11.（2026南京鼓楼区期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中$∠ D=30°$，$∠ OAB=45°$.若固定三角板$AOB$，旋转三角板$ACD$的位置（其中点$A$的位置始终不变），当$∠ BAD=$时，$CD// OB$.

11. 15°或 165° 如图 1,当 CD//OB 时,∠AED=∠O=90°，
所以∠EAD=90°−30°=60°，
所以∠BAD=60°−45°=15°.
如图 2,当 CD//OB 时,过点 A 作 AM//OB,则 AM//CD，
所以∠OAM=∠O=90°,∠DAM=∠D=30°，
所以∠BAD=90°+45°+30°=165°.
综上,当∠BAD=15°或∠BAD=165°时,CD//OB.

12. (2026无锡期末)动手实践:将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形,可以得到许多有趣的结论.
小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究:
三角板ABC与三角板DEF按如图所示的方式摆放,其中$∠ ACB=∠ EDF=90°$,$∠ BAC=30°$,$∠ DEF=45°$,$GH// MN$,点A,B在直线GH上,点E,F在直线MN上.
【操作一】小宁固定三角板ABC不动,小周将三角板DEF绕点E以每秒$3°$的速度逆时针旋转,设旋转时间为$t$ s,且$0≤ t≤60$.
(1)当DF与AB平行时,$t$的值为;
(2)当DF与AC平行时,求$t$的值;
【操作二】(3)小宁和小周同时旋转两块三角板,小周将三角板DEF绕点E以每秒$3°$的速度逆时针旋转,小宁将三角板ABC绕点A以每秒$2°$的速度顺时针旋转,设旋转时间为$m$ s,且$0≤ m≤60$,当DF与BC平行时,$m$的值为.

12. 解:(1)因为 GH//MN,DF//AB，
所以 DF//MN.
因为∠EDF=90°,∠DEF=45°，
所以∠DFE=45°.
由题意可知,三角板 DEF 绕点 E 逆时针旋转的度数为 3t°,即∠FEN=3t°.
因为 DF//MN，
所以∠DFE=∠FEN，
所以 3t°=45°，
解得 t=15.
故答案为 15.
(2)如图,延长线段 FD,交直线 GH 于点 P,过点 F 作直线 FQ,使 FQ//MN,所以 GH//FQ.
因为 AC//DF，
所以∠BAC=∠BPF=30°.
因为 GH//FQ，
所以∠BPF=∠PFQ=30°.
因为∠DFE=45°，
所以∠QFE=∠DFE−∠PFQ=45°−15°=15°.
因为 FQ//MN，
所以∠FEN=∠QFE=15°.
又因为三角板 DEF 绕点 E 逆时针旋转的度数为 3t°,即∠FEN=3t°，
所以 3t°=15°，
解得 t=5.
(3)①如图,当 DF//BC 时,过点 F 作直线 FO//MN,交 AC 于点 O,延长 CB,交 FO 于点 K,则 FK//GH.
因为 OK//MN，
所以∠EFK+∠FEN=180°.
由题意,得∠FEN=3m°，
所以∠EFK=180°−3m°.
因为∠DFE=45°，
所以∠DFK=∠DFE+∠EFK=45°+(180°−3m°)=225°−3m°.
因为 DF//BC，
所以∠DFK+∠OKC=180°，
所以∠OKC=180°−(225°−3m°)=3m°−45°.
因为在△COK 中,∠ACB=90°，
所以∠COK=90°−∠OKC=90°−(3m°−45°)=135°−3m°.
因为 GH//FK，
所以∠HAC=∠COK.
由题意,得∠HAB=2m°，
所以∠HAC=∠BAC+∠HAB=30°+2m°，
所以 30°+2m°=135°−3m°,
解得 m=21.
②如图,当 DF//BC 时,过点 F 作直线 FO//MN,交 AC 的延长线于点 O,交直线 CB 于点 K,则 FK//GH.
同①,得∠DFK=225°−3m°.
因为 DF//BC，
所以∠FKC=∠DFK=225°−3m°.
因为在△COK 中,∠OCK=90°，
所以∠COK = 90°−∠FKC = 90°−(225°−3m°)=3m°−135°.
因为 GH//FK，
所以∠HAC+∠COK=180°.
因为∠HAC=30°+2m°，
所以 30°+2m°+3m°−135°=180°,解得 m=57.
综上,m 的值为 21 或 57.
故答案为 21 或 57.