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多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的
每一项
，再把所得的积相加
。答案
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式的基本运算法则，解题时只需回忆教材中对应的运算规则即可作答。多项式乘多项式的运算本质是乘法分配律的延伸，运算时需保证不漏乘任意一项，最后合并所有乘积，对应法则的两步描述就能直接得到空缺部分的内容。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。因此两个空缺处依次填入“每一项”和“相加”。
【答案】
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【知识点】
多项式乘多项式运算法则；乘法分配律
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对整式乘法基础法则的识记能力，熟练掌握该法则是后续进行复杂整式乘法、化简运算的核心前提，运算时需注意避免漏乘、符号出错等问题。
【难度系数】
0.9
本题考查多项式乘多项式的基本运算法则，解题时只需回忆教材中对应的运算规则即可作答。多项式乘多项式的运算本质是乘法分配律的延伸，运算时需保证不漏乘任意一项，最后合并所有乘积，对应法则的两步描述就能直接得到空缺部分的内容。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。因此两个空缺处依次填入“每一项”和“相加”。
【答案】
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
【知识点】
多项式乘多项式运算法则；乘法分配律
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对整式乘法基础法则的识记能力，熟练掌握该法则是后续进行复杂整式乘法、化简运算的核心前提，运算时需注意避免漏乘、符号出错等问题。
【难度系数】
0.9
[典例]计算：
(1)$(2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)$；
(2)$(3 + 2y)(9 - 6y + 4y^2)$；
(3)$(5x - \frac{1}{2}y)(25x^2 + \frac{5}{2}xy + \frac{1}{4}y^2)$。
典例解析
(1)$(2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)$；
(2)$(3 + 2y)(9 - 6y + 4y^2)$；
(3)$(5x - \frac{1}{2}y)(25x^2 + \frac{5}{2}xy + \frac{1}{4}y^2)$。
典例解析
答案
解 (1)$(2x+1)(4x^2+2x+1)$
$=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1$
$=8x^3+8x^2+4x+1.$
(2)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$
$=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3$
$=27+8y^3.$
(3)$(5x-\frac{1}{2}y)(25x^2+\frac{5}{2}xy+\frac{1}{4}y^2)$
$=125x^3+\frac{25}{2}x^2y+\frac{5}{4}xy^2-\frac{25}{2}x^2y-\frac{5}{4}xy^2-\frac{1}{8}y^3$
$=125x^3-\frac{1}{8}y^3.$
$=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1$
$=8x^3+8x^2+4x+1.$
(2)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$
$=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3$
$=27+8y^3.$
(3)$(5x-\frac{1}{2}y)(25x^2+\frac{5}{2}xy+\frac{1}{4}y^2)$
$=125x^3+\frac{25}{2}x^2y+\frac{5}{4}xy^2-\frac{25}{2}x^2y-\frac{5}{4}xy^2-\frac{1}{8}y^3$
$=125x^3-\frac{1}{8}y^3.$
解析
【分析】
这三道题是多项式乘多项式的基础运算，解题思路遵循多项式乘多项式的基本法则：第一步用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，注意不要漏乘，带负号的项相乘时要准确判断积的符号；第二步把所有乘积相加，最后合并同类项得到最简结果。后两道题的结构有特殊性，运算时会出现同类项抵消的情况，按步骤计算即可。
【解析】
(1) 计算$(2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)$：
$\begin{aligned}原式&=2x·4x^2 + 2x·2x + 2x·1 + 1·4x^2 + 1·2x + 1·1\\&=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1\\&=8x^3+8x^2+4x+1\end{aligned}$
(2) 计算$(3 + 2y)(9 - 6y + 4y^2)$：
$\begin{aligned}原式&=3·9 + 3·(-6y) + 3·4y^2 + 2y·9 + 2y·(-6y) + 2y·4y^2\\&=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3\\&=27+8y^3\end{aligned}$
