1. 如图，$AC=BC$，$AC ⊥ OA$，$BC ⊥ OB$，则$\mathrm{Rt}△ AOC ≌ \mathrm{Rt}△ BOC$的理由是（）

A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.HL

1.D

【分析】
首先观察到△AOC和△BOC都是直角三角形，要判定二者全等，先梳理已知条件：已知AC=BC，两个三角形有公共斜边OC，结合直角三角形全等的特殊判定定理即可找到判定依据。思考步骤：第一步先由垂直条件确定两个三角形是直角三角形，第二步找对应相等的边：一条直角边AC=BC，斜边OC为公共边相等，符合HL的判定条件。
【解析】
∵ $AC ⊥ OA$，$BC ⊥ OB$，
∴ $∠ A = ∠ B = 90°$，即$△ AOC$和$△ BOC$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$和$\mathrm{Rt}△ BOC$中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC（已知）\\OC=OC（公共边相等）\end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ AOC ≌ \mathrm{Rt}△ BOC(\mathrm{HL})$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
HL全等判定，垂直的定义，公共边性质
【点评】
本题是基础的直角三角形全等判定题，解题关键是先明确三角形为直角三角形，再结合已知的边相等条件选择对应的判定定理，注意HL是仅适用于直角三角形全等的判定方法。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在四边形ABCD中,连接BD,且AB⊥BD,CD⊥BD,若用“HL”判定$Rt△ ABD$和$Rt△ CDB$全等,则需要添加的条件是（）

A.$∠ A=∠ C$
B.$∠ ADB=∠ CBD$
C.$AB=CD$
D.$AD=CB$

第2题图 第3题图

2.D

【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求是用“HL”判定两个直角三角形全等，先回忆HL的判定规则：HL仅适用于直角三角形，判定条件是斜边和一条直角边对应相等。第一步先确定两个三角形的直角边和斜边：由AB⊥BD、CD⊥BD可知，△ABD和△CDB都是直角三角形，BD是两个三角形公共的直角边，已经满足一组直角边相等，因此只需再添加斜边对应相等，即可满足HL的判定条件。接下来逐一核对选项，排除对应其他全等判定方法的选项，选出符合HL要求的条件即可。
【解析】
已知$AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，因此$∠ ABD=∠ CDB=90°$，$△ ABD$和$△ CDB$均为直角三角形。
两个三角形有公共边$BD=DB$，即已经有一组直角边对应相等。
根据HL的判定要求，需要添加斜边对应相等的条件：
当添加$AD=CB$时，在$Rt△ ABD$和$Rt△ CDB$中：
$\begin{cases}AD=CB \\BD=DB\end{cases}$
$\therefore Rt△ ABD≌ Rt△ CDB(\mathrm{HL})$。
其余选项分析：A选项$∠ A=∠ C$对应AAS判定，B选项$∠ ADB=∠ CBD$对应ASA判定，C选项$AB=CD$对应SAS判定，均不符合“用HL判定”的题目要求。
【答案】
D
【知识点】
HL全等判定；直角三角形的概念；全等三角形判定
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的HL判定的适用条件，解题时要注意HL只能用于直角三角形，且必须包含斜边和一条直角边的对应相等，同时要关注题目指定的判定方法，避免混淆不同全等判定的条件。
【难度系数】
0.8

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,DE ⊥ AB$于点$E,BE=BC$,若$AC=6$,则$AD+DE=$.

