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10.(教材P96习题T4变式)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,2),C(-1,4).
(1)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°,画出旋转后的图形△A₁B₁C₁；
(2)△A₁B₁C₁的面积为
(1)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°,画出旋转后的图形△A₁B₁C₁；
(2)△A₁B₁C₁的面积为
2.5
.答案
10.(1) 略 (2) 2.5
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的图形，首先回忆点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：若原点点坐标为$(x,y)$，旋转后对应点坐标为$(-y,x)$，先分别求出A、B、C三点旋转后的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$的坐标，再顺次连接三点即可得到所求图形。
(2) 旋转属于全等变换，旋转前后图形的面积完全相等，因此求$△ A_1B_1C_1$的面积可以转化为求原$△ ABC$的面积，计算网格内三角形面积可采用割补法，将三角形放入覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去周围多余图形的面积即可得到结果。
【解析】
(1) 根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则$(x,y)\to(-y,x)$，计算各对应点坐标：
$A(-5,1)$旋转后对应$A_1(-1,-5)$，$B(-2,2)$旋转后对应$B_1(-2,-2)$，$C(-1,4)$旋转后对应$C_1(-4,-1)$，在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$，画图略。
(2) 由旋转的性质可知$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算$S_{△ ABC}$：
取覆盖$△ ABC$的矩形，横向范围为$x=-5$到$x=-1$，纵向范围为$y=1$到$y=4$，矩形面积为$4×3=12$；
减去矩形内$△ ABC$外的部分：3个直角三角形面积分别为$\frac{1}{2}×3×1=1.5$、$\frac{1}{2}×1×2=1$、$\frac{1}{2}×4×3=6$，1个小矩形面积为$1×1=1$；
因此$S_{△ ABC}=12-1.5-1-6-1=2.5$，即$S_{△ A_1B_1C_1}=2.5$。
【答案】
(1) 略 (2) $\boxed{2.5}$
【知识点】
图形旋转的性质，割补法求面积，坐标与图形变换
【点评】
本题主要考查旋转作图和旋转性质的应用，解题的关键是掌握旋转的坐标变换规则，以及利用割补法求解网格中不规则图形的面积，属于基础题型，解题时注意旋转前后图形面积不变的性质可以简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的图形，首先回忆点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律：若原点点坐标为$(x,y)$，旋转后对应点坐标为$(-y,x)$，先分别求出A、B、C三点旋转后的对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$的坐标，再顺次连接三点即可得到所求图形。
(2) 旋转属于全等变换，旋转前后图形的面积完全相等，因此求$△ A_1B_1C_1$的面积可以转化为求原$△ ABC$的面积，计算网格内三角形面积可采用割补法，将三角形放入覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去周围多余图形的面积即可得到结果。
【解析】
(1) 根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则$(x,y)\to(-y,x)$，计算各对应点坐标：
$A(-5,1)$旋转后对应$A_1(-1,-5)$，$B(-2,2)$旋转后对应$B_1(-2,-2)$，$C(-1,4)$旋转后对应$C_1(-4,-1)$，在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$，画图略。
(2) 由旋转的性质可知$S_{△ A_1B_1C_1}=S_{△ ABC}$。
用割补法计算$S_{△ ABC}$：
取覆盖$△ ABC$的矩形，横向范围为$x=-5$到$x=-1$，纵向范围为$y=1$到$y=4$，矩形面积为$4×3=12$；
减去矩形内$△ ABC$外的部分：3个直角三角形面积分别为$\frac{1}{2}×3×1=1.5$、$\frac{1}{2}×1×2=1$、$\frac{1}{2}×4×3=6$，1个小矩形面积为$1×1=1$；
因此$S_{△ ABC}=12-1.5-1-6-1=2.5$，即$S_{△ A_1B_1C_1}=2.5$。
【答案】
(1) 略 (2) $\boxed{2.5}$
【知识点】
图形旋转的性质，割补法求面积，坐标与图形变换
【点评】
本题主要考查旋转作图和旋转性质的应用，解题的关键是掌握旋转的坐标变换规则，以及利用割补法求解网格中不规则图形的面积，属于基础题型，解题时注意旋转前后图形面积不变的性质可以简化计算。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在等腰三角形ABC中,CB = CA,∠ACB=α,BD⊥AC,垂足为D,将线段CD绕点C顺时针旋转角α后得到线段CE,连接AE.
(1)求∠E的度数;
(2)若CE=2,AD=3,求BD的长.
(1)求∠E的度数;
(2)若CE=2,AD=3,求BD的长.