(3) 计算$(5x - \frac{1}{2}y)(25x^2 + \frac{5}{2}xy + \frac{1}{4}y^2)$：
$\begin{aligned}原式&=5x·25x^2 +5x·\frac{5}{2}xy +5x·\frac{1}{4}y^2 + (-\frac{1}{2}y)·25x^2 + (-\frac{1}{2}y)·\frac{5}{2}xy + (-\frac{1}{2}y)·\frac{1}{4}y^2\\&=125x^3+\frac{25}{2}x^2y+\frac{5}{4}xy^2-\frac{25}{2}x^2y-\frac{5}{4}xy^2-\frac{1}{8}y^3\\&=125x^3-\frac{1}{8}y^3\end{aligned}$
【答案】
(1) $8x^3+8x^2+4x+1$
(2) $27+8y^3$
(3) $125x^3-\frac{1}{8}y^3$
【知识点】
1. 多项式乘多项式
2. 合并同类项
【点评】
本题考查整式乘法的基础运算能力，运算时需注意不漏乘任意项、符号判断准确，合并同类项时要正确识别同类项。后两题的运算结果也能帮助大家感知特殊乘法公式的结构特征，为后续学习乘法公式积累经验。
【难度系数】
0.8
这三道题是多项式乘多项式的基础运算，解题思路遵循多项式乘多项式的基本法则：第一步用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，注意不要漏乘，带负号的项相乘时要准确判断积的符号；第二步把所有乘积相加，最后合并同类项得到最简结果。后两道题的结构有特殊性，运算时会出现同类项抵消的情况，按步骤计算即可。
【解析】
(1) 计算$(2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)$：
$\begin{aligned}原式&=2x·4x^2 + 2x·2x + 2x·1 + 1·4x^2 + 1·2x + 1·1\\&=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1\\&=8x^3+8x^2+4x+1\end{aligned}$
(2) 计算$(3 + 2y)(9 - 6y + 4y^2)$：
$\begin{aligned}原式&=3·9 + 3·(-6y) + 3·4y^2 + 2y·9 + 2y·(-6y) + 2y·4y^2\\&=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3\\&=27+8y^3\end{aligned}$
(3) 计算$(5x - \frac{1}{2}y)(25x^2 + \frac{5}{2}xy + \frac{1}{4}y^2)$：
$\begin{aligned}原式&=5x·25x^2 +5x·\frac{5}{2}xy +5x·\frac{1}{4}y^2 + (-\frac{1}{2}y)·25x^2 + (-\frac{1}{2}y)·\frac{5}{2}xy + (-\frac{1}{2}y)·\frac{1}{4}y^2\\&=125x^3+\frac{25}{2}x^2y+\frac{5}{4}xy^2-\frac{25}{2}x^2y-\frac{5}{4}xy^2-\frac{1}{8}y^3\\&=125x^3-\frac{1}{8}y^3\end{aligned}$
【答案】
(1) $8x^3+8x^2+4x+1$
(2) $27+8y^3$
(3) $125x^3-\frac{1}{8}y^3$
【知识点】
1. 多项式乘多项式
2. 合并同类项
【点评】
本题考查整式乘法的基础运算能力，运算时需注意不漏乘任意项、符号判断准确，合并同类项时要正确识别同类项。后两题的运算结果也能帮助大家感知特殊乘法公式的结构特征，为后续学习乘法公式积累经验。
【难度系数】
0.8
典例
解 (1)$(2x+1)(4x^2+2x+1)$
$=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1$
$=8x^3+8x^2+4x+1.$
(2)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$
$=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3$
$=27+8y^3.$
温馨提示 (1)多项式与多项式相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏;
(2)多项式与多项式相乘,结果仍是多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
[举一反三]计算:
(1)$(x-1)(x^2+x+1);$
(2)$(x+3)(x-2)-x(x-1).$
(3)$(5x-\frac{1}{2}y)(25x^2+\frac{5}{2}xy+\frac{1}{4}y^2)$
$=125x^3+\frac{25}{2}x^2y+\frac{5}{4}xy^2-\frac{25}{2}x^2y-\frac{5}{4}xy^2-\frac{1}{8}y^3$
$=125x^3-\frac{1}{8}y^3.$
解 (1)$(2x+1)(4x^2+2x+1)$
$=8x^3+4x^2+2x+4x^2+2x+1$
$=8x^3+8x^2+4x+1.$
(2)$(3+2y)(9-6y+4y^2)$
$=27-18y+12y^2+18y-12y^2+8y^3$
$=27+8y^3.$
温馨提示 (1)多项式与多项式相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏;
(2)多项式与多项式相乘,结果仍是多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积.
