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1.如图，将$△ ABC$绕点C顺时针旋转$90°$得到$△ EDC$.若点A，D，E在同一条直线上，$∠ B=110°$，则$∠ ACB$的度数为(
A.$25°$
B.$30°$
C.$32°$
D.$35°$
A
).A.$25°$
B.$30°$
C.$32°$
D.$35°$
答案
1. A
解析
【分析】
解决本题需结合旋转的性质逐步推导角度：首先根据旋转的特征得到全等三角形，获取对应角、对应边的等量关系以及旋转角的度数；再利用等腰直角三角形的性质求出∠CAE的度数；接着结合平角定义求出∠ADC的度数，利用三角形内角和求出∠ACD的度数；最后结合旋转角与角的和差关系求出∠ACB的度数。
【解析】
∵ △ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC
∴ △ABC≌△EDC，$CA=CE$，$∠ACE=90°$，$∠ACB=∠ECD$
∴ $∠B=∠EDC=110°$
∵ $CA=CE$，$∠ACE=90°$
∴ △ACE为等腰直角三角形，$∠CAE=\frac{180°-90°}{2}=45°$
∵ 点A、D、E在同一直线上，$∠EDC+∠ADC=180°$
∴ $∠ADC=180°-110°=70°$
在△ADC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ACD=180°-∠CAE-∠ADC=180°-45°-70°=65°$
又
∵ $∠ACE=∠ACD+∠ECD=90°$，$∠ACB=∠ECD$
∴ $∠ACB=90°-65°=25°$
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转相关的常规角度计算题，解题核心是熟练掌握旋转前后图形全等、对应边相等、旋转角相等的性质，结合三角形基本角度定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合旋转的性质逐步推导角度：首先根据旋转的特征得到全等三角形，获取对应角、对应边的等量关系以及旋转角的度数；再利用等腰直角三角形的性质求出∠CAE的度数；接着结合平角定义求出∠ADC的度数，利用三角形内角和求出∠ACD的度数；最后结合旋转角与角的和差关系求出∠ACB的度数。
【解析】
∵ △ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC
∴ △ABC≌△EDC，$CA=CE$，$∠ACE=90°$，$∠ACB=∠ECD$
∴ $∠B=∠EDC=110°$
∵ $CA=CE$，$∠ACE=90°$
∴ △ACE为等腰直角三角形，$∠CAE=\frac{180°-90°}{2}=45°$
∵ 点A、D、E在同一直线上，$∠EDC+∠ADC=180°$
∴ $∠ADC=180°-110°=70°$
在△ADC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ACD=180°-∠CAE-∠ADC=180°-45°-70°=65°$
又
∵ $∠ACE=∠ACD+∠ECD=90°$，$∠ACB=∠ECD$
∴ $∠ACB=90°-65°=25°$
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是旋转相关的常规角度计算题，解题核心是熟练掌握旋转前后图形全等、对应边相等、旋转角相等的性质，结合三角形基本角度定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置。若四边形AECF的面积为25，DE=3，则AE的长为（
A.4
B.$\sqrt{34}$
C.5
D.$2\sqrt{6}$
B
）。A.4
B.$\sqrt{34}$
C.5
D.$2\sqrt{6}$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质思考：旋转前后的图形全等，因此△ADE和△ABF的面积相等。观察图形可知，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积（正方形面积减去△ADE的面积，再加上和△ADE面积相等的△ABF的面积，结果等于原正方形面积）。据此先求出正方形的边长，再在直角△ADE中利用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴△ADE≌△ABF，
∴S△ADE = S△ABF，
∴S四边形AECF = S四边形ABCE + S△ABF = S四边形ABCE + S△ADE = S正方形ABCD = 25，
∴正方形ABCD的边长AD = √25 = 5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D = 90°，
在Rt△ADE中，AD=5，DE=3，由勾股定理得：
AE = √(AD² + DE²) = √(5² + 3²) = √(25 + 9) = √34。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题的核心是利用旋转全等的性质实现面积的转化，快速得到正方形的边长，再结合勾股定理求解线段长度，属于旋转相关计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合旋转的性质思考：旋转前后的图形全等，因此△ADE和△ABF的面积相等。观察图形可知，四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积（正方形面积减去△ADE的面积，再加上和△ADE面积相等的△ABF的面积，结果等于原正方形面积）。据此先求出正方形的边长，再在直角△ADE中利用勾股定理计算AE的长度即可。
【解析】
∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，
∴△ADE≌△ABF，
∴S△ADE = S△ABF，
