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8. 如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$BE$，$CD$相交于点$O$。如果$AB=AC$，那么图中全等的直角三角形的对数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：CD⊥AB、BE⊥AC可得多个直角三角形，已知AB=AC，还有公共角、对顶角等隐含条件。我们按照“从大到小”的顺序找全等直角三角形：第一步先证明最大的两个直角三角形全等，得到对应边、对应角相等的结论，再利用这些结论证明剩下的直角三角形全等，最后统计对数即可。
【解析】
1. 证明$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ ACD$：
∵ $CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴ $∠ ADC = ∠ AEB = 90°$，
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ ADC \\∠ A = ∠ A \\AB = AC\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACD$（AAS），为第1对全等直角三角形。
2. 由$△ ABE ≌ △ ACD$得$AD=AE$，$∠ B = ∠ C$，
∵ $AB=AC$，
∴ $AB - AD = AC - AE$，即$BD=CE$。
证明$△ BOD ≌ △ COE$：
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BDO = ∠ CEO = 90° \\∠ BOD = ∠ COE \\BD = CE\end{cases}$
∴ $△ BOD ≌ △ COE$（AAS），为第2对全等直角三角形。
3. 证明$\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$：
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中：
$\begin{cases}AD = AE \\AO = AO\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$（HL），为第3对全等直角三角形。
综上，全等的直角三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
AAS判定全等，HL判定直角三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要充分利用题目给出的垂直、等边条件，结合公共角、对顶角等隐含条件，先证出基础的全等三角形，再利用其性质推导后续全等，注意不要漏数符合条件的全等三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：CD⊥AB、BE⊥AC可得多个直角三角形，已知AB=AC，还有公共角、对顶角等隐含条件。我们按照“从大到小”的顺序找全等直角三角形：第一步先证明最大的两个直角三角形全等，得到对应边、对应角相等的结论，再利用这些结论证明剩下的直角三角形全等，最后统计对数即可。
【解析】
1. 证明$\mathrm{Rt}△ ABE ≌ \mathrm{Rt}△ ACD$：
∵ $CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴ $∠ ADC = ∠ AEB = 90°$，
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ ADC \\∠ A = ∠ A \\AB = AC\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ACD$（AAS），为第1对全等直角三角形。
2. 由$△ ABE ≌ △ ACD$得$AD=AE$，$∠ B = ∠ C$，
∵ $AB=AC$，
∴ $AB - AD = AC - AE$，即$BD=CE$。
证明$△ BOD ≌ △ COE$：
在$△ BOD$和$△ COE$中：
$\begin{cases}∠ BDO = ∠ CEO = 90° \\∠ BOD = ∠ COE \\BD = CE\end{cases}$
∴ $△ BOD ≌ △ COE$（AAS），为第2对全等直角三角形。
3. 证明$\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$：
在$\mathrm{Rt}△ ADO$和$\mathrm{Rt}△ AEO$中：
$\begin{cases}AD = AE \\AO = AO\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ADO ≌ \mathrm{Rt}△ AEO$（HL），为第3对全等直角三角形。
综上，全等的直角三角形共有3对。
【答案】
C
【知识点】
AAS判定全等，HL判定直角三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要充分利用题目给出的垂直、等边条件，结合公共角、对顶角等隐含条件，先证出基础的全等三角形，再利用其性质推导后续全等，注意不要漏数符合条件的全等三角形。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ ABC$中,D是BC上一点,$FD⊥ BC$于点D,$DE⊥ AB$于点E,$BD=CF$,$BE=CD$,若$∠ AFD=145°$,则$∠ EDF$的度数为
