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二、拓展性作业
9. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如:解方程 $ x(x+8)=4 $。
解:原方程可变形，得
$ [(x+4)-4][(x+4)+4]=4 $。
$ (x+4)^2 - 4^2 = 4 $，
$ (x+4)^2 = 20 $。
直接开平方并整理，得
$ x_1=-4+2\sqrt{5},x_2=-4-2\sqrt{5} $。
我们称这种解法为“平均数法”。
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$ (x+2)(x+8)=40 $时写的解题过程。
解:原方程可变形，得
$ [(x+a)-b][(x+a)+b]=40 $。
$ (x+a)^2 - b^2 = 40 $，
$ (x+a)^2 = 40 + b^2 $。
直接开平方并整理，得 $ x_1=c,x_2=d $。
上述解题过程中的 $ a,b,c,d $ 所表示的数分别是
(2)请用“平均数法”解方程: $ (x-2)(x+6)=4 $。
9. 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如:解方程 $ x(x+8)=4 $。
解:原方程可变形，得
$ [(x+4)-4][(x+4)+4]=4 $。
$ (x+4)^2 - 4^2 = 4 $，
$ (x+4)^2 = 20 $。
直接开平方并整理，得
$ x_1=-4+2\sqrt{5},x_2=-4-2\sqrt{5} $。
我们称这种解法为“平均数法”。
(1)下面是小明用“平均数法”解方程$ (x+2)(x+8)=40 $时写的解题过程。
解:原方程可变形，得
$ [(x+a)-b][(x+a)+b]=40 $。
$ (x+a)^2 - b^2 = 40 $，
$ (x+a)^2 = 40 + b^2 $。
直接开平方并整理，得 $ x_1=c,x_2=d $。
上述解题过程中的 $ a,b,c,d $ 所表示的数分别是
5
，3
，2
，-12
。(其中 $ c＞d $)(2)请用“平均数法”解方程: $ (x-2)(x+6)=4 $。
答案
9. 解:(1)5 3 2 -12
(2)原方程可变形,得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$。
$(x+2)^2-4^2=4,(x+2)^2=4+4^2$。
$\therefore x_1=-2+2\sqrt{5},x_2=-2-2\sqrt{5}$。
(2)原方程可变形,得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$。
$(x+2)^2-4^2=4,(x+2)^2=4+4^2$。
$\therefore x_1=-2+2\sqrt{5},x_2=-2-2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题考查新定义“平均数法”解一元二次方程，解题核心是掌握该方法的原理：取两个一次因式中常数项的平均数为a，将两个因式转化为$(x+a)-b$和$(x+a)+b$的形式，利用平方差公式将方程化为$(x+a)^2=$常数的形式，再用直接开平方法求解。
(1) 求解a、b时，先计算$(x+2)$和$(x+8)$中常数项2和8的平均数得到a，再用a减去较小的常数项得到b，代入方程开平方即可得到c、d；
(2) 解方程时先计算$(x-2)$和$(x+6)$中常数项-2和6的平均数确定a，再求出b，仿照示例步骤变形求解即可。
【解析】
(1) 对于方程$(x+2)(x+8)=40$：
两个一次因式的常数项为2和8，平均数$a=(2+8)÷2=5$，
$b=5-2=3$，
原方程变形为$(x+5)^2 - 3^2=40$，即$(x+5)^2=49$，
开平方得$x+5=\pm7$，
解得$x_1=7-5=2$，$x_2=-7-5=-12$，
$\because c＞d$，$\therefore c=2$，$d=-12$。
(2) 解方程$(x-2)(x+6)=4$：
两个一次因式的常数项为-2和6，平均数为$(-2+6)÷2=2$，$b=2-(-2)=4$，
原方程可变形，得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$，
利用平方差公式化简得$(x+2)^2 - 4^2=4$，
整理得$(x+2)^2=20$，
直接开平方得$x+2=\pm2\sqrt{5}$，
整理得$x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$，$\boxed{3}$，$\boxed{2}$，$\boxed{-12}$