[举一反三]计算:
(1)$(x-1)(x^2+x+1);$
(2)$(x+3)(x-2)-x(x-1).$
(3)$(5x-\frac{1}{2}y)(25x^2+\frac{5}{2}xy+\frac{1}{4}y^2)$
$=125x^3+\frac{25}{2}x^2y+\frac{5}{4}xy^2-\frac{25}{2}x^2y-\frac{5}{4}xy^2-\frac{1}{8}y^3$
$=125x^3-\frac{1}{8}y^3.$
答案
[举一反三]解 (1)原式$=x^3+x^2+x-x^2-x-1=x^3-1.$
(2)原式$=x^2-2x+3x-6-x^2+x=2x-6.$
(2)原式$=x^2-2x+3x-6-x^2+x=2x-6.$
解析
【分析】
这两道题均属于整式运算题，解题思路如下：
(1) 计算$(x-1)(x^2+x+1)$时，依据多项式乘多项式的运算规则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再将所有乘积相加，最后合并同类项即可化简得到结果。
(2) 计算$(x+3)(x-2)-x(x-1)$时，先分别计算两个乘法部分：先用多项式乘多项式法则计算$(x+3)(x-2)$，再用单项式乘多项式法则计算$x(x-1)$，随后去括号（注意括号前是减号时，去括号后括号内各项要变号），最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 按多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}原式&=x· x^2 + x· x + x·1 - 1· x^2 -1· x -1×1\\&=x^3 + x^2 + x - x^2 - x -1\\&=x^3 -1\end{aligned}$
(2) 先分别展开各乘积项再化简：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 -2x +3x -6) - (x^2 -x)\\&=x^2 +x -6 -x^2 +x\\&=2x -6\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^3-1$；(2) $2x-6$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，整式加减运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查整式乘法的基本运算规则，解题时需注意按顺序逐项相乘避免漏项，去括号时要留意符号变化，合并同类项需准确识别同类项再计算，熟练掌握该类题型是后续复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于整式运算题，解题思路如下：
(1) 计算$(x-1)(x^2+x+1)$时，依据多项式乘多项式的运算规则，用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项，再将所有乘积相加，最后合并同类项即可化简得到结果。
(2) 计算$(x+3)(x-2)-x(x-1)$时，先分别计算两个乘法部分：先用多项式乘多项式法则计算$(x+3)(x-2)$，再用单项式乘多项式法则计算$x(x-1)$，随后去括号（注意括号前是减号时，去括号后括号内各项要变号），最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 按多项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}原式&=x· x^2 + x· x + x·1 - 1· x^2 -1· x -1×1\\&=x^3 + x^2 + x - x^2 - x -1\\&=x^3 -1\end{aligned}$
(2) 先分别展开各乘积项再化简：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 -2x +3x -6) - (x^2 -x)\\&=x^2 +x -6 -x^2 +x\\&=2x -6\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^3-1$；(2) $2x-6$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，整式加减运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查整式乘法的基本运算规则，解题时需注意按顺序逐项相乘避免漏项，去括号时要留意符号变化，合并同类项需准确识别同类项再计算，熟练掌握该类题型是后续复杂整式运算的基础。
【难度系数】
0.8