3.6

【分析】
解题时先观察到图中有两个共斜边的直角三角形Rt△BCD和Rt△BED，结合已知条件BE=BC、公共边BD，可先通过“HL”判定这两个直角三角形全等，得到DE=DC的等量关系，再将待求的AD+DE转化为AD+DC，也就是AC的长度，代入已知数值即可得到答案。
【解析】
解：
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠BED=∠C=90°，△BCD和△BED均为直角三角形。
在Rt△BCD和Rt△BED中：
$\{\begin{array}{l} BD=BD\quad(公共边)\\ BC=BE\quad(已知)\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴DE=DC（全等三角形对应边相等），
∴AD+DE=AD+DC=AC，
∵AC=6，
∴AD+DE=6。
【答案】
6
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；线段和差转化
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，核心是借助全等实现线段的等量代换，将分散的待求线段和转化为已知的整段线段长度，需要熟练掌握直角三角形全等的判定定理，灵活运用等量代换解决线段计算问题。
【难度系数】
0.7

4. 如图，$∠ A=∠ D=90°$，$AB=DE$，$BF=EC$. 求证：$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF$.

4. 证明:$\because BF=EC$,
$\therefore BF+FC=FC+CE$,即$BC=EF$.
$\because ∠A=∠D=90^{\circ }$,
$\therefore △ABC$和$△DEF$都是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEF$中,$\begin{cases} BC=EF,\\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF(\mathrm{HL}).$

【分析】
要证明$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF$，首先回忆直角三角形全等的HL判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。题目已知直角边$AB=DE$，还缺少斜边相等的条件；已知$BF=EC$，给两条相等线段同时加上公共线段$FC$，根据等式的性质即可得到斜边$BC=EF$，满足HL的判定条件，就能完成证明。
【解析】
证明：
$\because BF=EC$,
$\therefore BF+FC=FC+CE$,即$BC=EF$.
$\because ∠A=∠D=90^{\circ }$,
$\therefore △ABC$和$△DEF$都是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEF$中,$\begin{cases} BC=EF,\\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF(\mathrm{HL}).$
【答案】
$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF$，证明过程如上。
【知识点】
HL判定定理，线段和差计算，直角三角形定义
【点评】
本题属于全等证明的基础题，核心考查直角三角形的HL判定方法，解题的关键是通过线段和差推导得到相等的斜边，解题时要注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.85

5. 如图,在$Rt△ABC$和$Rt△A'B'C'$中,$∠C=∠C'=90^{\circ }$,再添加两个条件不能使$Rt△ABC≌Rt△A'B'C'$的是 ()

A.$AB=A'B',BC=B'C'$
B.$AB=B'C',∠A=∠B'$
C.$AC=A'C',BC=B'C'$
D.$AC=A'C',∠A=∠A'$

第5题图 第6题图

5.B

【分析】
要判定两个直角三角形全等，既可以使用普通三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），也可以使用直角三角形特有的HL定理。解题时需逐一验证每个选项给出的两个条件是否符合上述判定定理，同时注意边和角必须是对应相等才能判定全等。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 已知$∠ C=∠ C'=90°$，$AB=A'B'$是斜边对应相等，$BC=B'C'$是直角边对应相等，符合直角三角形全等判定的HL定理，可判定$Rt△ ABC≌Rt△ A'B'C'$，不符合题意；
B. $AB$是$Rt△ ABC$的斜边，$B'C'$是$Rt△ A'B'C'$的直角边，二者不是对应边，仅满足$∠ A=∠ B'$、$∠ C=∠ C'$，没有对应边相等的条件，无法判定两个直角三角形全等，符合题意；
C. 已知$AC=A'C'$，$BC=B'C'$，且两边的夹角$∠ C=∠ C'=90°$，符合SAS判定定理，可判定$Rt△ ABC≌Rt△ A'B'C'$，不符合题意；
D. 已知$AC=A'C'$，$∠ A=∠ A'$，且夹边的角$∠ C=∠ C'=90°$，符合ASA判定定理，可判定$Rt△ ABC≌Rt△ A'B'C'$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 全等三角形的判定
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是明确判定全等时边、角必须对应相等，尤其要区分直角三角形的斜边和直角边，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7

6.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,分别过点$B$,$C$作经过点$A$的直线的垂线段$BD$,$CE$,若$BD=2$,$CE=4$,则$DE$的长为________.

