1. 计算$(x+1)(x+2)$的结果正确的是().

A.$x^2+2$
B.$x^2+3x+2$
C.$x^2+3x+3$
D.$x^2+2x+2$

1. B

【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则，再按照法则展开原式，之后合并同类项得到化简结果，最后将结果与各选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，对原式展开计算：
$\begin{aligned}(x+1)(x+2)&=x· x + x·2 +1· x +1×2\\&=x^2 +2x +x +2\\&=x^2+3x+2\end{aligned}$
对比各选项，可知B选项符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，核心是对多项式乘多项式运算法则的掌握，计算时注意不要漏乘多项式的项，合并同类项时要准确计算同类项的系数和，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

2. 下列算式的计算结果为$3x^2 +13x -10$的是().

A.$(3x+2)(x+5)$
B.$(3x-2)(x-5)$
C.$(3x-2)(x+5)$
D.$(x-2)(3x+5)$

2. C

【分析】
这道题考查多项式乘多项式的运算，解题思路是根据多项式乘多项式的法则，分别计算每个选项的展开结果，再和题干给出的目标多项式$3x^2 +13x -10$对比，选出匹配的选项即可。多项式乘多项式的运算规则为：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到最简结果，计算时要注意每一项的符号。
【解析】
我们逐个计算各选项的展开结果：
A. $\begin{aligned}(3x+2)(x+5)&=3x· x + 3x·5 + 2· x + 2×5\\&=3x^2+15x+2x+10\\&=3x^2+17x+10\end{aligned}$，不符合题意；
B. $\begin{aligned}(3x-2)(x-5)&=3x· x +3x·(-5) + (-2)· x + (-2)×(-5)\\&=3x^2-15x-2x+10\\&=3x^2-17x+10\end{aligned}$，不符合题意；
C. $\begin{aligned}(3x-2)(x+5)&=3x· x +3x·5 + (-2)· x + (-2)×5\\&=3x^2+15x-2x-10\\&=3x^2+13x-10\end{aligned}$，符合题意；
D. $\begin{aligned}(x-2)(3x+5)&=x·3x +x·5 + (-2)·3x + (-2)×5\\&=3x^2+5x-6x-10\\&=3x^2-x-10\end{aligned}$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查多项式乘多项式的运算法则，计算过程中要注意不要漏乘多项式的项，同时要准确判断每一项的符号，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.9

3.计算$(3x-1)(2x+1)=\_\_\_\_\_\_$.

$6x^2+x-1$

【分析】
本题属于多项式乘多项式的基础计算题，解题依据是多项式乘多项式的运算法则：两个多项式相乘，用其中一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所有的积相加，最后合并同类项得到结果。解题时可将$(3x-1)$拆分为$3x$和$-1$两项，分别与$(2x+1)$的两项相乘，再合并同类项即可，计算时要注意不要漏乘项，同时留意各项的符号。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}(3x-1)(2x+1)&=3x· 2x + 3x· 1 + (-1)· 2x + (-1)· 1 \\&=6x^2 + 3x - 2x -1 \\&=6x^2 + x -1\end{aligned}$
【答案】
$6x^2+x-1$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础典型题，主要考查多项式乘多项式的运算法则，计算时要注意不要漏乘任意一项，准确判断每一项的符号，合并同类项时系数运算要正确，能够帮助学生巩固整式乘法的基础运算能力。
【难度系数】
0.9

4. 计算:
(1)$(3x + 4y)(2x - y)$;
(2)$(2x - 7y)(2x + 4y)$;
(3)$(2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$;
(4)$(x + 1)(x + 2)(x + 3)$.

