3. (2025·南通)在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\frac{1}{2}$，$AC=2\sqrt{5}$，则$BC$的长为（）

A.1
B.2
C.$\sqrt{5}$
D.5

C

【分析】
本题是直角三角形中利用锐角三角函数求边长的基础题，解题思路如下：首先明确在直角三角形中，锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，先确定∠A的对边和邻边：∠C为直角，所以∠A的对边是BC，邻边是AC；再将已知的tanA的值和AC的长度代入正切公式，列等式求解即可得到BC的长度。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，根据正切的定义可得：
$\tan A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}} = \frac{BC}{AC}$
已知$\tan A=\frac{1}{2}$，$AC=2\sqrt{5}$，代入上式得：
$\frac{1}{2} = \frac{BC}{2\sqrt{5}}$
解得：$BC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直角三角形中正切函数的边对应关系，计算量小，只要准确记忆锐角三角函数的定义，理清对应边，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

4. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinB = $\frac{1}{3}$. 若斜边上的高 CD = 2，则 AC = .

$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$

【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 首先观察到斜边上的高CD将Rt△ABC分为两个小直角三角形，∠B是Rt△ABC和Rt△BCD的公共角，可先利用∠B的正弦值在Rt△BCD中求出BC的长度；2. 再回到Rt△ABC中，结合sinB的定义得到AC与AB的数量关系，最后利用勾股定理列方程求解AC的长度。
【解析】
∵ CD是斜边AB上的高，
∴ ∠CDB=90°
在Rt△BCD中，$\sin B = \frac{CD}{BC}$
已知$\sin B=\frac{1}{3}$，$CD=2$，代入得：
$\frac{1}{3}=\frac{2}{BC}$，解得$BC=6$
在Rt△ABC中，∠C=90°，$\sin B = \frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}$
设$AC=x$，则$AB=3x$
由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入数值：$x^2 + 6^2 = (3x)^2$
化简得：$x^2 + 36 = 9x^2$
移项合并：$8x^2=36$，即$x^2=\frac{9}{2}$
∵ 边长为正数，
∴ $x=\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题属于解直角三角形的基础题型，解题的核心是抓住公共角∠B的三角函数值在不同直角三角形中的对应关系，先求出已知边BC的长度，再结合勾股定理计算未知边，计算时注意二次根式的化简。
【难度系数】
0.7

5. (2025·乐山)如图7,在△ABC中,∠ABC=45°,∠ACB=60°,AC=2.
(1)求AB的长；
(2)求点C到线段AB的距离.

解：
(1) 过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ADC中，∠ACB=60°，AC=2，
∴ $AD = AC·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
在Rt△ABD中，∠ABC=45°，
由$\sin∠ ABC = \frac{AD}{AB}$，得：
$AB = \frac{AD}{\sin45°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6}$。
(2) 设点C到线段AB的距离为h。
在Rt△ADC中，$DC = AC·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$。
在Rt△ABD中，∠ABC=45°，AD⊥BD，
∴ $BD = AD = \sqrt{3}$，
∴ $BC = BD + DC = \sqrt{3} + 1$。
由三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}· BC· AD = \frac{1}{2}· AB· h$，
代入数值：
$\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3} = \frac{1}{2}×\sqrt{6}· h$，
化简得：$3+\sqrt{3} = \sqrt{6}h$，
解得：$h = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。
答：(1) AB的长为$\sqrt{6}$；(2) 点C到线段AB的距离为$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。

【分析】
本题是解斜三角形的问题，需通过作辅助线构造直角三角形求解：
(1) 要求AB的长，已知△ABC的两个内角和AC边长，可过点A作AD⊥BC，将原三角形拆分为含60°、45°的两个特殊直角三角形：先在Rt△ADC中利用60°的正弦函数求出公共高AD的长度，再在Rt△ABD中利用45°的正弦函数即可求出AB的长度。
(2) 求点C到AB的距离即AB边上的高，可采用等面积法：先分别在两个直角三角形中求出BD、DC的长度得到BC的总长，再利用△ABC的面积有两种表示形式，联立等式即可解出待求的高。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ADC中，∠ACB=60°，AC=2，
∴ $AD = AC·\sin60° = 2×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
在Rt△ABD中，∠ABC=45°，
由$\sin∠ ABC = \frac{AD}{AB}$，得：
$AB = \frac{AD}{\sin45°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6}$。
(2) 设点C到线段AB的距离为h。
在Rt△ADC中，$DC = AC·\cos60° = 2×\frac{1}{2} = 1$。
在Rt△ABD中，∠ABC=45°，AD⊥BD，
∴ $BD = AD = \sqrt{3}$，
∴ $BC = BD + DC = \sqrt{3} + 1$。
由三角形面积公式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}· BC· AD = \frac{1}{2}· AB· h$，
代入数值：
$\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3} = \frac{1}{2}×\sqrt{6}· h$，
化简得：$3+\sqrt{3} = \sqrt{6}h$，
解得：$h = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $AB=\sqrt{6}$；(2) 点C到线段AB的距离为$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形面积公式
【点评】
本题是解三角形的常规题型，解题关键是合理作高构造特殊直角三角形，第二问运用等面积法求高可简化计算，考查了对三角函数和面积公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

6. 如图8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,sin∠ABC=$\frac{1}{3}$,D是边AB上一点,且CD=CA,BE⊥CD,垂足为E.
(1)求AD的长;
(2)求∠EBC的正切值.