(2) $\boxed{x_1=-2+2\sqrt{5},x_2=-2-2\sqrt{5}}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类题型，需要先准确理解“平均数法”的运算规则，本质是通过构造平方差的形式，将一元二次方程转化为可直接开平方的形式求解，既考查了对新定义的理解能力，也考查了平方差公式和一元二次方程解法的综合运用，熟练掌握基础公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查新定义“平均数法”解一元二次方程，解题核心是掌握该方法的原理：取两个一次因式中常数项的平均数为a，将两个因式转化为$(x+a)-b$和$(x+a)+b$的形式，利用平方差公式将方程化为$(x+a)^2=$常数的形式，再用直接开平方法求解。
(1) 求解a、b时，先计算$(x+2)$和$(x+8)$中常数项2和8的平均数得到a，再用a减去较小的常数项得到b，代入方程开平方即可得到c、d；
(2) 解方程时先计算$(x-2)$和$(x+6)$中常数项-2和6的平均数确定a，再求出b，仿照示例步骤变形求解即可。
【解析】
(1) 对于方程$(x+2)(x+8)=40$：
两个一次因式的常数项为2和8，平均数$a=(2+8)÷2=5$，
$b=5-2=3$，
原方程变形为$(x+5)^2 - 3^2=40$，即$(x+5)^2=49$，
开平方得$x+5=\pm7$，
解得$x_1=7-5=2$，$x_2=-7-5=-12$，
$\because c＞d$，$\therefore c=2$，$d=-12$。
(2) 解方程$(x-2)(x+6)=4$：
两个一次因式的常数项为-2和6，平均数为$(-2+6)÷2=2$，$b=2-(-2)=4$，
原方程可变形，得$[(x+2)-4][(x+2)+4]=4$，
利用平方差公式化简得$(x+2)^2 - 4^2=4$，
整理得$(x+2)^2=20$，
直接开平方得$x+2=\pm2\sqrt{5}$，
整理得$x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{5}$，$\boxed{3}$，$\boxed{2}$，$\boxed{-12}$
(2) $\boxed{x_1=-2+2\sqrt{5},x_2=-2-2\sqrt{5}}$
【知识点】
平方差公式，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类题型，需要先准确理解“平均数法”的运算规则，本质是通过构造平方差的形式，将一元二次方程转化为可直接开平方的形式求解，既考查了对新定义的理解能力，也考查了平方差公式和一元二次方程解法的综合运用，熟练掌握基础公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 设 $ f(x) $ 是关于 $ x $ 的多项式，若方程 $ f(x)=0 $ 有一个根为 $ x=a $，则 $ f(x)=(x-a) · f_1(x)=0 $。所以多项式 $ f(x) $ 必有一个一次因式 $ x-a $。例如，多项式 $ f(x)=7x^2 -x -6 $，当 $ x=1 $ 时，$ 7x^2 -x -6=0 $，则 $ f(x) $ 必有一个一次因式 $ x-1 $，那么，$ 7x^2 -x -6=(x-1)(mx +n) $，而 $ (x-1)(mx +n)=mx^2 + (n -m)x -n $，所以 $ m=7, n=6 $，所以 $ 7x^2 -x -6=(x-1) · (7x +6) $。这种因式分解的方法叫作“试根法”。
解决下列问题：
(1) 请你用“试根法”分解因式：
① $ x^2 +2x -3 $； ② $ x^3 -7x +6 $。
(2) 若多项式 $ 2x^3 -x^2 -8x +m $（$ m $ 为常数）有一个因式为 $ x+2 $，求 $ m $ 的值并将此多项式因式分解。
解决下列问题：
(1) 请你用“试根法”分解因式：
① $ x^2 +2x -3 $； ② $ x^3 -7x +6 $。
(2) 若多项式 $ 2x^3 -x^2 -8x +m $（$ m $ 为常数）有一个因式为 $ x+2 $，求 $ m $ 的值并将此多项式因式分解。
答案
10. 解:(1)①当$x=1$时,$x^2+2x-3=0$,
则$x^2+2x-3$必有一个一次因式$x-1$。
令$x^2+2x-3=(x-1)(mx+n)$,
而$(x-1)(mx+n)=mx^2+(n-m)x-n$,
$\therefore m=1,n=3$,
$\therefore x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$。
②当$x=1$时,$x^3-7x+6=0$,
则$x^3-7x+6$必有一个一次因式$x-1$。
令$x^3-7x+6=(x-1)(ax^2+bx+c)$,
而$(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$,
$\therefore a=1,b=1,c=-6$,