55°
.答案
9.$55^{\circ }$
解析
【分析】
首先观察图形可知FD⊥BC、DE⊥AB，因此△BDE和△CFD均为直角三角形，题目给出两组边相等BD=CF、BE=CD，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等，得到对应角相等的关系；再结合∠AFD的度数求出其邻补角∠DFC的度数，即可得到对应角∠BDE的度数，最后根据平角的性质计算∠EDF的度数即可。
【解析】
∵ $FD⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
∴ $∠ DEB=∠ FDC=90°$，即$△ BDE$和$△ CFD$都是直角三角形。
在$Rt△ BDE$和$Rt△ CFD$中：
$\begin{cases}BD=CF \\BE=CD\end{cases}$
∴ $Rt△ BDE≌ Rt△ CFD$（HL）。
∵ $∠ AFD=145°$，$∠ AFD+∠ DFC=180°$，
∴ $∠ DFC=180°-145°=35°$。
由全等三角形对应角相等，得$∠ BDE=∠ DFC=35°$。
∵ $∠ BDE+∠ EDF+∠ FDC=180°$，$∠ FDC=90°$，
∴ $∠ EDF=180°-90°-35°=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用题，解题的关键是先通过HL证明两个直角三角形全等，得到对应角的等量关系，再结合角度和差计算所求角度，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知FD⊥BC、DE⊥AB，因此△BDE和△CFD均为直角三角形，题目给出两组边相等BD=CF、BE=CD，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等，得到对应角相等的关系；再结合∠AFD的度数求出其邻补角∠DFC的度数，即可得到对应角∠BDE的度数，最后根据平角的性质计算∠EDF的度数即可。
【解析】
∵ $FD⊥ BC$，$DE⊥ AB$，
∴ $∠ DEB=∠ FDC=90°$，即$△ BDE$和$△ CFD$都是直角三角形。
在$Rt△ BDE$和$Rt△ CFD$中：
$\begin{cases}BD=CF \\BE=CD\end{cases}$
∴ $Rt△ BDE≌ Rt△ CFD$（HL）。
∵ $∠ AFD=145°$，$∠ AFD+∠ DFC=180°$，
∴ $∠ DFC=180°-145°=35°$。
由全等三角形对应角相等，得$∠ BDE=∠ DFC=35°$。
∵ $∠ BDE+∠ EDF+∠ FDC=180°$，$∠ FDC=90°$，
∴ $∠ EDF=180°-90°-35°=55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是直角三角形全等判定的基础应用题，解题的关键是先通过HL证明两个直角三角形全等，得到对应角的等量关系，再结合角度和差计算所求角度，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$CA ⊥ AB$，垂足为$A$，$AB=8$，$AC=4$，射线$BM ⊥ AB$，垂足为$B$，一动点$E$从点$A$出发沿射线$AN$运动，$D$为射线$BM$上一动点，随着点$E$运动而运动，且始终保持$ED=CB$，当$BE=$
4或8
时，$△ DEB$与$△ BCA$全等。答案
10.4或8
解析
【分析】
△DEB和△BCA均为直角三角形，题目已给出斜边ED=CB，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需再找到一组直角边对应相等即可判定两三角形全等。由于题目未明确两个三角形的对应顶点，需分两种情况讨论对应边：第一种是BE与AC对应相等，第二种是BE与AB对应相等，分别计算BE的长度即可。
【解析】
解：
∵ $CA ⊥ AB$，$BM ⊥ AB$，
∴ $∠ A = ∠ DBE = 90°$，即$△ BCA$和$△ DEB$都是直角三角形。
已知$ED=CB$，要使$Rt△ DEB$与$Rt△ BCA$全等，分两种情况讨论：
① 当$BE=AC$时：
∵ $AC=4$，
∴ $BE=4$，
此时在$Rt△ DEB$和$Rt△ BCA$中：
$\begin{cases} ED=CB \\ BE=AC \end{cases}$
∴ $Rt△ DEB ≌ Rt△ BCA$（HL）；
② 当$BE=AB$时：
∵ $AB=8$，
∴ $BE=8$，
此时在$Rt△ DEB$和$Rt△ BCA$中：
$\begin{cases} ED=CB \\ BE=AB \end{cases}$
∴ $Rt△ DEB ≌ Rt△ BCA$（HL）。
综上，$BE$的长为4或8。
【答案】
4或8
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等 2. 分类讨论思想 3. 直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的HL判定，解题的关键是明确未给出全等三角形对应顶点时，要分情况讨论对应边，避免漏解。
【难度系数】
0.7
