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23.【实践探究】某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了如下表所示的飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)，飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据.
【探究发现】x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述. 请直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式.（不要求写出自变量的取值范围）
【问题解决】如图12，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机. 根据上面的探究发现解答下列问题：
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN，AM=125 m，MN=5 m，若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
【探究发现】x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述. 请直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式.（不要求写出自变量的取值范围）
【问题解决】如图12，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机. 根据上面的探究发现解答下列问题：
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域MN，AM=125 m，MN=5 m，若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
答案
23. 【探究发现】$x=5t$，$y=-\frac{1}{2}t^2+12t$
【问题解决】(1) 依题意，得$-\frac{1}{2}t^2+12t=0$，解得$t_1=0$(舍)，$t_2=24$. 当$t=24$时，$x=120$. $\therefore$飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m
(2) 设发射平台相对于安全线的高度为$n$ m，飞机相对于安全线的飞行高度$y'=-\frac{1}{2}t^2+12t+n$，$\because 125＜x＜130$，$\therefore 125＜5t＜130$. $\therefore 25＜t＜26$. 在$y'=-\frac{1}{2}t^2+12t+n$中，当$t=25,y'=0$时，$n=12.5$；当$t=26,y'=0$时，$n=26$. $\therefore 12.5＜n＜26$. $\therefore$发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m
【问题解决】(1) 依题意，得$-\frac{1}{2}t^2+12t=0$，解得$t_1=0$(舍)，$t_2=24$. 当$t=24$时，$x=120$. $\therefore$飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m
(2) 设发射平台相对于安全线的高度为$n$ m，飞机相对于安全线的飞行高度$y'=-\frac{1}{2}t^2+12t+n$，$\because 125＜x＜130$，$\therefore 125＜5t＜130$. $\therefore 25＜t＜26$. 在$y'=-\frac{1}{2}t^2+12t+n$中，当$t=25,y'=0$时，$n=12.5$；当$t=26,y'=0$时，$n=26$. $\therefore 12.5＜n＜26$. $\therefore$发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m
解析
【分析】
首先探究函数解析式：①观察x与t的变化规律，x随t均匀增加，符合正比例函数特征，设x=kt，代入对应数据可求出k=5，得x关于t的解析式；②y随t先升后降，符合二次函数特征，设y=at²+bt+c，结合t=0时y=0得c=0，代入两组数据可求出a、b的值，得y关于t的解析式。
问题解决（1）：发射平台高度为0时，飞机落到安全线意味着飞行高度y=0，先解方程求出落地时间t，舍去不合题意的解，再代入x的解析式即可求出水平距离。
问题解决（2）：设发射平台高度为n m，先写出调整后的飞行高度解析式y'；再根据落点在MN内的水平距离范围，将x转化为t的取值范围；最后结合落地时y'=0，分别代入t的边界值求出n的边界，即可得到高度的变化范围。
【解析】
【探究发现】
观察x与t的对应关系，可知x是t的正比例函数，设x=kt，将t=1，x=5代入得k=5，故$x=5t$；
观察y与t的对应关系，可知y是t的二次函数，设$y=at^2+bt+c$，将t=0,y=0代入得c=0，再将t=2,y=22、t=4,y=40代入得：
$\begin{cases}4a+2b=22 \\16a+4b=40 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2} \\b=12 \end{cases}$，故$y=-\frac{1}{2}t^2+12t$。
【问题解决】
(1) 发射平台高度为0，飞机落到安全线时y=0，即：
$-\frac{1}{2}t^2+12t=0$
因式分解得$t(-\frac{1}{2}t+12)=0$，解得$t_1=0$（为发射时刻，舍去），$t_2=24$。
将t=24代入x=5t，得$x=5×24=120$（m）。
(2) 设发射平台相对于安全线的高度为n m，则飞机相对于安全线的飞行高度为$y'=-\frac{1}{2}t^2+12t+n$。
∵ 飞机落到MN内（不包括端点），
∴ 水平距离满足$125＜x＜130$，又$x=5t$，故：
$125＜5t＜130$，解得$25＜t＜26$。
飞机落地时$y'=0$，即$n=\frac{1}{2}t^2-12t$：
当t=25时，$n=\frac{1}{2}×25^2 -12×25=12.5$；
当t=26时，$n=\frac{1}{2}×26^2 -12×26=26$。
故n的取值范围为$12.5＜n＜26$。
【答案】
【探究发现】$x=5t$，$y=-\frac{1}{2}t^2+12t$
【问题解决】(1) 飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m；(2) 发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m
【知识点】
一次函数应用，二次函数应用，不等式的应用
【点评】
本题以航模飞行为实际背景，将函数知识与实际问题结合，既考查了函数解析式的求解方法，又考查了运用方程、不等式解决实际问题的能力，需要学生具备将实际问题转化为数学模型的素养，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.65
首先探究函数解析式：①观察x与t的变化规律，x随t均匀增加，符合正比例函数特征，设x=kt，代入对应数据可求出k=5，得x关于t的解析式；②y随t先升后降，符合二次函数特征，设y=at²+bt+c，结合t=0时y=0得c=0，代入两组数据可求出a、b的值，得y关于t的解析式。
问题解决（1）：发射平台高度为0时，飞机落到安全线意味着飞行高度y=0，先解方程求出落地时间t，舍去不合题意的解，再代入x的解析式即可求出水平距离。
问题解决（2）：设发射平台高度为n m，先写出调整后的飞行高度解析式y'；再根据落点在MN内的水平距离范围，将x转化为t的取值范围；最后结合落地时y'=0，分别代入t的边界值求出n的边界，即可得到高度的变化范围。
【解析】
【探究发现】
观察x与t的对应关系，可知x是t的正比例函数，设x=kt，将t=1，x=5代入得k=5，故$x=5t$；
观察y与t的对应关系，可知y是t的二次函数，设$y=at^2+bt+c$，将t=0,y=0代入得c=0，再将t=2,y=22、t=4,y=40代入得：
$\begin{cases}4a+2b=22 \\16a+4b=40 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2} \\b=12 \end{cases}$，故$y=-\frac{1}{2}t^2+12t$。
【问题解决】
(1) 发射平台高度为0，飞机落到安全线时y=0，即：
$-\frac{1}{2}t^2+12t=0$
因式分解得$t(-\frac{1}{2}t+12)=0$，解得$t_1=0$（为发射时刻，舍去），$t_2=24$。
将t=24代入x=5t，得$x=5×24=120$（m）。
(2) 设发射平台相对于安全线的高度为n m，则飞机相对于安全线的飞行高度为$y'=-\frac{1}{2}t^2+12t+n$。
∵ 飞机落到MN内（不包括端点），
∴ 水平距离满足$125＜x＜130$，又$x=5t$，故：
$125＜5t＜130$，解得$25＜t＜26$。
飞机落地时$y'=0$，即$n=\frac{1}{2}t^2-12t$：
当t=25时，$n=\frac{1}{2}×25^2 -12×25=12.5$；
当t=26时，$n=\frac{1}{2}×26^2 -12×26=26$。
故n的取值范围为$12.5＜n＜26$。
【答案】
【探究发现】$x=5t$，$y=-\frac{1}{2}t^2+12t$
【问题解决】(1) 飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m；(2) 发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m
【知识点】
一次函数应用，二次函数应用，不等式的应用
【点评】
本题以航模飞行为实际背景，将函数知识与实际问题结合，既考查了函数解析式的求解方法，又考查了运用方程、不等式解决实际问题的能力，需要学生具备将实际问题转化为数学模型的素养，注重知识的灵活运用。
【难度系数】
0.65
