5. 化简$( \dfrac{a^2 - 2a}{a^2 - 4a + 4} + 1 ) ÷ \dfrac{a^2 - 1}{a^2 + a}$，并在$-2, -1, 0, 1, 2$中选取一个合适的数作为$a$的值代入求值。

5. 解:原式=$[\frac{a(a-2)}{(a-2)^2}+1]·\frac{a(a+1)}{(a+1)(a-1)}$
=$(\frac{a}{a-2}+1)·\frac{a}{a-1}=\frac{a+a-2}{a-2}·\frac{a}{a-1}$
=$\frac{2(a-1)}{a-2}·\frac{a}{a-1}=\frac{2a}{a-2}$.
$\because$要使分式有意义,则$a≠2,0,-1,1$,
$\therefore a=-2$.
$\therefore$原式=$\frac{2×(-2)}{-2-2}=1$.

【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步遵循分式运算顺序，先处理括号内的运算，同时将除法转化为乘法，先对各分式的分子、分母因式分解，能约分的先约分；第二步计算括号内的加法，再进行乘法运算，约分化为最简分式；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不符合要求的a值，选择合适的a代入最简式计算结果。
【解析】
解：先对各分式因式分解，同时将除法转化为乘法：
原式=$[\frac{a(a-2)}{(a-2)^2} + 1] · \frac{a(a+1)}{(a+1)(a-1)}$
约分括号内的公因式$(a-2)$，同时约分右侧分式的公因式$(a+1)$：
=$(\frac{a}{a-2} + 1) · \frac{a}{a-1}$
对括号内通分计算：
=$\frac{a + a - 2}{a-2} · \frac{a}{a-1}=\frac{2(a-1)}{a-2} · \frac{a}{a-1}$
约掉公因式$(a-1)$，得最简式：
=$\frac{2a}{a-2}$
若分式有意义，则所有分母、除式均不为0，即$a≠2,0,-1,1$，故仅$a=-2$符合要求，代入得：
原式=$\frac{2×(-2)}{-2-2}=1$
【答案】
化简结果为$\frac{2a}{a-2}$，选取$a=-2$代入，值为1。
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规考法，解题时需先按运算规则化简为最简形式，再筛选可代入的数值，避免因忽略分式有意义的条件导致代入错误，熟练运用因式分解可有效简化运算过程。
【难度系数】
0.7

6. 先化简，再求值：$\frac{1}{1-x} ÷ \frac{x^2+2x}{x^2-2x+1} + \frac{1}{x+2}$，
请从不等式组$\begin{cases}5-2x≥1, \\x+3＞0\end{cases}$的整数解中选择
一个你喜欢的数代入求值.

6. 解:原式=$\frac{1}{1-x}·\frac{(x-1)^2}{x(x+2)}+\frac{1}{x+2}$
=$\frac{1-x}{x(x+2)}+\frac{1}{x+2}=\frac{1-x+x}{x(x+2)}=\frac{1}{x(x+2)}$.
由不等式组$\begin{cases}5-2x≥1, \\x+3＞0,\end{cases}$得$-3＜x≤2$.
$\therefore$不等式组的整数解为$-2,-1,0,1,2$.
$\because$要使分式有意义,则$x≠1,0,-2$,
$\therefore x$可取$-1,2$.
当$x=2$时,原式=$\frac{1}{2×(2+2)}=\frac{1}{8}$.
[或当$x=-1$时,原式=$\frac{1}{-1×(-1+2)}=-1$.]