∴S四边形AECF = S四边形ABCE + S△ABF = S四边形ABCE + S△ADE = S正方形ABCD = 25，
∴正方形ABCD的边长AD = √25 = 5，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D = 90°，
在Rt△ADE中，AD=5，DE=3，由勾股定理得：
AE = √(AD² + DE²) = √(5² + 3²) = √(25 + 9) = √34。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题的核心是利用旋转全等的性质实现面积的转化，快速得到正方形的边长，再结合勾股定理求解线段长度，属于旋转相关计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，将$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ AED$，并使点C的对应点D落在直线BC上，连接BE。若$EB=5$，$ED=3$，$CD=7$，则AD的长为
$\frac{7\sqrt{2}}{2}$
。答案
3. $\frac{7\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质分析已知条件：旋转前后对应图形全等，可直接得到相等的边和角。第一步先根据全等对应边相等得到BC=ED，结合CD的长度求出BD的长度；第二步利用勾股定理逆定理判断△EDB为直角三角形，得到∠EDB=90°；第三步根据AC=AD推出∠C=∠ADC，结合旋转的对应角相等得到∠ADC=∠ADE，进而推出∠ADC=45°，判定△ADC为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形边的关系计算AD的长度即可。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED
∴△ABC≌△AED
∴BC=ED=3，AC=AD，∠C=∠ADE
∵CD=7，
∴BD=CD - BC=7 - 3=4
在△EDB中，ED=3，BD=4，EB=5
∵$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，即$ED^2 + BD^2 = EB^2$
∴△EDB是直角三角形，且$∠ EDB=90°$
∵AC=AD，
∴$∠ C=∠ ADC$
又
∵$∠ C=∠ ADE$，
∴$∠ ADC=∠ ADE$
∵$∠ ADC + ∠ ADE = ∠ EDB=90°$
∴$∠ ADC=∠ ADE=45°$
∴在△ADC中，AD=AC，$∠ ADC=∠ C=45°$
∴$∠ DAC=180° - 45°×2=90°$，即△ADC是等腰直角三角形，CD为斜边
∴$AD=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{7\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查旋转、直角三角形判定、等腰直角三角形的相关知识点，解题的突破口是通过线段长度的数量关系判断出直角，再结合旋转的等角关系推导特殊三角形，要求同学们能熟练串联多个知识点进行解题。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合旋转的性质分析已知条件：旋转前后对应图形全等，可直接得到相等的边和角。第一步先根据全等对应边相等得到BC=ED，结合CD的长度求出BD的长度；第二步利用勾股定理逆定理判断△EDB为直角三角形，得到∠EDB=90°；第三步根据AC=AD推出∠C=∠ADC，结合旋转的对应角相等得到∠ADC=∠ADE，进而推出∠ADC=45°，判定△ADC为等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形边的关系计算AD的长度即可。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED
∴△ABC≌△AED
∴BC=ED=3，AC=AD，∠C=∠ADE
∵CD=7，
∴BD=CD - BC=7 - 3=4
在△EDB中，ED=3，BD=4，EB=5
∵$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，即$ED^2 + BD^2 = EB^2$
∴△EDB是直角三角形，且$∠ EDB=90°$
∵AC=AD，
∴$∠ C=∠ ADC$
又
∵$∠ C=∠ ADE$，
∴$∠ ADC=∠ ADE$
∵$∠ ADC + ∠ ADE = ∠ EDB=90°$
∴$∠ ADC=∠ ADE=45°$
∴在△ADC中，AD=AC，$∠ ADC=∠ C=45°$
∴$∠ DAC=180° - 45°×2=90°$，即△ADC是等腰直角三角形，CD为斜边
∴$AD=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{7\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查旋转、直角三角形判定、等腰直角三角形的相关知识点，解题的突破口是通过线段长度的数量关系判断出直角，再结合旋转的等角关系推导特殊三角形，要求同学们能熟练串联多个知识点进行解题。
【难度系数】
0.6
4.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'位置时，AC'的中点恰好与点D重合，AB'交CD于点E.若AB=6，则△AEC的面积为
$4\sqrt{3}$
.答案
4. $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质得到$AC'=AC$，根据D是$AC'$中点推出AD为AC的一半，结合矩形的直角可判断出$∠ ACD=30°$；再利用平行线的性质和旋转的角相等得到$∠ EAC=30°$，推出$AE=EC$；接着求出AD的长度，结合含30°角的直角三角形的性质求出EC的长度，最后利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 由旋转的性质可得：$AC'=AC$，$∠ C'AB'=∠ CAB$。
