22.「2026辽宁沈阳大东期末，★★★」(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$与直线$y=\frac{1}{2}x+1$交于A,B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为2.
(1)点A的坐标为,点B的坐标为.
(2)求此抛物线所对应的函数表达式.
(3)点P是抛物线上一点,点P与点B不重合,设点P的横坐标为m,过点P作$PC// y$轴,交直线AB于点C,设PC的长为h.
①若点P在直线AB的上方,求h关于m的函数表达式.
②若点P在x轴的上方,当h随m的增大而增大时,直接写出m的取值范围.

(1)对于 $y=\frac{1}{2}x+1$,当 $x=2$ 时,$y=\frac{1}{2}×2+1=2$,故点 B 的坐标为 $(2,2)$,
当 $y=0$ 时,得 $\frac{1}{2}x+1=0$,解得 $x=-2$,故点 A 的坐标为 $(-2,0)$.
故答案为 $(-2,0)$;$(2,2)$.
(2)把 $(-2,0)$,$(2,2)$ 代入 $y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$,
得 $\begin{cases}-2-2b+c=0,\\-2+2b+c=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=\frac{1}{2},\\c=3,\end{cases}$
∴ $y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3$.
(3)①由题意知点 P 的坐标为 $(m,-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}m+3)$,点 C 的坐标为 $(m,\frac{1}{2}m+1)$,
则 $h=y_P-y_C=(-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}m+3)-(\frac{1}{2}m+1)=-\frac{1}{2}m^2+2(-2＜m＜2)$.
②$-2＜m≤0$ 或 $2＜m＜3$.
详解:令 $y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3=0$,
解得 $x=-2$ 或 3,
故抛物线和 x 轴的另外一个交点的坐标为 $(3,0)$,
当点 P 在 x 轴的上方且在点 B 左侧时,易知 $h=-\frac{1}{2}m^2+2(-2＜m＜2)$,
此时抛物线 h 的对称轴为 $m=0$,
∵ $-\frac{1}{2}＜0$,
∴ $m＜0$ 时,$h$ 随 $m$ 的增大而增大,
∴ $-2＜m≤0$;
当点 P 在 x 轴的上方且在点 B 的右侧时,
易知 $h=y_C-y_P=(\frac{1}{2}m+1)-(-\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}m+3)=\frac{1}{2}m^2-2(2＜m＜3)$,
此时抛物线 h 的对称轴为 $m=0$,
∵ $\frac{1}{2}＞0$,
∴ $m＞0$ 时,$h$ 随 $m$ 的增大而增大,
∴ $2＜m＜3$.
综上,当 h 随 m 的增大而增大时,$-2＜m≤0$ 或 $2＜m＜3$.