【分析】
解题时分为三步思考：第一步化简分式，先根据分式除法法则将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，最后通分合并为最简分式；第二步求解不等式组，分别解两个不等式得到公共解集，再找出解集中的所有整数解；第三步选取合适的x值代入，注意要先排除使原式中所有分母、除式为0的x值，保证分式有意义，再代入最简式计算结果。
【解析】
1. 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{1-x}·\frac{(x-1)^2}{x(x+2)}+\frac{1}{x+2}\\&=\frac{1-x}{x(x+2)}+\frac{1}{x+2}\\&=\frac{1-x}{x(x+2)}+\frac{x}{x(x+2)}\\&=\frac{1-x+x}{x(x+2)}\\&=\frac{1}{x(x+2)}\end{aligned}$
2. 解不等式组：
解不等式$5-2x≥1$，移项得$-2x≥-4$，解得$x≤2$；
解不等式$x+3＞0$，解得$x＞-3$；
则不等式组的解集为$-3＜x≤2$，整数解为$-2,-1,0,1,2$。
3. 确定可代入的x值：
要使分式有意义，则分母和除式均不为0，即：
$1-x≠0$，$x(x+2)≠0$，$x+2≠0$，
解得$x≠1,0,-2$，因此可选$x=-1$或$x=2$代入。
4. 代入求值：
当$x=2$时，原式=$\frac{1}{2×(2+2)}=\frac{1}{8}$；
（或当$x=-1$时，原式=$\frac{1}{-1×(-1+2)}=-1$）
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x(x+2)}$，当x=2时，值为$\frac{1}{8}$（或x=-1时，值为-1）
【知识点】
分式化简运算；一元一次不等式组解法；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简与不等式组结合的典型题型，既考查基础运算能力，也注重对细节的考查，解题时需先判断x的合法取值，避免因忽略分母不为0的限制代入错误数值导致失分。
【难度系数】
0.7

7.已知$x≠y$，$y=-x+8$，求$\frac{x^2}{x-y}+\frac{y^2}{y-x}$的值。

7. 解:原式=$\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^2}{x-y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}$
=$x+y$.
当$x≠ y,y=-x+8$时,
原式=$x+(-x+8)=8$.

【分析】
解题时先观察两个分式的分母，发现x-y与y-x互为相反数，首先利用符号变化将两个分式化为同分母分式，再按照同分母分式减法法则计算；得到的分子符合平方差公式的结构，对分子因式分解后，结合已知x≠y（即分母x-y≠0），可以约去公因式x-y，得到最简结果，最后代入y与x的关系式计算即可。
【解析】
解：先统一分母：
原式=$\frac{x^2}{x-y}-\frac{y^2}{x-y}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
=$\frac{x^2 - y^2}{x-y}$
对分子用平方差公式因式分解：
=$\frac{(x+y)(x-y)}{x-y}$
∵x≠y，即x-y≠0，可约分：
=$x+y$
将$y=-x+8$代入上式：
原式=$x+(-x+8)=8$
【答案】
8
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式；分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，解题核心是先利用分母的符号关系统一分母，再结合因式分解简化运算，解题时要注意约分的前提是分母不为0，本题已给出x≠y的条件，可直接约分，属于常考的基础计算题。
【难度系数】
0.8

8. 已知 $a^2 - 4ab + 4b^2 = 0$，$ab ≠ 0$，求 $\frac{a + 2b}{a^2 - b^2} · (a - b)$ 的值。

8. 解:$\because a^2-4ab+4b^2=0,ab≠0,\therefore (a-2b)^2=0$.
$\therefore a-2b=0$,即$a=2b$.
原式=$\frac{a+2b}{(a+b)(a-b)}·(a-b)=\frac{a+2b}{a+b}=\frac{2b+2b}{2b+b}=\frac{4}{3}$.