∵D是$AC'$的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AC'=\frac{1}{2}AC$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ ADC=90°$，$CD=AB=6$，$AB// CD$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=\frac{1}{2}AC$，
∴$∠ ACD=30°$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ CAB=∠ ACD=30°$，即$∠ EAC=∠ C'AB'=∠ CAB=30°$，
∴$∠ EAC=∠ ECA=30°$，得$AE=EC$。
3. 计算$AD$：在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=6$，$∠ ACD=30°$，
∴$AD=CD· \tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，$∠ DAC=90°-30°=60°$，
∴$∠ DAE=∠ DAC-∠ EAC=60°-30°=30°$。
4. 设$EC=x$，则$AE=x$，$DE=6-x$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ DAE=30°$，
∴$AE=2DE$，即$x=2(6-x)$，
解得$x=4$，即$EC=4$。
5. $△ AEC$的面积：$S=\frac{1}{2}× EC× AD=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；矩形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合计算题，解题的突破口是利用旋转的性质和直角三角形的边角关系求出30°特殊角，再通过设未知数建立方程求出所求三角形的底边长，进而计算面积，解题时要注意旋转前后对应量相等的隐含条件的运用。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合旋转的性质得到$AC'=AC$，根据D是$AC'$中点推出AD为AC的一半，结合矩形的直角可判断出$∠ ACD=30°$；再利用平行线的性质和旋转的角相等得到$∠ EAC=30°$，推出$AE=EC$；接着求出AD的长度，结合含30°角的直角三角形的性质求出EC的长度，最后利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 由旋转的性质可得：$AC'=AC$，$∠ C'AB'=∠ CAB$。
∵D是$AC'$的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AC'=\frac{1}{2}AC$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ ADC=90°$，$CD=AB=6$，$AB// CD$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$AD=\frac{1}{2}AC$，
∴$∠ ACD=30°$，
∵$AB// CD$，
∴$∠ CAB=∠ ACD=30°$，即$∠ EAC=∠ C'AB'=∠ CAB=30°$，
∴$∠ EAC=∠ ECA=30°$，得$AE=EC$。
3. 计算$AD$：在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$CD=6$，$∠ ACD=30°$，
∴$AD=CD· \tan30°=6×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$，$∠ DAC=90°-30°=60°$，
∴$∠ DAE=∠ DAC-∠ EAC=60°-30°=30°$。
4. 设$EC=x$，则$AE=x$，$DE=6-x$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ DAE=30°$，
∴$AE=2DE$，即$x=2(6-x)$，
解得$x=4$，即$EC=4$。
5. $△ AEC$的面积：$S=\frac{1}{2}× EC× AD=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质；矩形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合计算题，解题的突破口是利用旋转的性质和直角三角形的边角关系求出30°特殊角，再通过设未知数建立方程求出所求三角形的底边长，进而计算面积，解题时要注意旋转前后对应量相等的隐含条件的运用。
【难度系数】
0.6
5.如图,将边长为$\sqrt{3}$的正方形ABCD绕点A逆时针旋转$30°$后,得到正方形$AB'C'D'$,则图中阴影部分的面积为
$3-\sqrt{3}$
.答案
5. $3-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“作差法”：阴影面积 = 原正方形ABCD的面积 - 两个正方形重叠的空白四边形面积。首先根据旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，通过连接AE构造全等三角形，将不规则的空白四边形拆分为两个全等的直角三角形，利用特殊角的三角函数求出直角三角形的边长，进而算出空白部分面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：设B'C'与CD交于点E，连接AE。
∵ 正方形ABCD边长为$\sqrt{3}$，