$\therefore x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)$。
同理可得$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$,
$\therefore x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$。
(2)令$2x^3-x^2-8x+m=(x+2)(ax^2+bx+c)$,
而$(x+2)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)· x+2c$,
$\therefore a=2,b+2a=-1,c+2b=-8,2c=m$,
解得$a=2,b=-5,c=2,m=4$,
$\therefore 2x^3-x^2-8x+m=(x+2)(2x^2-5x+2)$,
同理可得$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)$,
$\therefore 原式=(x+2)(2x-1)(x-2)$。
则$x^2+2x-3$必有一个一次因式$x-1$。
令$x^2+2x-3=(x-1)(mx+n)$,
而$(x-1)(mx+n)=mx^2+(n-m)x-n$,
$\therefore m=1,n=3$,
$\therefore x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$。
②当$x=1$时,$x^3-7x+6=0$,
则$x^3-7x+6$必有一个一次因式$x-1$。
令$x^3-7x+6=(x-1)(ax^2+bx+c)$,
而$(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$,
$\therefore a=1,b=1,c=-6$,
$\therefore x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)$。
同理可得$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$,
$\therefore x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$。
(2)令$2x^3-x^2-8x+m=(x+2)(ax^2+bx+c)$,
而$(x+2)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)· x+2c$,
$\therefore a=2,b+2a=-1,c+2b=-8,2c=m$,
解得$a=2,b=-5,c=2,m=4$,
$\therefore 2x^3-x^2-8x+m=(x+2)(2x^2-5x+2)$,
同理可得$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)$,
$\therefore 原式=(x+2)(2x-1)(x-2)$。
解析
【分析】
首先明确“试根法”的核心逻辑：若$x=a$时多项式$f(x)=0$，则$f(x)$必含有因式$(x-a)$。解题按以下思路展开：
1. 先尝试代入$x=\pm1、\pm2$等小整数，找到使多项式值为0的根，得到对应的一次因式；
2. 根据原多项式的次数，设出因式分解后的乘积形式（二次多项式设为两个一次式相乘，三次多项式设为一次式乘二次式）；
3. 展开乘积形式，与原多项式对比同次项的系数，列等式求解未知参数；
4. 若分解后仍有二次因式，继续用试根法或十字相乘法分解，直到所有因式都不能再分解为止。
第(2)问已知因式$x+2$，说明$x=-2$是方程$f(x)=0$的根，可通过设乘积对比系数的方式求出$m$和其余因式。
【解析】
(1) ① 当$x=1$时，$x^2 +2x -3=1+2-3=0$，
则$x^2 +2x -3$必有一个一次因式$x-1$。
令$x^2 +2x -3=(x-1)(mx +n)$，
而$(x-1)(mx +n)=mx^2 + (n -m)x -n$，
对比同次项系数得$m=1,n=3$，
$\therefore x^2 +2x -3=(x-1)(x+3)$。
② 当$x=1$时，$x^3 -7x +6=1-7+6=0$，
则$x^3 -7x +6$必有一个一次因式$x-1$。
令$x^3 -7x +6=(x-1)(ax^2 +bx +c)$，
而$(x-1)(ax^2 +bx +c)=ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x -c$，
对比同次项系数得$a=1,b=1,c=-6$，
$\therefore x^3 -7x +6=(x-1)(x^2 +x -6)$。
对$x^2 +x -6$分解得$x^2 +x -6=(x+3)(x-2)$，
$\therefore x^3 -7x +6=(x-1)(x-2)(x+3)$。