【分析】
解题时先从已知等式入手，观察等式左边符合完全平方公式的结构，先对其因式分解得到a与b的数量关系；再对待求的分式运算式进行化简，利用平方差公式分解分母后约分，将分式化为最简形式；最后将a与b的关系代入最简式计算即可，过程中要注意ab≠0的条件可保证分式分母有意义。
【解析】
解：$\because a^2 - 4ab + 4b^2 = 0$，$ab≠0$，
$\therefore$ 对等式左边因式分解得 $(a - 2b)^2 = 0$，
$\therefore a - 2b = 0$，即 $a = 2b$，且$a≠0,b≠0$，因此$a+b=3b≠0$，$a-b=b≠0$，待求式中所有分母均有意义。
化简待求式：
$\frac{a + 2b}{a^2 - b^2} · (a - b)$
$=\frac{a + 2b}{(a + b)(a - b)} · (a - b)$（利用平方差公式分解$a^2 - b^2$）
$=\frac{a + 2b}{a + b}$（约去公因式$a - b$）
将$a=2b$代入化简后的式子得：
原式$=\frac{2b + 2b}{2b + b}=\frac{4b}{3b}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，分式化简求值
【点评】
本题是因式分解与分式运算结合的常规题型，重点考察对基础因式分解公式的掌握程度和分式约分的运算能力，解题时要注意验证分母不为0的隐含条件，避免运算无意义。
【难度系数】
0.7

9. 已知 $ x = a(\frac{1}{b} + \frac{1}{c}), y = b(\frac{1}{a} + \frac{1}{c}), z = c(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) $。当 $ ab + bc + ac ≠ 0 $ 时，求 $ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} $ 的值。

9. 解:$\because x=\frac{ac+ab}{bc},y=\frac{bc+ab}{ac},z=\frac{bc+ac}{ab}$,
$\therefore x+1=\frac{ac+ab}{bc}+1=\frac{ac+ab+bc}{bc}$,
$y+1=\frac{bc+ab}{ac}+1=\frac{bc+ab+ac}{ac}$,
$z+1=\frac{bc+ac}{ab}+1=\frac{bc+ac+ab}{ab}$.
又$ab+bc+ac≠0$,
$\therefore$原式=$\frac{bc}{ab+bc+ac}+\frac{ac}{ab+bc+ac}+\frac{ab}{ab+bc+ac}$
=$\frac{ab+bc+ac}{ab+bc+ac}=1$.

【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步，先将已知的x、y、z的表达式通分化简，整理为分子是两两字母乘积和、分母是第三个字母乘积的形式；第二步，分别计算x+1、y+1、z+1，通分后可发现三个式子的分子均为$ab+bc+ac$，分母分别为$bc$、$ac$、$ab$，据此可直接写出它们的倒数；第三步，将三个倒数相加，三个分式分母相同，分子相加后刚好等于$ab+bc+ac$，结合题目给出的$ab+bc+ac≠0$的条件，约分即可得到最终结果。
【解析】
解：先化简已知的$x、y、z$：
$x = a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) = a·\frac{b+c}{bc} = \frac{ab+ac}{bc}$
同理可得：$y = b(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}) = \frac{ab+bc}{ac}$，$z = c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = \frac{bc+ac}{ab}$
分别计算$x+1、y+1、z+1$：
$x+1 = \frac{ab+ac}{bc} + 1 = \frac{ab+ac}{bc} + \frac{bc}{bc} = \frac{ab+bc+ac}{bc}$
$y+1 = \frac{ab+bc}{ac} + 1 = \frac{ab+bc}{ac} + \frac{ac}{ac} = \frac{ab+bc+ac}{ac}$
$z+1 = \frac{bc+ac}{ab} + 1 = \frac{bc+ac}{ab} + \frac{ab}{ab} = \frac{ab+bc+ac}{ab}$
已知$ab+bc+ac≠0$，因此：
$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} = \frac{bc}{ab+bc+ac} + \frac{ac}{ab+bc+ac} + \frac{ab}{ab+bc+ac}$
$= \frac{ab+bc+ac}{ab+bc+ac} = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
分式通分，分式化简求值，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心是通过通分对已知表达式和待求式的分母进行统一，解题时要注意运用题目给出的分母不为零的条件进行约分，主要考查分式基本运算规则的熟练应用。
【难度系数】
0.7