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19. 某物流公司需运送一批高精度装备配件. 运输时，配件需用专用包装箱封装，已知每批运输使用的包装箱数量 $ y $（单位：个，$ y＞0 $）与每个包装箱的实际装载质量 $ x $（单位：kg）成反比例关系. 当使用40个包装箱时，每个包装箱的实际装载质量为30 kg，且每个包装箱的最大安全装载质量为40 kg.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(2) 该物流公司每次运输这批配件的总运输费用由两部分组成：一是固定运输费800元，二是按包装箱数量计算的耗材费，每个包装箱的耗材费为15元. 若某次运输的总费用不超过1 550元，求每个包装箱的最少装载质量.
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(2) 该物流公司每次运输这批配件的总运输费用由两部分组成：一是固定运输费800元，二是按包装箱数量计算的耗材费，每个包装箱的耗材费为15元. 若某次运输的总费用不超过1 550元，求每个包装箱的最少装载质量.
答案
(1) 由题意知，y与x成反比例关系，$\therefore$设$y=\frac{k}{x}(k≠0)$.将$x=30,y=40$代入得，$40=\frac{k}{30}$，解得$k=1200$.$\because$每个包装箱的最大安全装载质量为40 kg，且$x＞0$，$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}$，自变量$x$的取值范围为$0＜x≤40$
(2) 根据题意，总运输费用满足不等式$800+15y≤1550$，解得$y≤50$. 对于函数$y=\frac{1200}{x}$，当$x＞0$时，y随着x的增大而减小. 当$y=50$时，$\frac{1200}{x}=50$，则$x=24$.$\therefore y≤50$时，$x≥24$.$\therefore$每个包装箱的最少装载质量为24 kg
(2) 根据题意，总运输费用满足不等式$800+15y≤1550$，解得$y≤50$. 对于函数$y=\frac{1200}{x}$，当$x＞0$时，y随着x的增大而减小. 当$y=50$时，$\frac{1200}{x}=50$，则$x=24$.$\therefore y≤50$时，$x≥24$.$\therefore$每个包装箱的最少装载质量为24 kg
解析
【分析】
(1) 题目明确y与x成反比例关系，可先用待定系数法求反比例函数解析式：先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x=30、y=40$代入求出k的值；再结合实际意义，装载质量x必然大于0，且最大安全装载质量为40kg，即可确定x的取值范围。
(2) 先根据总费用的构成列不等式：固定运输费+总耗材费≤1550，求解得到包装箱数量y的最大值；再结合反比例函数$y=\frac{1200}{x}$的增减性（$x＞0$时，y随x增大而减小），可知当y取最大值时x取最小值，代入y的最大值即可求出最小装载质量，最后验证结果是否在x的取值范围内即可。
【解析】
(1) 解：
∵y与x成反比例关系，
∴设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=30$，$y=40$代入解析式得：$40=\frac{k}{30}$，解得$k=1200$。
又
∵每个包装箱的最大安全装载质量为40kg，且装载质量$x＞0$，
∴y关于x的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}$，自变量x的取值范围是$0＜x≤40$。
(2) 解：根据题意，总运输费用不超过1550元，可列不等式：
$800+15y ≤1550$
解不等式：$15y ≤750$，解得$y ≤50$。
对于反比例函数$y=\frac{1200}{x}$，当$x＞0$时，y随x的增大而减小，因此要使x最小，需y取最大值50。
将$y=50$代入解析式得：$\frac{1200}{x}=50$，解得$x=24$，24在$0＜x≤40$的范围内，符合要求。
【答案】
(1) $y=\frac{1200}{x}(0＜x≤40)$
(2) 24 kg
【知识点】
反比例函数的应用，一元一次不等式的应用，反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际运输场景出题，既考查了待定系数法求反比例函数解析式的基本方法，又需要结合不等式和反比例函数的增减性求解实际最值问题，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确y与x成反比例关系，可先用待定系数法求反比例函数解析式：先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x=30、y=40$代入求出k的值；再结合实际意义，装载质量x必然大于0，且最大安全装载质量为40kg，即可确定x的取值范围。
(2) 先根据总费用的构成列不等式：固定运输费+总耗材费≤1550，求解得到包装箱数量y的最大值；再结合反比例函数$y=\frac{1200}{x}$的增减性（$x＞0$时，y随x增大而减小），可知当y取最大值时x取最小值，代入y的最大值即可求出最小装载质量，最后验证结果是否在x的取值范围内即可。
【解析】
(1) 解：
∵y与x成反比例关系，
∴设函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=30$，$y=40$代入解析式得：$40=\frac{k}{30}$，解得$k=1200$。
又
∵每个包装箱的最大安全装载质量为40kg，且装载质量$x＞0$，
∴y关于x的函数解析式为$y=\frac{1200}{x}$，自变量x的取值范围是$0＜x≤40$。
(2) 解：根据题意，总运输费用不超过1550元，可列不等式：
$800+15y ≤1550$
解不等式：$15y ≤750$，解得$y ≤50$。
对于反比例函数$y=\frac{1200}{x}$，当$x＞0$时，y随x的增大而减小，因此要使x最小，需y取最大值50。
将$y=50$代入解析式得：$\frac{1200}{x}=50$，解得$x=24$，24在$0＜x≤40$的范围内，符合要求。
【答案】
(1) $y=\frac{1200}{x}(0＜x≤40)$
(2) 24 kg
【知识点】
反比例函数的应用，一元一次不等式的应用，反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际运输场景出题，既考查了待定系数法求反比例函数解析式的基本方法，又需要结合不等式和反比例函数的增减性求解实际最值问题，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.7
20. 如图7，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠D=30°.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若OD=4，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）若OD=4，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）
答案
(1) 连接OC(图略). $\because AC=CD,∠ D=30°,\therefore ∠ A=∠ D=30°,∠ ACD=120°$. 又$\because OA=OC,\therefore ∠ OCA=∠ A=30°$.$\therefore ∠ OCD=∠ ACD-∠ OCA=120°-30°=90°$.$\therefore OC⊥ CD$. 又OC是$\odot O$的半径，$\therefore CD$是$\odot O$的切线