∴ $S_{正方形ABCD}=(\sqrt{3})^2=3$，$AD=AB=\sqrt{3}$，$∠ D=∠ B=∠ BAD=90°$。
由旋转的性质可得：$AB'=AB=\sqrt{3}$，$∠ B'=∠ B=90°$，旋转角$∠ BAB'=30°$，
∴ $∠ B'AD=∠ BAD-∠ BAB'=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AB'E$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$\begin{cases}AE=AE\\AB'=AD\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AB'E ≌ \mathrm{Rt}△ ADE$（HL），
∴ $∠ DAE=∠ B'AE=\frac{1}{2}∠ B'AD=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$\tan∠ DAE=\frac{DE}{AD}$，
∴ $DE=AD · \tan30°=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3}=1$，
∴ $S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AD × DE=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × 1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ 空白四边形$AB'ED$的面积$=2S_{△ ADE}=2 × \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴ 阴影部分面积$=S_{正方形ABCD}-S_{空白四边形AB'ED}=3-\sqrt{3}$。
【答案】
$3-\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，解直角三角形
【点评】
本题是旋转背景下的面积计算类题目，解题的核心是通过作辅助线构造全等三角形，将不规则的空白区域转化为规则的直角三角形求解，用到了作差法求阴影面积的常用思路，是几何综合类的基础常考题。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，可采用“作差法”：阴影面积 = 原正方形ABCD的面积 - 两个正方形重叠的空白四边形面积。首先根据旋转的性质得到对应边相等、对应角相等，通过连接AE构造全等三角形，将不规则的空白四边形拆分为两个全等的直角三角形，利用特殊角的三角函数求出直角三角形的边长，进而算出空白部分面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：设B'C'与CD交于点E，连接AE。
∵ 正方形ABCD边长为$\sqrt{3}$，
∴ $S_{正方形ABCD}=(\sqrt{3})^2=3$，$AD=AB=\sqrt{3}$，$∠ D=∠ B=∠ BAD=90°$。
由旋转的性质可得：$AB'=AB=\sqrt{3}$，$∠ B'=∠ B=90°$，旋转角$∠ BAB'=30°$，
∴ $∠ B'AD=∠ BAD-∠ BAB'=90°-30°=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ AB'E$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中：
$\begin{cases}AE=AE\\AB'=AD\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AB'E ≌ \mathrm{Rt}△ ADE$（HL），
∴ $∠ DAE=∠ B'AE=\frac{1}{2}∠ B'AD=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$\tan∠ DAE=\frac{DE}{AD}$，
∴ $DE=AD · \tan30°=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3}=1$，
∴ $S_{△ ADE}=\frac{1}{2} × AD × DE=\frac{1}{2} × \sqrt{3} × 1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ 空白四边形$AB'ED$的面积$=2S_{△ ADE}=2 × \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴ 阴影部分面积$=S_{正方形ABCD}-S_{空白四边形AB'ED}=3-\sqrt{3}$。
【答案】
$3-\sqrt{3}$
【知识点】
旋转的性质，正方形的性质，解直角三角形
【点评】
本题是旋转背景下的面积计算类题目，解题的核心是通过作辅助线构造全等三角形，将不规则的空白区域转化为规则的直角三角形求解，用到了作差法求阴影面积的常用思路，是几何综合类的基础常考题。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC=3$，$∠ ABC=30°$，$P$为$△ ABC$内一点，连接$PA$，$PB$，$PC$，则$PA+PB+PC$长度的最小值为（
A.$3\sqrt{2}$
B.$3+\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3+\sqrt{3}$
A
）.A.$3\sqrt{2}$
B.$3+\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$3+\sqrt{3}$
答案
6. A
解析
【分析】
