20.「2025广东广州四中期末，★☆」(10分)某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元/件需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(40≤x≤70，且x为整数).
(1)直接写出y与x的函数表达式并写出自变量x的取值范围.
(2)从改变销售策略开始，求当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少.

(1)$y=\begin{cases}-10x+700(40≤x≤60,且 x 为整数),\\5x-200(60＜x≤70,且 x 为整数).\end{cases}$
详解:设线段 AB 对应的函数表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,
把 $A(40,300)$,$B(60,100)$ 代入,
得 $\begin{cases}40k+b=300,\\60k+b=100,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-10,\\b=700,\end{cases}$
∴ 线段 AB 对应的函数表达式为 $y=-10x+700(40≤x≤60)$,同理可得线段 BC 对应的函数表达式为 $y=5x-200(60≤x≤70)$.
综上所述,$y=\begin{cases}-10x+700(40≤x≤60,且 x 为整数),\\5x-200(60＜x≤70,且 x 为整数).\end{cases}$
(2)当 $60＜x≤70$ 时,设销售利润为 $w$ 元,则 $w=y·(x-30)-150(x-60)=(5x-200)(x-30)-150(x-60)=5x^2-500x+15000=5(x-50)^2+2500$,
∵ 二次函数图象开口向上,对称轴为 $x=50$,
∴ 当 $60＜x≤70$ 时,$w$ 随 $x$ 的增大而增大,
∴ 当售价为 70 元/件时,商家所获利润最大,最大利润是 4500 元.

21. 核心素养模型观念「2026辽宁大连期中，★★」(10分)某公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度AB为4米，桥墩露出水面的高度AE为0.88米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为$y=a(x-h)^2+k$.
(1)求抛物线的表达式.
(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C,D两处设置航行警戒线，并且$CE=DF$，要求游船能从C,D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？

(1)
∵ $AB=4$ 米,在距点 A 水平距离为 2 米的地点,拱桥距离水面的高度为 2.88 米,
∴ 抛物线的顶点坐标为 $(2,2.88)$,
则抛物线的表达式为 $y=a(x-2)^2+2.88$,
将 $A(0,0.88)$ 代入得 $0.88=4a+2.88$,解得 $a=-\frac{1}{2}$.
∴ 抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+2.88$.
(2)在 $y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+2.88$ 中,令 $y=2.16$,
可得 $2.16=-\frac{1}{2}(x-2)^2+2.88$,解得 $x=3.2$ 或 $x=0.8$,
易知 $x=3.2$ 不符合题意,
∴ C 处距桥墩的距离 CE 至少为 0.8 米.