(2) $\because$在$\mathrm{Rt}△ ODC$中，$∠ D=30°,\therefore OC=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}×4=2$，$∠ COD=60°$. $\therefore CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ODC}-S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{1}{2}OC· CD-\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$
(2) $\because$在$\mathrm{Rt}△ ODC$中，$∠ D=30°,\therefore OC=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}×4=2$，$∠ COD=60°$. $\therefore CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$.$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ODC}-S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{1}{2}OC· CD-\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$
解析
【分析】
（1）要证明CD是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明CD垂直于过切点的半径，因此优先连接辅助线OC。已知AC=CD、∠D=30°，可利用等腰三角形等边对等角的性质先求出∠A和∠ACD的度数，再结合OA=OC是半径的性质，得出∠OCA的度数，进而计算∠OCD的度数，判断是否为直角即可完成证明。
（2）阴影部分是不规则图形，采用割补法计算：阴影面积 = Rt△OCD的面积 - 扇形OBC的面积。先在Rt△OCD中利用30°角的性质求出OC的长度，再用勾股定理求出CD的长，同时得到圆心角∠COD的度数，分别代入三角形和扇形面积公式计算后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 连接OC。
$\because AC=CD,∠ D=30°,\therefore ∠ A=∠ D=30°,∠ ACD=180°-30°×2=120°$。
又$\because OA=OC$（均为$\odot O$的半径），$\therefore ∠ OCA=∠ A=30°$。
$\therefore ∠ OCD=∠ ACD-∠ OCA=120°-30°=90°$，即$OC⊥ CD$。
又OC是$\odot O$的半径，$\therefore CD$是$\odot O$的切线。
(2) $\because$在$\mathrm{Rt}△ ODC$中，$∠ D=30°,OD=4$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}×4=2$，$∠ COD=90°-30°=60°$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
$\therefore S_{△ ODC}=\frac{1}{2}OC· CD=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ODC}-S_{\mathrm{扇形}OBC}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$。
【答案】
(1) CD是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的常规综合题型，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法，以及用割补法求解不规则图形面积的思路，辅助线的做法是切线判定类题目的常用操作，整体考查的知识点较为基础，属于常考题型。
【难度系数】
0.65
（1）要证明CD是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明CD垂直于过切点的半径，因此优先连接辅助线OC。已知AC=CD、∠D=30°，可利用等腰三角形等边对等角的性质先求出∠A和∠ACD的度数，再结合OA=OC是半径的性质，得出∠OCA的度数，进而计算∠OCD的度数，判断是否为直角即可完成证明。
（2）阴影部分是不规则图形，采用割补法计算：阴影面积 = Rt△OCD的面积 - 扇形OBC的面积。先在Rt△OCD中利用30°角的性质求出OC的长度，再用勾股定理求出CD的长，同时得到圆心角∠COD的度数，分别代入三角形和扇形面积公式计算后作差即可得到结果。
【解析】
(1) 连接OC。
$\because AC=CD,∠ D=30°,\therefore ∠ A=∠ D=30°,∠ ACD=180°-30°×2=120°$。
又$\because OA=OC$（均为$\odot O$的半径），$\therefore ∠ OCA=∠ A=30°$。
$\therefore ∠ OCD=∠ ACD-∠ OCA=120°-30°=90°$，即$OC⊥ CD$。
又OC是$\odot O$的半径，$\therefore CD$是$\odot O$的切线。
(2) $\because$在$\mathrm{Rt}△ ODC$中，$∠ D=30°,OD=4$，
$\therefore OC=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}×4=2$，$∠ COD=90°-30°=60°$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
$\therefore S_{△ ODC}=\frac{1}{2}OC· CD=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{60×π×2^2}{360}=\frac{2}{3}π$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ODC}-S_{\mathrm{扇形}OBC}=2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$。
【答案】
(1) CD是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $2\sqrt{3}-\frac{2}{3}π$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的常规综合题型，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法，以及用割补法求解不规则图形面积的思路，辅助线的做法是切线判定类题目的常用操作，整体考查的知识点较为基础，属于常考题型。
【难度系数】
0.65
21. 如图8，抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于A，B两点，与y轴交于点$C(0,5)$，且经过点$(1,8)$。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴。
（3）求$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}$。
（1）求该抛物线的解析式。
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴。