△DEB和△BCA均为直角三角形，题目已给出斜边ED=CB，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需再找到一组直角边对应相等即可判定两三角形全等。由于题目未明确两个三角形的对应顶点，需分两种情况讨论对应边：第一种是BE与AC对应相等，第二种是BE与AB对应相等，分别计算BE的长度即可。
【解析】
解：
∵ $CA ⊥ AB$，$BM ⊥ AB$，
∴ $∠ A = ∠ DBE = 90°$，即$△ BCA$和$△ DEB$都是直角三角形。
已知$ED=CB$，要使$Rt△ DEB$与$Rt△ BCA$全等，分两种情况讨论：
① 当$BE=AC$时：
∵ $AC=4$，
∴ $BE=4$，
此时在$Rt△ DEB$和$Rt△ BCA$中：
$\begin{cases} ED=CB \\ BE=AC \end{cases}$
∴ $Rt△ DEB ≌ Rt△ BCA$（HL）；
② 当$BE=AB$时：
∵ $AB=8$，
∴ $BE=8$，
此时在$Rt△ DEB$和$Rt△ BCA$中：
$\begin{cases} ED=CB \\ BE=AB \end{cases}$
∴ $Rt△ DEB ≌ Rt△ BCA$（HL）。
综上，$BE$的长为4或8。
【答案】
4或8
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等 2. 分类讨论思想 3. 直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的HL判定，解题的关键是明确未给出全等三角形对应顶点时，要分情况讨论对应边，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11. 如图, 在四边形 ABCD 中, AC 平分∠BAD,CB=CD,CF⊥AD 于点 F.
(1)求证:∠ABC+∠ADC=180°;
(2)若 AF=5,DF=2,求 AB 的长.
(1)求证:∠ABC+∠ADC=180°;
(2)若 AF=5,DF=2,求 AB 的长.
答案
11.(1)证明:过点$C$作$CE⊥AB$,交$AB$的延长线于点$E$.
$\because AC$平分$∠BAD$,$\therefore ∠EAC=∠FAC$.
在$△ACE$和$△ACF$中,$\begin{cases} ∠EAC=∠FAC,\\ ∠CEA=∠CFA=90^{\circ },\\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌△ACF(\mathrm{AAS}).\therefore AE=AF,CE=CF.$
在$\mathrm{Rt}△CBE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中,$\begin{cases} BC=DC,\\ CE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△CBE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠ADC=∠CBE.$
$\because ∠ABC+∠CBE=180^{\circ },\therefore ∠ABC+∠ADC=180^{\circ }.$
(2)解:$\because \mathrm{Rt}△CBE≌\mathrm{Rt}△CDF,\therefore BE=DF=2.$
$\because △ACE≌△ACF,\therefore AE=AF=5.$
$\therefore AB=AE-BE=3.$
$\because AC$平分$∠BAD$,$\therefore ∠EAC=∠FAC$.
在$△ACE$和$△ACF$中,$\begin{cases} ∠EAC=∠FAC,\\ ∠CEA=∠CFA=90^{\circ },\\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌△ACF(\mathrm{AAS}).\therefore AE=AF,CE=CF.$
在$\mathrm{Rt}△CBE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中,$\begin{cases} BC=DC,\\ CE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△CBE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠ADC=∠CBE.$
$\because ∠ABC+∠CBE=180^{\circ },\therefore ∠ABC+∠ADC=180^{\circ }.$
(2)解:$\because \mathrm{Rt}△CBE≌\mathrm{Rt}△CDF,\therefore BE=DF=2.$
$\because △ACE≌△ACF,\therefore AE=AF=5.$
$\therefore AB=AE-BE=3.$
解析
【分析】
(1)要证明∠ABC+∠ADC=180°，已知AC平分∠BAD且CF⊥AD，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，得到CE=CF；再结合已知CB=CD，证明Rt△CBE和Rt△CDF全等，将∠ADC转化为与∠ABC互补的∠CBE，即可完成证明。
(2)求AB的长度时，可先通过△ACE≌△ACF得到AE=AF，再由Rt△CBE≌Rt△CDF得到BE=DF，利用线段和差关系AB=AE-BE，代入已知数值即可计算出AB的长。
【解析】
(1)证明:过点$C$作$CE⊥AB$，交$AB$的延长线于点$E$.
