；若不可能，说明理由。
图2-4-7
答案
8. 解:(1)(51−3x)
(2)依题意,得$(51-3x)x=210$,
整理,得 $x^2-17x+70=0$,解得 $x_1=7,x_2=10$。
当 x=7 时,$AB=51-3x=30＞25$,不符合题意,舍去;
当 x=10 时,$AB=51-3x=21$,符合题意。
故栅栏 BC 的长为 10 m。
(3)不可能。理由如下:
依题意,得$(51-3x)x=240$,
整理,得 $x^2-17x+80=0$。
$\because \Delta=(-17)^2-4 × 1 × 80=-31＜0$,
∴方程没有实数根,
∴矩形围栏 ABCD 的面积不可能达到 240 m²。
(2)依题意,得$(51-3x)x=210$,
整理,得 $x^2-17x+70=0$,解得 $x_1=7,x_2=10$。
当 x=7 时,$AB=51-3x=30＞25$,不符合题意,舍去;
当 x=10 时,$AB=51-3x=21$,符合题意。
故栅栏 BC 的长为 10 m。
(3)不可能。理由如下:
依题意,得$(51-3x)x=240$,
整理,得 $x^2-17x+80=0$。
$\because \Delta=(-17)^2-4 × 1 × 80=-31＜0$,
∴方程没有实数根,
∴矩形围栏 ABCD 的面积不可能达到 240 m²。
解析
【分析】
(1) 首先梳理栅栏的组成：垂直于墙的边有AD、中间隔栏、BC共3条，每条长为x m；平行于墙的AB边有2个1m宽的小门，小门部分不需要栅栏，因此总栅栏长度可表示为3条垂直边长度加（AB减去2个小门宽度），代入总栅栏长49m即可推导得到AB的代数式。
(2) 第二问利用矩形面积公式“面积=长×宽”列一元二次方程，求解后需结合墙长25m的限制（即AB≤25），舍去不符合实际条件的解。
(3) 第三问先按目标面积列方程，再通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则方程无实根，说明目标面积不可能达到。
【解析】
(1) 由题意可得：3x + (AB - 2×1) = 49，整理得AB = 49 + 2 - 3x = 51 - 3x。
(2) 依题意，矩形面积为AB·x = 210，代入AB的表达式得：
$(51-3x)x = 210$
整理得：$x^2 -17x +70 = 0$
解得：$x_1=7，x_2=10$
检验：当x=7时，AB=51-3×7=30＞25，超出墙长，不符合题意，舍去；
当x=10时，AB=51-3×10=21≤25，符合题意。
(3) 不可能，理由如下：
假设面积能达到240m²，列方程得：
$(51-3x)x = 240$
整理得：$x^2 -17x +80 = 0$
计算判别式：$\Delta = (-17)^2 -4×1×80 = -31 ＜0$
因此该一元二次方程无实数根，即矩形围栏面积不可能达到240m²。
【答案】
(1) $\boldsymbol{51-3x}$
(2) $\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$
(3) 不可能
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程在实际面积问题中的典型应用，解题时除了正确列方程求解外，还需要结合实际限制条件对解的合理性进行检验，能有效考查学生的建模能力和结合实际分析问题的意识。
【难度系数】
0.7
(1) 首先梳理栅栏的组成：垂直于墙的边有AD、中间隔栏、BC共3条，每条长为x m；平行于墙的AB边有2个1m宽的小门，小门部分不需要栅栏，因此总栅栏长度可表示为3条垂直边长度加（AB减去2个小门宽度），代入总栅栏长49m即可推导得到AB的代数式。
(2) 第二问利用矩形面积公式“面积=长×宽”列一元二次方程，求解后需结合墙长25m的限制（即AB≤25），舍去不符合实际条件的解。
(3) 第三问先按目标面积列方程，再通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则方程无实根，说明目标面积不可能达到。
【解析】
(1) 由题意可得：3x + (AB - 2×1) = 49，整理得AB = 49 + 2 - 3x = 51 - 3x。
(2) 依题意，矩形面积为AB·x = 210，代入AB的表达式得：
$(51-3x)x = 210$
整理得：$x^2 -17x +70 = 0$
解得：$x_1=7，x_2=10$
检验：当x=7时，AB=51-3×7=30＞25，超出墙长，不符合题意，舍去；
当x=10时，AB=51-3×10=21≤25，符合题意。
(3) 不可能，理由如下：
假设面积能达到240m²，列方程得：
$(51-3x)x = 240$
整理得：$x^2 -17x +80 = 0$
计算判别式：$\Delta = (-17)^2 -4×1×80 = -31 ＜0$
因此该一元二次方程无实数根，即矩形围栏面积不可能达到240m²。
【答案】
(1) $\boldsymbol{51-3x}$
(2) $\boldsymbol{10\ \mathrm{m}}$
(3) 不可能
【知识点】
列代数式，一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程在实际面积问题中的典型应用，解题时除了正确列方程求解外，还需要结合实际限制条件对解的合理性进行检验，能有效考查学生的建模能力和结合实际分析问题的意识。
【难度系数】
0.7