（3）求$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}$。
答案
21. (1) $\because$抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$C(0,5),(1,8)$，$\therefore \begin{cases}c=5,\\-1+b+c=8.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=4,\\c=5.\end{cases}$ $\therefore$该抛物线的解析式是$y=-x^2+4x+5$
(2) $y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，$\therefore$顶点坐标是$(2,9)$，对称轴是直线$x=2$
(3) $\because$抛物线$y=-x^2+4x+5$与x轴交于A，B两点，$\therefore -x^2+4x+5=0$. 解这个方程，得$x_1=-1,x_2=5$. 即抛物线$y=-x^2+4x+5$与x轴的两个公共点的坐标为$A(-1,0),B(5,0)$. $\therefore △ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×|5-(-1)|×5=15$
(2) $y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$，$\therefore$顶点坐标是$(2,9)$，对称轴是直线$x=2$
(3) $\because$抛物线$y=-x^2+4x+5$与x轴交于A，B两点，$\therefore -x^2+4x+5=0$. 解这个方程，得$x_1=-1,x_2=5$. 即抛物线$y=-x^2+4x+5$与x轴的两个公共点的坐标为$A(-1,0),B(5,0)$. $\therefore △ ABC$的面积$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×|5-(-1)|×5=15$
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，已知抛物线经过$C(0,5)$和$(1,8)$两个点，将两点坐标代入抛物线的一般式$y=-x^2+bx+c$，就能得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组求出$b$、$c$的值即可确定解析式。
（2）求顶点坐标和对称轴，可通过配方法将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，直接根据顶点式的性质得到顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。
（3）求$△ ABC$的面积，首先令解析式中$y=0$，解一元二次方程得到抛物线与$x$轴交点$A$、$B$的横坐标，即可算出$AB$的长度；点$C$在$y$轴上，$OC$的长度就是$C$点纵坐标的绝对值，以$AB$为底、$OC$为高，利用三角形面积公式即可计算面积。
【解析】
（1）把$C(0,5)$和$(1,8)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=5\\-1+b+c=8\end{cases}$
将$c=5$代入第二个方程，解得$b=4$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$
（2）对解析式配方变形：
$y=-x^2+4x+5=-(x^2-4x)+5=-(x^2-4x+4-4)+5=-(x-2)^2+9$
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(2,9)$，对称轴是直线$x=2$
（3）令$y=0$，则$-x^2+4x+5=0$，因式分解得$(x-5)(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=5$，即$A(-1,0)$，$B(5,0)$
$\therefore AB=|5-(-1)|=6$，又$C(0,5)$，则$OC=5$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×6×5=15$
【答案】
(1) $y=-x^2+4x+5$
(2) 顶点坐标为$(2,9)$，对称轴为直线$x=2$
(3) $15$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考查的都是二次函数的核心基础知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法、二次函数一般式与顶点式的转化，以及函数与坐标轴交点的求解方法，结合几何图形性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）求抛物线解析式时，已知抛物线经过$C(0,5)$和$(1,8)$两个点，将两点坐标代入抛物线的一般式$y=-x^2+bx+c$，就能得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组求出$b$、$c$的值即可确定解析式。
（2）求顶点坐标和对称轴，可通过配方法将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，直接根据顶点式的性质得到顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。
（3）求$△ ABC$的面积，首先令解析式中$y=0$，解一元二次方程得到抛物线与$x$轴交点$A$、$B$的横坐标，即可算出$AB$的长度；点$C$在$y$轴上，$OC$的长度就是$C$点纵坐标的绝对值，以$AB$为底、$OC$为高，利用三角形面积公式即可计算面积。
【解析】
（1）把$C(0,5)$和$(1,8)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=5\\-1+b+c=8\end{cases}$
将$c=5$代入第二个方程，解得$b=4$
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+4x+5$
（2）对解析式配方变形：
$y=-x^2+4x+5=-(x^2-4x)+5=-(x^2-4x+4-4)+5=-(x-2)^2+9$
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(2,9)$，对称轴是直线$x=2$
（3）令$y=0$，则$-x^2+4x+5=0$，因式分解得$(x-5)(x+1)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=5$，即$A(-1,0)$，$B(5,0)$
$\therefore AB=|5-(-1)|=6$，又$C(0,5)$，则$OC=5$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×6×5=15$
【答案】
(1) $y=-x^2+4x+5$
(2) 顶点坐标为$(2,9)$，对称轴为直线$x=2$
(3) $15$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象性质；三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考查的都是二次函数的核心基础知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法、二次函数一般式与顶点式的转化，以及函数与坐标轴交点的求解方法，结合几何图形性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