4. 解 (1)原式$=6x^2-3xy+8xy-4y^2=6x^2+5xy-4y^2.$
(2)原式$=4x^2+8xy-14xy-28y^2=4x^2-6xy-28y^2.$
(3)原式$=8x^3-4x^2y+2xy^2+4x^2y-2xy^2+y^3=8x^3+y^3.$
(4)原式$=(x+3)(x^2+3x+2)=x^3+3x^2+2x+3x^2+9x+6=x^3+6x^2+11x+6.$

【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：1. 牢记多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；2. 运算时注意不要漏乘任何一项，同时要注意每一项的符号；3. 展开后如果有同类项，要合并同类项得到最简结果；4. 多个多项式相乘的题目，可先分步计算前两个多项式的乘积，再和剩余多项式相乘，降低出错概率。
【解析】
(1) 根据多项式乘多项式法则展开：
原式$=3x· 2x + 3x· (-y) + 4y· 2x + 4y· (-y)$
$=6x^2 - 3xy + 8xy - 4y^2$
合并同类项得：$6x^2 + 5xy - 4y^2$
(2) 同理展开计算：
原式$=2x· 2x + 2x· 4y + (-7y)· 2x + (-7y)· 4y$
$=4x^2 + 8xy - 14xy - 28y^2$
合并同类项得：$4x^2 - 6xy - 28y^2$
(3) 逐项相乘展开：
原式$=2x· 4x^2 + 2x· (-2xy) + 2x· y^2 + y· 4x^2 + y· (-2xy) + y· y^2$
$=8x^3 - 4x^2y + 2xy^2 + 4x^2y - 2xy^2 + y^3$
合并同类项后抵消中间项得：$8x^3 + y^3$
(4) 先计算前两个多项式的乘积，再和第三个相乘：
原式$=(x+1)(x+2)· (x+3)$
先算$(x+1)(x+2)=x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$
再算$(x^2 + 3x + 2)(x+3) = x^2· x + x^2· 3 + 3x· x + 3x· 3 + 2· x + 2· 3$
$=x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6$
合并同类项得：$x^3 + 6x^2 + 11x + 6$
【答案】
(1)$6x^2 + 5xy - 4y^2$；(2)$4x^2 - 6xy - 28y^2$；(3)$8x^3 + y^3$；(4)$x^3 + 6x^2 + 11x + 6$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，核心考察多项式乘多项式的运算规则，运算时需注意不要漏乘项、不要弄错各项符号，多个多项式相乘时分步计算可有效提升正确率。
【难度系数】
0.8

5.三个连续奇数,若中间的数为$n$,则它们的积是().

A.$6n^3 -6n$
B.$4n^3 -n$
C.$n^3 -4n$
D.$n^3 -n$

5. C

【分析】
解题时首先要明确连续奇数的特征：相邻两个奇数相差2，已知中间的奇数为n，即可表示出另外两个奇数分别为n-2和n+2；接下来求三个数的乘积，计算时可以先利用平方差公式计算(n-2)(n+2)简化运算，再将结果与n相乘展开，最终对比选项得到答案。
【解析】
∵ 三个连续奇数中间的数为n，相邻奇数相差2
∴ 另外两个奇数分别为$n-2$和$n+2$
它们的积为：
$\begin{aligned}(n-2)· n· (n+2)&=n· [(n-2)(n+2)]\\&=n· (n^2 - 4)\\&=n^3 - 4n\end{aligned}$
符合选项C的结果。
【答案】
C
【知识点】
列代数式、平方差公式、整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题型，解题的核心是正确表示出三个连续奇数，计算时合理运用平方差公式可以有效降低运算量、减少出错概率。
【难度系数】
0.8

6.某小区有一块长$(3a+b)\mathrm{m}$、宽$(2a+b)\mathrm{m}$的长方形地，物业部门计划将这块地的中间部分修建一个小景点（图中间的正方形部分，其边长为$(a+b)\mathrm{m}$），其余部分进行绿化（图中阴影部分），则绿化面积是多少平方米？并求出当$a=3,b=2$时的绿化面积。

6. 解 由题意,得绿化面积为$(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2=(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$,
当$a=3,b=2$时,$5a^2+3ab=5×3^2+3×3×2=63(\mathrm{m}^2).$
故当$a=3,b=2$时的绿化面积是$63\ \mathrm{m}^2.$