本题是求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值，属于费马点最值模型。解题思路为：利用旋转的性质，将三条分散的线段转化为首尾相接的折线，根据“两点之间线段最短”，可知三条线段和的最小值为旋转后两个对应点之间的线段长度。具体步骤为：先将其中一个含PA、PB的三角形绕顶点旋转60°，构造等边三角形将PB转化为等长的线段，再结合已知角度计算旋转后形成的三角形的边长即可。
【解析】
将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A'BP'，连接PP'、A'C。
由旋转的性质可得：$AB=A'B=3$，$PB=P'B$，$PA=P'A'$，$∠ ABA'=∠ PBP'=60°$。
∵$∠ PBP'=60°$，$PB=P'B$，
∴△PBP'是等边三角形，
∴$PP'=PB$。
则$PA+PB+PC = P'A' + PP' + PC$，根据两点之间线段最短，当$A'、P'、P、C$四点共线时，$PA+PB+PC$的取值最小，最小值为$A'C$的长度。
∵$∠ ABC=30°$，
∴$∠ A'BC=∠ ABC + ∠ ABA' = 30°+60°=90°$。
又
∵$A'B=3$，$BC=3$，
∴在$Rt△ A'BC$中，由勾股定理得：
$A'C=\sqrt{A'B^2 + BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
即$PA+PB+PC$的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质、等边三角形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是典型的线段和最值问题，核心解题思想是转化思想，通过旋转60°将分散的三条线段转化为共线的路径，结合几何性质即可快速求解，熟练掌握旋转构造辅助线的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
本题是求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值，属于费马点最值模型。解题思路为：利用旋转的性质，将三条分散的线段转化为首尾相接的折线，根据“两点之间线段最短”，可知三条线段和的最小值为旋转后两个对应点之间的线段长度。具体步骤为：先将其中一个含PA、PB的三角形绕顶点旋转60°，构造等边三角形将PB转化为等长的线段，再结合已知角度计算旋转后形成的三角形的边长即可。
【解析】
将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△A'BP'，连接PP'、A'C。
由旋转的性质可得：$AB=A'B=3$，$PB=P'B$，$PA=P'A'$，$∠ ABA'=∠ PBP'=60°$。
∵$∠ PBP'=60°$，$PB=P'B$，
∴△PBP'是等边三角形，
∴$PP'=PB$。
则$PA+PB+PC = P'A' + PP' + PC$，根据两点之间线段最短，当$A'、P'、P、C$四点共线时，$PA+PB+PC$的取值最小，最小值为$A'C$的长度。
∵$∠ ABC=30°$，
∴$∠ A'BC=∠ ABC + ∠ ABA' = 30°+60°=90°$。
又
∵$A'B=3$，$BC=3$，
∴在$Rt△ A'BC$中，由勾股定理得：
$A'C=\sqrt{A'B^2 + BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
即$PA+PB+PC$的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质、等边三角形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是典型的线段和最值问题，核心解题思想是转化思想，通过旋转60°将分散的三条线段转化为共线的路径，结合几何性质即可快速求解，熟练掌握旋转构造辅助线的方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
7.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,将△DCB绕点C顺时针旋转60°后,点D的对应点恰好与点A重合,得到△ACE.若AB=3,BC=4,则BD=
5
.答案
7. 5
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质分析：△DCB绕点C旋转得到△ACE，可得对应边BD=AE，BC=CE，旋转角∠BCE=60°，由此可判定△BCE是等边三角形，得到BE的长度和∠CBE的度数；结合已知∠ABC=30°，可推导出∠ABE为直角，最后在直角△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，即可得到BD的长度。
【解析】
连接BE，
∵将△DCB绕点C顺时针旋转60°后得到△ACE，
∴BC=EC，∠BCE=60°，BD=AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=4，∠CBE=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°，即△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
又
∵BD=AE，
∴BD=5。
【答案】
5
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是利用旋转性质计算的典型题型，解题的关键是通过连接辅助线BE，构造等边三角形与直角三角形，将待求线段BD转化为直角三角形的斜边AE进行求解，同时综合考查了等边三角形判定、勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转的性质分析：△DCB绕点C旋转得到△ACE，可得对应边BD=AE，BC=CE，旋转角∠BCE=60°，由此可判定△BCE是等边三角形，得到BE的长度和∠CBE的度数；结合已知∠ABC=30°，可推导出∠ABE为直角，最后在直角△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，即可得到BD的长度。