6.6

【分析】
要求DE的长度，我们先观察图形特征：已知△ABC是等腰直角三角形，BD、CE均垂直于过点A的直线DE。首先可利用直角三角形两锐角互余的性质，通过“同角的余角相等”找到两组相等的角，再结合AB=AC的条件，证明△ABD和△CAE全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质，将DE转化为BD与CE的和，即可求出结果。
【解析】
∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴$∠ ADB=∠ CEA=90°$，
∴$∠ ABD+∠ BAD=90°$。
又
∵$∠ BAC=90°$，
∴$∠ BAD+∠ CAE=90°$，
∴$∠ ABD=∠ CAE$（同角的余角相等）。
在$△ ABD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ ADB=∠ CEA \\∠ ABD=∠ CAE \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ CAE$（AAS）。
由全等三角形对应边相等可得：$AD=CE=4$，$AE=BD=2$，
∴$DE=AD+AE=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余角相等；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是“一线三垂直”全等模型的典型应用，解题的核心是通过角度互余关系推导等角，进而证明三角形全等，实现线段长度的转化求解，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7

7. 如图，点 C，F 在线段 BE 上，$∠ ABC = ∠ DEF = 90°$，$BC = EF$，请只添加一个合适的条件使$△ ABC ≌ △ DEF$.
（1）① 根据“ASA”，需添加的条件是；
②根据“AAS”，需添加的条件是；
③根据“SAS”，需添加的条件是；
④根据“HL”，需添加的条件是；
（2）请从（1）中选择一种，加以证明.

7. 解:(1)$∠ACB=∠DFE$ $∠A=∠D$ $AB=DE$ $AC=DF$
(2)选择添加条件$AC=DF$.
证明:$\because ∠ABC=∠DEF=90^{\circ }$,
$\therefore △ABC$和$△DEF$都是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△DEF$中,$\begin{cases} AC=DF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△DEF(\mathrm{HL}).$

【分析】
首先梳理已知条件：$∠ ABC=∠ DEF=90°$，$BC=EF$，再结合不同全等判定定理的要求补充对应条件：
1. ASA判定要求“两角及其夹边对应相等”，已有夹边$BC=EF$、一组角$∠ ABC=∠ DEF$，缺夹边的另一组对应角相等；
2. AAS判定要求“两角及其中一角的对边对应相等”，已有一组角$∠ ABC=∠ DEF$、一组边$BC=EF$，缺另一组对应角相等；
3. SAS判定要求“两边及其夹角对应相等”，已有夹角$∠ ABC=∠ DEF$、一组边$BC=EF$，缺夹角的另一组对应边相等；
4. HL是直角三角形特有的判定，要求“斜边和一条直角边对应相等”，已有直角边$BC=EF$，缺斜边对应相等。
证明时按照全等证明的规范步骤，罗列对应相等的条件，写出判定依据即可。
【解析】
(1) ① 根据ASA判定的要求，需添加两角的夹边对应的另一组角相等，即$∠ ACB=∠ DFE$；
② 根据AAS判定的要求，需添加另一组对应角相等，即$∠ A=∠ D$；
③ 根据SAS判定的要求，需添加夹角的另一组对应边相等，即$AB=DE$；
④ 根据HL判定的要求，需添加一组斜边对应相等，即$AC=DF$。
(2) 选择添加条件$AC=DF$证明：
$\because ∠ ABC=∠ DEF=90°$，
$\therefore △ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DEF$中，
$\begin{cases} AC=DF,\\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$。
【答案】
(1) $∠ ACB=∠ DFE$；$∠ A=∠ D$；$AB=DE$；$AC=DF$
(2) 选择添加条件$AC=DF$，可证$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF(\mathrm{HL})$，证明过程见解析。
【知识点】
全等三角形的判定，直角三角形HL判定
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的灵活运用，需要熟练掌握不同判定定理的成立条件，结合已知的边角相等关系补充缺失条件即可，证明时要注意逻辑规范，准确罗列对应相等的条件。
【难度系数】
0.8