22. 综合与实践：测量如图9所示的圆口水杯的杯口直径.
（1）小明的测量方法：将三角尺ABC按照如图10所示的方式摆放在杯口上，三角尺的直角顶点B靠在杯口上，直角的两边AB，BC与杯口的交点分别为D，E，利用刻度尺可测DE的长度.
小明认为，他所测量的DE的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是；
（2）小亮的测量方法：如图11，将一张宽度为2 cm的矩形硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为P，另一边与杯口相交于M，N两点，利用刻度尺测得MN＝8 cm.
①在图11中，请你用尺规作图作出过点P的直径PQ和该杯口的圆心O（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的基础上，根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径PQ的长度.

22. (1) $90°$的圆周角所对的弦是直径
(2) ①作MN的垂直平分线即可得到PQ，再作线段PQ的垂直平分线，其与PQ的交点即为圆心O，如所示
②如，连接ON，设OP与MN的交点为H. 由①中作图可得$OP⊥ MN$，$HP=2\ \mathrm{cm}$，$\therefore HN=\frac{1}{2}MN=4\ \mathrm{cm}$，$OH=(ON-2)\ \mathrm{cm}$. $\therefore (ON-2)^2+4^2=ON^2$，解得$ON=5$. $\therefore PQ=2ON=10\ \mathrm{cm}$，即杯口的直径PQ的长为10 cm

【分析】
(1) 观察图10可知，D、B、E三点均在杯口对应的圆周上，且∠DBE=90°，属于圆周角，结合圆周角定理的推论即可判断DE为直径。
(2) ①要确定圆心和过P的直径：圆的任意弦的垂直平分线都过圆心，因此先作弦MN的垂直平分线；又因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以过P且垂直于切线（纸板下边）的直线就是直径所在直线，该直线与MN的垂直平分线重合，即可得到直径PQ；圆心是直径的中点，再作PQ的垂直平分线，与PQ的交点就是圆心O。
②求直径时，利用垂径定理可得MN的一半长度，设半径为r，用r表示出直角三角形OHN的各边长，结合勾股定理列方程求解半径，再计算直径即可。
【解析】
(1) 已知∠DBE=90°，且D、B、E都在杯口的圆周上，根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此DE的长度就是杯口直径。
(2) ①先作线段MN的垂直平分线，该线过切点P，与圆的另一交点为Q，即得到直径PQ；再作线段PQ的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心O，作图结果如所示。
②如，连接ON，设OP与MN交于点H：
由切线性质可知OP垂直于纸板下边，又因为纸板对边平行，因此$OP⊥ MN$，且HP为纸板宽度，即$HP=2\ \mathrm{cm}$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$HN=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
设杯口半径$ON=r\ \mathrm{cm}$，则$OH=OP-HP=(r-2)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OHN$中，由勾股定理得：
$(r-2)^2+4^2=r^2$
展开化简得：$r^2-4r+4+16=r^2$，解得$r=5$。
因此杯口直径$PQ=2r=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $90°$的圆周角所对的弦是直径
(2) ①作MN的垂直平分线即可得到PQ，再作线段PQ的垂直平分线，其与PQ的交点即为圆心O，如所示
②如，连接ON，设OP与MN的交点为H. 由①中作图可得$OP⊥ MN$，$HP=2\ \mathrm{cm}$，$\therefore HN=\frac{1}{2}MN=4\ \mathrm{cm}$，$OH=(ON-2)\ \mathrm{cm}$. $\therefore (ON-2)^2+4^2=ON^2$，解得$ON=5$. $\therefore PQ=2ON=10\ \mathrm{cm}$，即杯口的直径PQ的长为10 cm
【知识点】
圆周角定理推论；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合生活中测量杯口直径的实际场景，考查了圆的性质的实际应用，涵盖尺规作图、几何计算等考点，需要学生将实际问题转化为几何模型，运用方程思想求解，能够锻炼学生的知识应用和迁移能力。
【难度系数】
0.7