【解析】
连接BE，
∵将△DCB绕点C顺时针旋转60°后得到△ACE，
∴BC=EC，∠BCE=60°，BD=AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=4，∠CBE=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=30°+60°=90°，即△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
又
∵BD=AE，
∴BD=5。
【答案】
5
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是利用旋转性质计算的典型题型，解题的关键是通过连接辅助线BE，构造等边三角形与直角三角形，将待求线段BD转化为直角三角形的斜边AE进行求解，同时综合考查了等边三角形判定、勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 45°$，$BC=2$，$AB=2\sqrt{5}$，将$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ ADE$，点B与点D对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则AC的长为
$4\sqrt{2}$
。答案
8. $4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先结合旋转的性质分析对应边、对应角的关系：首先根据旋转前后对应边、对应角相等，可得AC=AE，∠AED=∠ACB=45°，结合C、D、E共线可推出△ACE是等腰直角三角形，∠EAC=90°，同时得到∠BCD=90°；再由旋转角相等得∠BAD=∠EAC=90°，结合AB=AD求出BD的长度；接着在Rt△BCD中用勾股定理求出CD的长度，进而得到CE的长度；最后在等腰Rt△ACE中用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
解：连接BD，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴AC=AE，AB=AD=$2\sqrt{5}$，BC=DE=2，∠ACB=∠AED=45°，∠CAE=∠BAD。
∵C、D、E三点共线，且AC=AE，
∴∠ACE=∠AED=45°，
∴∠EAC=180°-45°-45°=90°，即△ACE为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2+AD^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=20+20=40$。
又
∵∠BCD=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+CD^2$，代入数据得$40=2^2+CD^2$，
解得$CD=6$（线段长度为正，舍去负根），
∴$CE=DE+CD=2+6=8$。
在等腰Rt△ACE中，由勾股定理得$CE^2=AC^2+AE^2=2AC^2$，
代入数据得$8^2=2AC^2$，解得$AC=4\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转与几何计算结合的典型题，解题核心是利用旋转的性质挖掘相等的边和角，构造直角三角形后借助勾股定理计算线段长度，需要学生具备一定的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
解题时先结合旋转的性质分析对应边、对应角的关系：首先根据旋转前后对应边、对应角相等，可得AC=AE，∠AED=∠ACB=45°，结合C、D、E共线可推出△ACE是等腰直角三角形，∠EAC=90°，同时得到∠BCD=90°；再由旋转角相等得∠BAD=∠EAC=90°，结合AB=AD求出BD的长度；接着在Rt△BCD中用勾股定理求出CD的长度，进而得到CE的长度；最后在等腰Rt△ACE中用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
解：连接BD，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴AC=AE，AB=AD=$2\sqrt{5}$，BC=DE=2，∠ACB=∠AED=45°，∠CAE=∠BAD。
∵C、D、E三点共线，且AC=AE，
∴∠ACE=∠AED=45°，
∴∠EAC=180°-45°-45°=90°，即△ACE为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2=AB^2+AD^2=(2\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=20+20=40$。
又
∵∠BCD=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+CD^2$，代入数据得$40=2^2+CD^2$，
解得$CD=6$（线段长度为正，舍去负根），
∴$CE=DE+CD=2+6=8$。
在等腰Rt△ACE中，由勾股定理得$CE^2=AC^2+AE^2=2AC^2$，
代入数据得$8^2=2AC^2$，解得$AC=4\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去负根）。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转与几何计算结合的典型题，解题核心是利用旋转的性质挖掘相等的边和角，构造直角三角形后借助勾股定理计算线段长度，需要学生具备一定的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