$\because AC$平分$∠BAD$，$\therefore ∠EAC=∠FAC$.
在$△ACE$和$△ACF$中，$\begin{cases} ∠EAC=∠FAC,\\ ∠CEA=∠CFA=90^{\circ },\\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌△ACF(\mathrm{AAS}).\therefore AE=AF,CE=CF.$
在$\mathrm{Rt}△CBE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中，$\begin{cases} BC=DC,\\ CE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△CBE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠ADC=∠CBE.$
$\because ∠ABC+∠CBE=180^{\circ },\therefore ∠ABC+∠ADC=180^{\circ }.$
(2)解:$\because \mathrm{Rt}△CBE≌\mathrm{Rt}△CDF,\therefore BE=DF=2.$
$\because △ACE≌△ACF,\therefore AE=AF=5.$
$\therefore AB=AE-BE=5-2=3.$
【答案】
(1)证明见解析；(2)$AB=3$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；HL判定直角三角形全等
【点评】
本题是几何综合基础题型，核心考查角平分线辅助线的构造及全等三角形的应用，掌握角平分线作双垂线的辅助线方法是解题的关键，能帮助学生巩固全等三角形判定的相关知识。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠ABC+∠ADC=180°，已知AC平分∠BAD且CF⊥AD，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，得到CE=CF；再结合已知CB=CD，证明Rt△CBE和Rt△CDF全等，将∠ADC转化为与∠ABC互补的∠CBE，即可完成证明。
(2)求AB的长度时，可先通过△ACE≌△ACF得到AE=AF，再由Rt△CBE≌Rt△CDF得到BE=DF，利用线段和差关系AB=AE-BE，代入已知数值即可计算出AB的长。
【解析】
(1)证明:过点$C$作$CE⊥AB$，交$AB$的延长线于点$E$.
$\because AC$平分$∠BAD$，$\therefore ∠EAC=∠FAC$.
在$△ACE$和$△ACF$中，$\begin{cases} ∠EAC=∠FAC,\\ ∠CEA=∠CFA=90^{\circ },\\ AC=AC, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌△ACF(\mathrm{AAS}).\therefore AE=AF,CE=CF.$
在$\mathrm{Rt}△CBE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中，$\begin{cases} BC=DC,\\ CE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△CBE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}).$
$\therefore ∠ADC=∠CBE.$
$\because ∠ABC+∠CBE=180^{\circ },\therefore ∠ABC+∠ADC=180^{\circ }.$
(2)解:$\because \mathrm{Rt}△CBE≌\mathrm{Rt}△CDF,\therefore BE=DF=2.$
$\because △ACE≌△ACF,\therefore AE=AF=5.$
$\therefore AB=AE-BE=5-2=3.$
【答案】
(1)证明见解析；(2)$AB=3$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；HL判定直角三角形全等
【点评】
本题是几何综合基础题型，核心考查角平分线辅助线的构造及全等三角形的应用，掌握角平分线作双垂线的辅助线方法是解题的关键，能帮助学生巩固全等三角形判定的相关知识。
【难度系数】
0.7
12. 观察与类比：
(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°.点D在△ABC外,连接AD,作DE⊥AB于点E,交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF.求证:DF=BC+CF；
(2)如图2,AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°,延长BC交DE于点F,写出DF,BC,CF之间的数量关系,并证明你的结论.