(2) 已知多项式$2x^3 -x^2 -8x +m$有一个因式为$x+2$，令$2x^3 -x^2 -8x +m=(x+2)(ax^2 +bx +c)$，
而$(x+2)(ax^2 +bx +c)=ax^3 + (b+2a)x^2 + (c+2b)x + 2c$，
对比同次项系数得$\begin{cases}a=2\\b+2a=-1\\c+2b=-8\\2c=m\end{cases}$，
解得$a=2,b=-5,c=2,m=4$，
$\therefore 2x^3 -x^2 -8x +m=(x+2)(2x^2 -5x +2)$，
对$2x^2 -5x +2$分解得$2x^2 -5x +2=(2x-1)(x-2)$，
$\therefore 原式=(x+2)(2x-1)(x-2)$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{(x-1)(x+3)}$；② $\boldsymbol{(x-1)(x-2)(x+3)}$
(2) $m=\boldsymbol{4}$，因式分解结果为$\boldsymbol{(x+2)(2x-1)(x-2)}$
【知识点】
试根法因式分解；多项式恒等性质；十字相乘法分解因式
【点评】
本题是因式分解的拓展应用类题目，核心考查对试根法逻辑的理解，以及通过对比多项式同次项系数求未知参数的能力，解题时要注意高次多项式需分解到每个因式都不能再分解为止，能有效锻炼学生的推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先明确“试根法”的核心逻辑：若$x=a$时多项式$f(x)=0$，则$f(x)$必含有因式$(x-a)$。解题按以下思路展开：
1. 先尝试代入$x=\pm1、\pm2$等小整数，找到使多项式值为0的根，得到对应的一次因式；
2. 根据原多项式的次数，设出因式分解后的乘积形式（二次多项式设为两个一次式相乘，三次多项式设为一次式乘二次式）；
3. 展开乘积形式，与原多项式对比同次项的系数，列等式求解未知参数；
4. 若分解后仍有二次因式，继续用试根法或十字相乘法分解，直到所有因式都不能再分解为止。
第(2)问已知因式$x+2$，说明$x=-2$是方程$f(x)=0$的根，可通过设乘积对比系数的方式求出$m$和其余因式。
【解析】
(1) ① 当$x=1$时，$x^2 +2x -3=1+2-3=0$，
则$x^2 +2x -3$必有一个一次因式$x-1$。
令$x^2 +2x -3=(x-1)(mx +n)$，
而$(x-1)(mx +n)=mx^2 + (n -m)x -n$，
对比同次项系数得$m=1,n=3$，
$\therefore x^2 +2x -3=(x-1)(x+3)$。
② 当$x=1$时，$x^3 -7x +6=1-7+6=0$，
则$x^3 -7x +6$必有一个一次因式$x-1$。
令$x^3 -7x +6=(x-1)(ax^2 +bx +c)$，
而$(x-1)(ax^2 +bx +c)=ax^3 + (b-a)x^2 + (c-b)x -c$，
对比同次项系数得$a=1,b=1,c=-6$，
$\therefore x^3 -7x +6=(x-1)(x^2 +x -6)$。
对$x^2 +x -6$分解得$x^2 +x -6=(x+3)(x-2)$，
$\therefore x^3 -7x +6=(x-1)(x-2)(x+3)$。
(2) 已知多项式$2x^3 -x^2 -8x +m$有一个因式为$x+2$，令$2x^3 -x^2 -8x +m=(x+2)(ax^2 +bx +c)$，
而$(x+2)(ax^2 +bx +c)=ax^3 + (b+2a)x^2 + (c+2b)x + 2c$，
对比同次项系数得$\begin{cases}a=2\\b+2a=-1\\c+2b=-8\\2c=m\end{cases}$，
解得$a=2,b=-5,c=2,m=4$，
$\therefore 2x^3 -x^2 -8x +m=(x+2)(2x^2 -5x +2)$，
对$2x^2 -5x +2$分解得$2x^2 -5x +2=(2x-1)(x-2)$，
$\therefore 原式=(x+2)(2x-1)(x-2)$。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{(x-1)(x+3)}$；② $\boldsymbol{(x-1)(x-2)(x+3)}$
(2) $m=\boldsymbol{4}$，因式分解结果为$\boldsymbol{(x+2)(2x-1)(x-2)}$
【知识点】
试根法因式分解；多项式恒等性质；十字相乘法分解因式
【点评】
本题是因式分解的拓展应用类题目，核心考查对试根法逻辑的理解，以及通过对比多项式同次项系数求未知参数的能力，解题时要注意高次多项式需分解到每个因式都不能再分解为止，能有效锻炼学生的推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