【分析】
要求阴影部分的绿化面积，核心思路是：绿化面积=大长方形的总面积减去中间正方形小景点的面积。首先回忆面积公式：长方形面积=长×宽，正方形面积=边长²，先分别写出两个图形的面积表达式，再按照多项式乘多项式的法则展开、合并同类项得到绿化面积的最简表达式，最后将a、b的取值代入最简式计算，即可得到具体的绿化面积数值。
【解析】
解：根据题意可得，绿化面积为大长方形面积减去中间正方形的面积：
$\begin{aligned}&\phantom{=}(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2\\&=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)\\&=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2\\&=5a^2+3ab\end{aligned}$
即绿化面积为$(5a^2+3ab)\mathrm{m}^2$。
当$a=3$，$b=2$时，代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}5a^2+3ab&=5×3^2+3×3×2\\&=5×9+18\\&=45+18\\&=63\end{aligned}$
【答案】
绿化面积是$(5a^2+3ab)$平方米；当$a=3,b=2$时，绿化面积是$63\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
多项式乘多项式，整式化简，代数式求值
【点评】
本题是整式运算在几何面积问题中的常规应用，解题的关键是结合图形正确列出面积关系式，计算多项式乘法和去括号时要注意运算规则，避免出现符号错误、漏乘等问题，代入数值计算时要遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序。
【难度系数】
0.8

7. 欢欢与乐乐两人一同计算$(2x+a)(3x+b)$，欢欢抄错为$(2x-a)(3x+b)$，得到的结果为$6x^2 -13x +6$；乐乐抄错为$(2x+a)(x+b)$，得到的结果为$2x^2 -x -6$。
(1)式子中的$a,b$的值各是多少？
(2)请计算出原题的正确答案。

7. 解 (1)根据题意,得$(2x-a)(3x+b)=6x^2-13x+6$,即$6x^2+(2b-3a)x-ab=6x^2-13x+6$,
可得$2b-3a=-13$,①
$(2x+a)(x+b)=2x^2-x-6$,即$2x^2+(2b+a)x+ab=2x^2-x-6$,
可得$2b+a=-1$,②
联立①②,得$\begin{cases}2b-3a=-13,①\\2b+a=-1,②\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=3,\\b=-2.\end{cases}$
(2)由(1)知原式为$(2x+3)(3x-2).$
$(2x+3)(3x-2)=6x^2+5x-6.$

【分析】
要解决这道题可按以下思路思考：
1. 求a、b的值：欢欢和乐乐虽抄错式子，但各自的计算结果是对应抄错算式的正确运算结果，因此先分别展开两人抄错的多项式乘法算式，根据“两个多项式相等时同类项对应系数相等”，列出关于a、b的两个方程，联立得到二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值。
2. 计算原题正确结果：将求出的a、b代入原题原式，按照多项式乘多项式运算法则展开计算即可。
【解析】
(1) 根据题意，欢欢的运算对应抄错的式子成立：
$\begin{aligned}(2x-a)(3x+b)&=6x^2-13x+6\\6x^2+(2b-3a)x-ab&=6x^2-13x+6\end{aligned}$
对比同类项系数可得：$2b-3a=-13$ ①
乐乐的运算对应抄错的式子成立：
$\begin{aligned}(2x+a)(x+b)&=2x^2-x-6\\2x^2+(2b+a)x+ab&=2x^2-x-6\end{aligned}$
对比同类项系数可得：$2b+a=-1$ ②
联立①②得方程组：
$\begin{cases}2b-3a=-13 \quad ①\\2b+a=-1 \quad ②\end{cases}$
用②-①消去$2b$，得$4a=12$，解得$a=3$，将$a=3$代入②得$2b+3=-1$，解得$b=-2$。
(2) 将$a=3$、$b=-2$代入原题原式得：
$\begin{aligned}(2x+3)(3x-2)&=6x^2-4x+9x-6\\&=6x^2+5x-6\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=3$，$b=-2$；
(2) 原题正确结果为$6x^2+5x-6$。
【知识点】
多项式乘多项式；二元一次方程组的解法；多项式相等条件
【点评】
本题结合抄错算式的情景考查运算能力和方程思想，解题核心是抓住抄错后运算仍成立的特点，通过系数对应相等建立方程求解参数，计算时要注意多项式乘法的符号规则，避免漏项或符号出错。
【难度系数】
0.65