(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°.点D在△ABC外,连接AD,作DE⊥AB于点E,交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF.求证:DF=BC+CF；
(2)如图2,AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°,延长BC交DE于点F,写出DF,BC,CF之间的数量关系,并证明你的结论.
答案
12. 证明:(1)$\because DE⊥AB,∠ACB=90^{\circ }$,
$\therefore ∠AED=∠AEF=∠ACB=90^{\circ }.$
在$\mathrm{Rt}△ACF$和$\mathrm{Rt}△AEF$中,$\begin{cases} AC=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACF≌\mathrm{Rt}△AEF(\mathrm{HL}).$
$\therefore CF=EF.$
在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\begin{cases} AD=AB,\\ AE=AC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ABC(\mathrm{HL}).$
$\therefore DE=BC.$
$\because DF=DE+EF,\therefore DF=BC+CF.$
(2)$BC=CF+DF$,证明如下:
如图2,连接$AF$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中,$\begin{cases} AB=AD,\\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL}).$
$\therefore BC=DE.$
$\because ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠ACF=90^{\circ }=∠AED.$
在$\mathrm{Rt}△ACF$和$\mathrm{Rt}△AEF$中,$\begin{cases} AC=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACF≌△AEF(\mathrm{HL}).\therefore CF=EF.$
$\because DE=EF+DF,\therefore BC=CF+DF.$
解析
【分析】
(1) 本题属于线段和差类证明题，核心思路是通过全等三角形将分散的线段转化为共线线段的和。首先观察图形，已知AC=AE，AF是公共边，且△ACF和△AEF均为直角三角形，可先利用HL证明这两个三角形全等，得到CF=EF；再结合AD=AB、AE=AC的条件，用HL证明Rt△ADE≌Rt△ABC，得到DE=BC，最后根据DF=DE+EF，代入等量即可推导出结论。
(2) 类比第一问的解题思路，先作辅助线连接AF，先通过HL证明Rt△ABC≌Rt△ADE，得到BC=DE；再证明Rt△ACF≌Rt△AEF，得到CF=EF，结合DE=EF+DF，替换等量即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠AED=∠AEF=∠ACB=90°。
在$\mathrm{Rt}△ACF$和$\mathrm{Rt}△AEF$中，
$\begin{cases} AC=AE \\ AF=AF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ACF≌\mathrm{Rt}△AEF(\mathrm{HL})$，
∴$CF=EF$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△ABC$中，
$\begin{cases} AD=AB \\ AE=AC \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ABC(\mathrm{HL})$，
∴$DE=BC$。
∵$DF=DE+EF$，
∴$DF=BC+CF$。
(2) $BC=CF+DF$，证明如下：
连接$AF$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中，
$\begin{cases} AB=AD \\ AC=AE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL})$，
∴$BC=DE$。
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠ACF=90°=∠AED$。
在$\mathrm{Rt}△ACF$和$\mathrm{Rt}△AEF$中，
$\begin{cases} AC=AE \\ AF=AF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ACF≌\mathrm{Rt}△AEF(\mathrm{HL})$，
∴$CF=EF$。
∵$DE=EF+DF$，
∴$BC=CF+DF$。
【答案】
12. 证明:(1)$\because DE⊥AB,∠ACB=90^{\circ }$,
$\therefore ∠AED=∠AEF=∠ACB=90^{\circ }.$
在$\mathrm{Rt}△ACF$和$\mathrm{Rt}△AEF$中,$\begin{cases} AC=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACF≌\mathrm{Rt}△AEF(\mathrm{HL}).$
$\therefore CF=EF.$
在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\begin{cases} AD=AB,\\ AE=AC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ABC(\mathrm{HL}).$
$\therefore DE=BC.$
$\because DF=DE+EF,\therefore DF=BC+CF.$
(2)$BC=CF+DF$,证明如下:
