9. (2026连云港海州区期末)在苏科版七年级上册教材第6章平面图形的初步认识中，我们学习了平行线的判定及性质，下面是某数学兴趣小组对平行线问题的深入探究：
已知AB//CD，直线MN分别交AB，CD于点G，H.
【新知初探】(1)成员小明发现:如图1，当点I在直线AB与直线CD之间时，∠GIH=∠AGI+∠IHC.试说明此结论正确.
【深入应用】(2)小亮在小明的基础上做了进一步探索:如图2，点E在直线AB上，且位于点G的右侧，点F在直线MN上，且在直线AB上方，点I在直线AB与直线CD之间，点P在直线CD上，且位于点H的左侧，∠FEA=2∠AEI，IP//MN，若∠I−∠EFH=45°，求∠IEB的度数.
【拓展探究】(3)基于之前的探索，小组成员共同提出了一个问题:如图3，∠CHG=60°，点E在直线CD上(点E在点H的左侧)，点I在直线AB与直线CD之间，∠HGI与∠HEI的平分线交于点Q，∠EIG与∠EQG之间是否存在某种数量关系？若存在，请直接写出数量关系；若不存在，请说明理由.

9. 解:(1)如图,过点 I 作 IR//AB,点 R 在点 I 的右侧.
因为 AB//CD，
所以 AB//IR//CD，
所以∠GIR=∠AGI,∠HIR=∠IHC，
所以∠GIR+∠HIR=∠AGI+∠IHC.
因为∠GIH=∠GIR+∠HIR，
所以∠GIH=∠AGI+∠IHC.
(2)如图,过点 F 作 FS//AB,点 S 在点 F 的右侧.
设∠AEI=α,∠IPC=β，
所以∠IEB=180°−∠AEI=180°−α.
由(1)的结论,得∠I=∠AEI+∠IPC=α+β.
因为∠FEA=2∠AEI，
所以∠FEA=2α.
因为 IP//MN，
所以∠FHP=∠IPC=β.
因为 FS//AB,AB//CD，
所以 FS//AB//CD，
所以∠SFH=∠FHP=β,∠SFE=∠FEA=2α.
所以∠EFH=∠SFH−∠SFE=β−2α.
因为∠I−∠EFH=45°，
所以α+β−(β−2α)=45°，
所以α=15°，
所以∠IEB=180°−α=165°.
(3)存在.∠EIG 与∠EQG 之间的数量关系是∠EIG+2∠EQG=420°或 2∠EQG−∠EIG=300°或 2∠EQG−∠EIG=60°.
提示:因为 AB//CD,∠CHG=60°，
所以∠AGH=180°−∠CHG=120°,∠BGH=∠CHG=60°.
因为∠HGI 与∠HEI 的平分线交于点 Q，
所以设∠HGQ=∠IGQ=θ,∠HEQ=∠IEQ=γ，
所以∠HGI=2θ,∠HEI=2γ.
依题意有以下两种情况：
①当点 E 在点 I 的右侧时,此时又有两种情况：
(ⅰ)连接 GE,当点 Q 在 GE 的右侧时,如图所示，
则∠AGI=∠AGH−∠HGI=120°−2θ,∠BGQ=∠BGH+∠HGQ=60°+θ,∠CEI=180°−∠HEI=180°−2γ.
由(1)的结论,得∠EIG=∠AGI+∠CEI=120°−2θ+180°−2γ=300°−2(θ+γ),∠EQG=∠BGQ+∠HEQ=60°+θ+γ，
所以∠EIG+2∠EQG=300°−2(θ+γ)+2(60°+θ+γ)=420°.
(ⅱ)连接 GE,当点 Q 在 GE 的左侧时,如图所示，
则∠AGI=∠AGH−∠HGI=120°−2θ,∠CEI=180°−∠HEI=180°−2γ,∠CEQ=180°−∠HEQ=180°−γ,∠AGQ=∠AGH−∠HGQ=120°−θ.
由(1)的结论,得∠EIG=∠AGI+∠CEI=120°−2θ+180°−2γ=300°−2(θ+γ),∠EQG=∠AGQ+∠CEQ=120°−θ+180°−γ=300°−(θ+γ)，
所以 2∠EQG−∠EIG=2×[300°−(θ+γ)]−[300°−2(θ+γ)]=300°.
②当点 E 在点 I 的左侧时,过点 I 作 IT//AB,如图所示，
则∠AGI=∠AGH−∠HGI=120°−2θ,∠BGQ=∠BGH+∠HGQ=60°+θ.
由(1)的结论,得∠EQG=∠BGQ+∠HEQ=60°+θ+γ.
因为 IT//AB,AB//CD，
所以 AB//IT//CD，
所以∠EIT=∠HEI=2γ,∠GIT=180°−∠AGI=180°−(120°−2θ)=60°+2θ，
所以∠EIG=∠EIT+∠GIT=2(θ+γ)+60°，
所以 2∠EQG−∠EIG=2(60°+θ+γ)−[2(θ+γ)+60°]=60°.
综上,∠EIG 与∠EQG 之间的数量关系是∠EIG+2∠EQG=420°或 2∠EQG−∠EIG=300°或 2∠EQG−∠EIG=60°.

10.（2026盐城射阳期末），点O在直线AB上，过点O作射线OC，∠BOC=120°，三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方.，将三角板绕点O以20°/s的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC.

10. 3或12 设第 t s 时,直线 ON 恰好平分锐角∠AOC.
由条件可知,∠AOC=60°.
当 ON 在∠AOC 的外部时,如图,反向延长 ON.
因为∠AOC=60°,直线 ON 平分∠AOC，
所以∠BON=1/2∠AOC=30°，
此时三角板旋转的角度为 60°，
所以 t=60°÷20°=3.
当 ON 在∠AOC 的内部时,如图.
因为∠AOC=60°,ON 平分∠AOC,所以∠NOC=30°,
此时三角板旋转的角度为 90°+120°+30°=240°，
所以 t=240°÷20°=12.
综上,第 3 s 或第 12 s 时,直线 ON 恰好平分锐角∠AOC.