解：
(1) 过点C作CH⊥AB于点H。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵ $\sin∠ ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{3}$，$AC=3$，
∴ $AB = 9$。
∵ $CD=CA$，$CH⊥ AD$，
∴ $AH=DH$（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ACH中，$∠ AHC=90°$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$，
∴ $AH = AC·\cos A = 3×\frac{1}{3} = 1$，
∴ $AD = 2AH = 2$。
(2) 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{9^2 - 3^2} = 6\sqrt{2}$。
在Rt△ACH中，$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$。
∵ $AB=9$，$AD=2$，
∴ $BD = AB - AD = 7$。
∵ $CD=CA$，
∴ $∠ CDA = ∠ A$，
∴ $∠ BDE = ∠ CDA = ∠ A$。
又∵ $BE⊥ CD$，
∴ $∠ E = ∠ CHA = 90°$，
∴ $△ BDE ∽ △ CAH$，
∴ $\frac{BD}{AC} = \frac{BE}{CH} = \frac{DE}{AH}$，即 $\frac{7}{3} = \frac{BE}{2\sqrt{2}} = \frac{DE}{1}$，
解得：$BE = \frac{14\sqrt{2}}{3}$，$DE = \frac{7}{3}$。
∴ $CE = CD + DE = 3 + \frac{7}{3} = \frac{16}{3}$。
在Rt△BCE中，
$\tan∠ EBC = \frac{CE}{BE} = \frac{\frac{16}{3}}{\frac{14\sqrt{2}}{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{7}$。
综上，(1) $AD$的长为$\boldsymbol{2}$；(2) $∠ EBC$的正切值为$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{2}}{7}}$。

【分析】
(1) 求AD的长时，已知CD=CA，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过C作CH⊥AB于H，得AD=2AH，因此只需先求AH的长度即可。先在Rt△ABC中根据sin∠ABC的值求出AB的长，再利用∠A的余弦值在Rt△ACH中求出AH，即可得到AD的长度。
(2) 求∠EBC的正切值，需在Rt△BCE中计算两条直角边CE、BE的比值。先通过勾股定理求出BC、CH的长度，再通过角的等量关系证明△BDE∽△CAH，利用相似三角形对应边成比例求出BE、DE的长度，进而求出CE的长度，最后代入正切定义计算即可。
【解析】
(1) 过点C作CH⊥AB于点H。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵ $\sin∠ ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{3}$，$AC=3$，
∴ $AB = \frac{AC}{\sin∠ ABC} = \frac{3}{\frac{1}{3}} = 9$。
∵ $CD=CA$，$CH⊥ AD$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$AH=DH$。
在Rt△ACH中，$∠ AHC=90°$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$，
∴ $AH = AC·\cos A = 3×\frac{1}{3} = 1$，
∴ $AD = 2AH = 2×1 = 2$。
(2) 在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{9^2 - 3^2} = 6\sqrt{2}$。
在Rt△ACH中，由勾股定理得：
$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$。
∵ $AB=9$，$AD=2$，
∴ $BD = AB - AD = 9 - 2 = 7$。
∵ $CD=CA$，
∴ $∠ CDA = ∠ A$，
又
∵ $∠ BDE = ∠ CDA$（对顶角相等），
∴ $∠ BDE = ∠ A$。
∵ $BE⊥ CD$，
∴ $∠ E = ∠ CHA = 90°$，
∴ $△ BDE ∽ △ CAH$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{BD}{AC} = \frac{BE}{CH} = \frac{DE}{AH}$，即 $\frac{7}{3} = \frac{BE}{2\sqrt{2}} = \frac{DE}{1}$，
解得：$BE = \frac{14\sqrt{2}}{3}$，$DE = \frac{7}{3}$。
∵ $CD=CA=3$，
∴ $CE = CD + DE = 3 + \frac{7}{3} = \frac{16}{3}$。
在Rt△BCE中，根据正切的定义：
$\tan∠ EBC = \frac{CE}{BE} = \frac{\frac{16}{3}}{\frac{14\sqrt{2}}{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{7}$。
【答案】
(1) $AD$的长为$\boldsymbol{2}$；(2) $∠ EBC$的正切值为$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{2}}{7}}$
【知识点】
解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，将等腰三角形、相似三角形与解直角三角形的知识结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，利用三线合一和相似三角形完成未知线段的转化，能够较好地考查学生的几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6