8. 计算下列各式的值：
(1) $\sin45°\cos60° - \cos45°$；
(2) $\cos^245° + \tan60°\cos30°$。

解：
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}\sin45°\cos60° - \cos45°&=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{2\sqrt{2}}{4}\\&=-\frac{\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\begin{aligned}\cos^245° + \tan60°\cos30°&=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\\&=2\end{aligned}$

【分析】
本题考查特殊角三角函数值的计算，解题思路如下：首先准确识记30°、45°、60°对应的正弦、余弦、正切函数值，再将对应数值代入待求式，按照实数混合运算的顺序（先乘方、再乘除、最后加减）逐步计算即可，计算时注意二次根式的化简、通分等规则。
【解析】
(1) 代入特殊角的三角函数值：$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，计算如下：
$\begin{aligned}\sin45°\cos60° - \cos45°&=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{2\sqrt{2}}{4}\\&=-\frac{\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
(2) 代入特殊角的三角函数值：$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，计算如下：
$\begin{aligned}\cos^245° + \tan60°\cos30°&=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{\sqrt{2}}{4}$；(2) $2$
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数混合运算，二次根式运算
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查对特殊角三角函数值的记忆和基本运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.85

9. 如图4, 在$△ ABC$中, $CD ⊥ AB$,垂足为$D$. 若$AB = 12$, $CD = 6$, $\tan A=\dfrac{3}{2}$, 求$\sin B+\cos B$的值.

解：
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ ADC = ∠ BDC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan A = \frac{CD}{AD} = \frac{3}{2}$，
∵ $CD=6$，
∴ $\frac{6}{AD} = \frac{3}{2}$，解得 $AD=4$。
∵ $AB=12$，
∴ $BD = AB - AD = 12 - 4 = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{CD^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。
∴ $\sin B = \frac{CD}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\cos B = \frac{BD}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$，
∴ $\sin B + \cos B = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$。

【分析】
要求$\sin B+\cos B$的值，需要先得到$\mathrm{Rt}△ BCD$中各边的长度，再结合锐角三角函数的定义计算。首先根据$CD⊥ AB$得到$\mathrm{Rt}△ ACD$，利用已知的$\tan A$的值和$CD$的长度求出$AD$的长，再结合$AB$的长度算出$BD$的长，最后在$\mathrm{Rt}△ BCD$中用勾股定理求出斜边$BC$的长度，代入三角函数定义计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ BDC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan A = \frac{CD}{AD} = \frac{3}{2}$，
$\because CD=6$，
$\therefore \frac{6}{AD} = \frac{3}{2}$，解得 $AD=4$。
$\because AB=12$，
$\therefore BD = AB - AD = 12 - 4 = 8$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{CD^2 + BD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$。
$\therefore \sin B = \frac{CD}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$，
$\cos B = \frac{BD}{BC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$，
$\therefore \sin B + \cos B = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{7}{5}}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握直角三角形中各锐角三角函数对应的边角关系，结合勾股定理计算所需边长，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.75

1. 如图5，$△ ABC$的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则$\tan A$的值是（）

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{3\sqrt{34}}{34}$

C

【分析】
要求$\tan A$的值，需先回忆正切的定义：锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值，因此要先构造包含$∠ A$的直角三角形。我们可以过点C作AB所在直线的垂线，得到直角三角形后，结合网格的边长特征数出$∠ A$的对边和邻边长度，代入公式计算即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，过点C作$CD⊥ AB$，交AB的延长线于点D。
根据网格特征可得：$∠ A$的对边$CD=3$，邻边$AD=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\tan A=\frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}}=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义；直角三角形构造；网格计算
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的基础题型，解题核心是构造出包含所求锐角的直角三角形，结合网格特征得到对应边长度后代入定义计算即可，解题时需注意不要混淆对边和邻边。
【难度系数】
0.7

2.(2025·自贡)如图6,在平面直角坐标系中,将△ABO平移,得到△EFG,点E,F在坐标轴上.若∠A=90°,tanB=$\frac{1}{2}$,A(-4,3),则点G坐标为 ()

A.(11,-4)
B.(10,-3)
C.(12,-3)
D.(9,-4)

B

【分析】
解题时首先利用平移的性质：平移前后对应点的横、纵坐标变化量完全相同，且对应角、对应边相等。首先在Rt△ABO中，根据A点坐标求出AO长度，结合∠A=90°、tanB=1/2，求出B点坐标；再根据平移后E在x轴（纵坐标为0）、F在y轴（横坐标为0），确定平移的坐标变化量；最后将O点按平移规律计算，即可得到对应点G的坐标。
【解析】
1. 求B点坐标：
已知A(-4,3)，O为原点(0,0)，则$AO=\sqrt{(-4-0)^2+(3-0)^2}=5$，直线AO的斜率$k_{AO}=\frac{0-3}{0-(-4)}=-\frac{3}{4}$。
∵Rt△ABO中∠A=90°，
∴AB⊥AO，可得$k_{AB} · k_{AO}=-1$，解得$k_{AB}=\frac{4}{3}$。
由$tanB=\frac{AO}{AB}=\frac{1}{2}$，得$AB=2AO=10$。
设B点坐标为$(x,y)$，则$\frac{y-3}{x+4}=\frac{4}{3}$，且$\sqrt{(x+4)^2+(y-3)^2}=10$。
令$x+4=3t$，$y-3=4t$，代入距离公式得$5|t|=10$，即$t=\pm2$。
结合图像B在第三象限，$y＜0$，故取$t=-2$，解得$x=-10$，$y=-5$，即B(-10,-5)。
2. 确定平移规律：
△ABO平移得到△EFG，对应点为A→E、B→F、O→G。设平移规律为横坐标加$h$、纵坐标加$k$：
∵E在x轴上，纵坐标为0，
∴$3+k=0$，得$k=-3$（向下平移3个单位）；
∵F在y轴上，横坐标为0，
∴$-10+h=0$，得$h=10$（向右平移10个单位）。
3. 计算G点坐标：
G为O(0,0)平移后的对应点，故G的坐标为$(0+10,0-3)=(10,-3)$。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；解直角三角形；坐标与图形变化
【点评】
本题综合考查平移性质和解直角三角形的应用，解题关键是找准平移前后的对应点，结合坐标轴上点的坐标特征确定平移规律，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6