如图2,连接$AF$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中,$\begin{cases} AB=AD,\\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL}).$
$\therefore BC=DE.$
$\because ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠ACF=90^{\circ }=∠AED.$
在$\mathrm{Rt}△ACF$和$\mathrm{Rt}△AEF$中,$\begin{cases} AC=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACF≌△AEF(\mathrm{HL}).\therefore CF=EF.$
$\because DE=EF+DF,\therefore BC=CF+DF.$
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质、线段和差证明
【点评】
本题是直角三角形全等判定的典型习题，通过两次全等实现线段的等量转化，将待证的线段和差关系转化为共线线段的和差关系，解题的关键是找准全等三角形，合理运用HL判定定理，同时也考查了类比思想在几何探究类问题中的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于线段和差类证明题，核心思路是通过全等三角形将分散的线段转化为共线线段的和。首先观察图形，已知AC=AE，AF是公共边，且△ACF和△AEF均为直角三角形，可先利用HL证明这两个三角形全等，得到CF=EF；再结合AD=AB、AE=AC的条件，用HL证明Rt△ADE≌Rt△ABC，得到DE=BC，最后根据DF=DE+EF，代入等量即可推导出结论。
(2) 类比第一问的解题思路，先作辅助线连接AF，先通过HL证明Rt△ABC≌Rt△ADE，得到BC=DE；再证明Rt△ACF≌Rt△AEF，得到CF=EF，结合DE=EF+DF，替换等量即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠AED=∠AEF=∠ACB=90°。
在$\mathrm{Rt}△ACF$和$\mathrm{Rt}△AEF$中，
$\begin{cases} AC=AE \\ AF=AF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ACF≌\mathrm{Rt}△AEF(\mathrm{HL})$，
∴$CF=EF$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△ABC$中，
$\begin{cases} AD=AB \\ AE=AC \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ABC(\mathrm{HL})$，
∴$DE=BC$。
∵$DF=DE+EF$，
∴$DF=BC+CF$。
(2) $BC=CF+DF$，证明如下：
连接$AF$，
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中，
$\begin{cases} AB=AD \\ AC=AE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL})$，
∴$BC=DE$。
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠ACF=90°=∠AED$。
在$\mathrm{Rt}△ACF$和$\mathrm{Rt}△AEF$中，
$\begin{cases} AC=AE \\ AF=AF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ACF≌\mathrm{Rt}△AEF(\mathrm{HL})$，
∴$CF=EF$。
∵$DE=EF+DF$，
∴$BC=CF+DF$。
【答案】
12. 证明:(1)$\because DE⊥AB,∠ACB=90^{\circ }$,
$\therefore ∠AED=∠AEF=∠ACB=90^{\circ }.$
在$\mathrm{Rt}△ACF$和$\mathrm{Rt}△AEF$中,$\begin{cases} AC=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACF≌\mathrm{Rt}△AEF(\mathrm{HL}).$
$\therefore CF=EF.$
在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△ABC$中,$\begin{cases} AD=AB,\\ AE=AC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ABC(\mathrm{HL}).$
$\therefore DE=BC.$
$\because DF=DE+EF,\therefore DF=BC+CF.$
(2)$BC=CF+DF$,证明如下:
如图2,连接$AF$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中,$\begin{cases} AB=AD,\\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL}).$
$\therefore BC=DE.$
$\because ∠ACB=90^{\circ },\therefore ∠ACF=90^{\circ }=∠AED.$
在$\mathrm{Rt}△ACF$和$\mathrm{Rt}△AEF$中,$\begin{cases} AC=AE,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACF≌△AEF(\mathrm{HL}).\therefore CF=EF.$
$\because DE=EF+DF,\therefore BC=CF+DF.$
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质、线段和差证明
【点评】
本题是直角三角形全等判定的典型习题，通过两次全等实现线段的等量转化，将待证的线段和差关系转化为共线线段的和差关系，解题的关键是找准全等三角形，合理运用HL判定定理，同时也考查了类比思想在几何探究类问题中的应用。
【难度系数】
0.7
