二、拓展性作业
9. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒。
如图2-4-8①，有一张长36 cm、宽20 cm的矩形硬纸片，若裁去角上同样大小的四个小正方形之后，可折成如图2-4-8②所示的无盖纸盒。（硬纸片厚度忽略不计）

(1)若纸盒的底面积为420 cm²，请计算剪去的正方形的边长。
(2)如图2-4-8③，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形，经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒。
①剪去的矩形的长为；
②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为640 cm²，请计算剪去的正方形的边长。

9. 解:(1)设剪去的正方形的边长为 x cm,则折成的无盖纸盒的底面是长为(36−2x)cm、宽为(20−2x)cm 的矩形。
根据题意,得$(36-2x)(20-2x)=420$,
整理,得 $x^2-28x+75=0$,
解得 $x_1=3,x_2=25$(不符合题意,舍去)。
故剪去的正方形的边长为 3 cm。
(2)①18 cm
②设剪去的正方形的边长为 y cm,
根据题意,得 $36 × 20-2y^2-2 × 18y=640$,
整理,得 $y^2+18y-40=0$,
解得 $y_1=2,y_2=-20$(不符合题意,舍去)。
故剪去的正方形的边长为 2 cm。

【分析】
(1) 解决第一问首先要明确折叠后无盖纸盒底面的长、宽和原矩形边长、剪去正方形边长的关系：剪去边长为x的小正方形后，纸盒底面的长等于原矩形长减去2x，宽等于原矩形宽减去2x，再根据底面积的已知条件列一元二次方程求解，最后结合实际意义（边长不能为负，且2x需小于原矩形的宽）舍去不符合要求的根。
(2) ① 要制作有盖纸盒，盖子和底面的长需相等，原矩形长为36cm，因此剪去的矩形的长应为原矩形长的一半。② 有盖纸盒的表面积等于原矩形总面积减去剪去的2个正方形面积和2个矩形面积，据此设剪去的正方形边长为y，列方程求解，同样舍去不符合实际的负根即可。
【解析】
(1) 设剪去的正方形的边长为x cm，则折成的无盖纸盒的底面长为$(36-2x)$cm，宽为$(20-2x)$cm。
根据题意列方程：
$(36-2x)(20-2x)=420$
整理得：$x^2-28x+75=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=25$
当$x=25$时，$2x=50＞20$，不符合实际情况，故舍去。
(2) ① 原矩形长为36cm，折成有盖纸盒时底面和盖子的长相等，因此剪去的矩形的长为$36÷2=18$cm。
② 设剪去的正方形的边长为y cm，根据纸盒表面积为640$\mathrm{cm}^2$列方程：
$36 × 20-2y^2-2 × 18y=640$
整理得：$y^2+18y-40=0$
解得：$y_1=2$，$y_2=-20$，边长不能为负，故舍去$y=-20$。
【答案】
(1) 剪去的正方形的边长为3 cm；(2) ①$\boxed{18\ \mathrm{cm}}$；②剪去的正方形的边长为2 cm
【知识点】
一元二次方程的应用，长方体展开与折叠，矩形面积计算
【点评】
本题结合手工制作的实际场景考查方程的应用，解题核心是准确找到折叠前后各边的数量关系，列方程求解后要注意结合边长为正、不超过原矩形边长的实际意义对根进行取舍，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6

10.【阅读思考】
通过解方程(组)使问题得到解决的思考方式就是方程思想。已学过的“勾股定理”及“一次函数”都与它有密切的联系。最近，我们学习了方程家族中的“一元二次方程”的求解方法和应用。
【解决问题】
如图2-4-9，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x s。
(1)设△APG的面积为y，求y关于x的关系式，并求出y＝34时x的值。
(2)在点P从点B向点C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

图2-4-9

10. 解:(1)由题意知 0≤x≤12。
∵ 四边形 ABCD 为矩形,
∴ DC=AB=9,BC=AD=12。
∵ DG=5,
∴ GC=4。
∵ PB=x,
∴ PC=12−x,
∴ $y=9 × 12-\frac{1}{2} × 9 · x-\frac{1}{2} × 4 × (12-x)-\frac{1}{2} × 5 × 12$,
整理得 y=−2.5x+54。
当 y=34 时,−2.5x+54=34,解得 x=8。
(2)存在。
∵ PB=x,PC=12−x,AD=12,DG=5,
∴ $PA^2=AB^2+BP^2=81+x^2$,$PG^2=PC^2+GC^2=(12-x)^2+16$,$AG^2=AD^2+DG^2=169$。
∵ 当 $AG^2=AP^2+PG^2$ 时,$AP ⊥ PG$,
∴ $81+x^2+(12-x)^2+16=169$,
整理得 $x^2-12x+36=0$,
配方得$(x-6)^2=0$,解得 x=6。

【分析】
(1) 求△APG的面积时，直接计算较复杂，可采用割补法：用矩形ABCD的总面积减去周围三个小三角形（△ABP、△PCG、△ADG）的面积。先根据矩形边长、已知DG长度和点P的运动规律表示出各相关边的长度，代入面积公式整理即可得到y与x的关系式；再将y=34代入关系式解方程即可求出x的值。
(2) 判断是否存在AP⊥GP的时刻，可利用勾股定理的逆定理：若∠APG=90°，则满足AP²+PG²=AG²。分别用含x的式子表示出AP²、PG²，求出固定边AG²的长度，代入等量关系列一元二次方程，求解后验证解是否符合x的取值范围即可。
【解析】
(1) 由题意得点P的运动时间x的取值范围为$0≤ x≤12$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $DC=AB=9$，$BC=AD=12$，
∵ $DG=5$，
∴ $GC=DC-DG=9-5=4$，
∵ 点P的运动速度为1个单位/秒，
∴ $PB=x$，$PC=12-x$，
根据割补法可得：
$y=S_{矩形ABCD}-S_{△ ABP}-S_{△ PCG}-S_{△ ADG}$
代入面积公式得：
$y=9 × 12-\frac{1}{2} × 9 · x-\frac{1}{2} × 4 × (12-x)-\frac{1}{2} × 5 × 12$
整理得$y=-2.5x+54$。
当$y=34$时，代入得$-2.5x+54=34$，解得$x=8$。
(2) 存在，理由如下：
由勾股定理可得：
$PA^2=AB^2+BP^2=81+x^2$，
$PG^2=PC^2+GC^2=(12-x)^2+16$，
$AG^2=AD^2+DG^2=12^2+5^2=169$，
若$AP⊥GP$，则$△ APG$为直角三角形，$∠ APG=90°$，由勾股定理逆定理得$AP^2+PG^2=AG^2$，
代入得：$81+x^2+(12-x)^2+16=169$，
整理得$x^2-12x+36=0$，
配方得$(x-6)^2=0$，解得$x=6$，符合$0≤ x≤12$的取值范围。
【答案】
(1) $y=-2.5x+54$（$0≤ x≤12$），$y=34$时$x=8$；
(2) 存在，$x=6$
【知识点】
一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合几何图形性质考察方程思想的应用，解题关键是找到面积等量关系和垂直对应的勾股定理等量关系，建立方程求解，同时要注意验证解的合理性。
【难度系数】
0.6