答案
(1) $90°$ (2) $\sqrt{21}$
解析
【分析】
(1) 要求∠E的度数，先根据旋转的性质得到CD=CE、旋转角∠DCE=∠ACB=α，推导得出∠BCD=∠ACE，再结合已知CB=CA，可证明△BCD与△ACE全等，利用全等三角形对应角相等，结合BD⊥AC得到的∠BDC=90°，即可求出∠E的度数。
(2) 先由旋转性质得CD=CE=2，结合AD的长度求出AC的长度，再利用CB=CA得到CB的长，最后在Rt△BCD中用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 线段CD绕点C顺时针旋转角α得到线段CE，
∴ $CD=CE$，$∠ DCE=α$，
又
∵ $∠ ACB=α$，
∴ $∠ ACB=∠ DCE$，
∴ $∠ ACB-∠ ACD=∠ DCE-∠ ACD$，即$∠ BCD=∠ ACE$，
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}CB=CA \\∠ BCD=∠ ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴ $△ BCD ≌ △ ACE$（SAS），
∴ $∠ E=∠ BDC$，
∵ $BD⊥ AC$，
∴ $∠ BDC=90°$，
∴ $∠ E=90°$。
(2) 解：
由旋转的性质可得$CD=CE=2$，
∵ $AD=3$，
∴ $AC=AD+CD=3+2=5$，
又
∵ $CB=CA$，
∴ $CB=5$，
在$Rt△ BDC$中，$∠ BDC=90°$，$CD=2$，$CB=5$，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{CB^2-CD^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$。
【答案】
(1) $90°$；(2) $\sqrt{21}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是利用旋转的性质找到相等的边和角，构造全等三角形，再结合勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠E的度数，先根据旋转的性质得到CD=CE、旋转角∠DCE=∠ACB=α，推导得出∠BCD=∠ACE，再结合已知CB=CA，可证明△BCD与△ACE全等，利用全等三角形对应角相等，结合BD⊥AC得到的∠BDC=90°，即可求出∠E的度数。
(2) 先由旋转性质得CD=CE=2，结合AD的长度求出AC的长度，再利用CB=CA得到CB的长，最后在Rt△BCD中用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ 线段CD绕点C顺时针旋转角α得到线段CE，
∴ $CD=CE$，$∠ DCE=α$，
又
∵ $∠ ACB=α$，
∴ $∠ ACB=∠ DCE$，
∴ $∠ ACB-∠ ACD=∠ DCE-∠ ACD$，即$∠ BCD=∠ ACE$，
在$△ BCD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}CB=CA \\∠ BCD=∠ ACE \\CD=CE\end{cases}$
∴ $△ BCD ≌ △ ACE$（SAS），
∴ $∠ E=∠ BDC$，
∵ $BD⊥ AC$，
∴ $∠ BDC=90°$，
∴ $∠ E=90°$。
(2) 解：
由旋转的性质可得$CD=CE=2$，
∵ $AD=3$，
∴ $AC=AD+CD=3+2=5$，
又
∵ $CB=CA$，
∴ $CB=5$，
在$Rt△ BDC$中，$∠ BDC=90°$，$CD=2$，$CB=5$，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{CB^2-CD^2}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$。
【答案】
(1) $90°$；(2) $\sqrt{21}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是利用旋转的性质找到相等的边和角，构造全等三角形，再结合勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
12. 如图，D是$△ ABC$内部的一点，连接$BD$，$CD$，把$BD$绕点$B$逆时针旋转$60°$得到线段$BE$，把$CD$绕点$C$顺时针旋转$60°$得到线段$CF$，连接$AE$，$ED$，$DF$，$FA$，$AB=BC=CA$。
(1)若$BD=6$，求$AF$的长；
(2)求证：四边形$AEDF$是平行四边形。
(1)若$BD=6$，求$AF$的长；
(2)求证：四边形$AEDF$是平行四边形。
答案
(1) 6 (2) 略
解析
【分析】
(1) 首先根据$AB=BC=CA$判断$△ ABC$为等边三角形，得到$BC=AC$、$∠ ACB=60°$；再结合旋转的性质得出$CD=CF$、$∠ DCF=60°$，推导得到$∠ BCD=∠ ACF$，通过SAS证明$△ BCD≌△ ACF$，即可推出$AF=BD$，代入$BD$的长度即可求解。
(2) 要证四边形$AEDF$是平行四边形，可证两组对边分别相等：先利用旋转性质得$BE=BD$、$∠ EBD=60°$，结合等边三角形的角度推出$∠ ABE=∠ CBD$，证明$△ ABE≌△ CBD$得$AE=CD$，再由旋转性质和等边三角形判定得$CD=DF$，即可得$AE=DF$；同理结合(1)的全等结论得$BD=AF$，再由$△ BDE$为等边三角形得$BD=ED$，即可得$ED=AF$，最终根据两组对边分别相等判定平行四边形。
【解析】
(1) 解：$\because AB=BC=CA$，$\therefore △ ABC$是等边三角形，
$\therefore BC=AC$，$∠ ACB=60°$。
由旋转的性质可知：$CD=CF$，$∠ DCF=60°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DCF=60°$，
$\therefore ∠ ACB-∠ ACD=∠ DCF-∠ ACD$，即$∠ BCD=∠ ACF$。
在$△ BCD$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}BC=AC\\∠ BCD=∠ ACF\\CD=CF\end{cases}$
$\therefore △ BCD≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AF=BD$，
$\because BD=6$，$\therefore AF=6$。
(2) 证明：由旋转的性质可知：$BD=BE$，$∠ EBD=60°$，
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ EBD=60°$，
$\therefore ∠ ABC-∠ ABD=∠ EBD-∠ ABD$，即$∠ ABE=∠ CBD$。
在$△ ABE$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}AB=BC\\∠ ABE=∠ CBD\\BE=BD\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CBD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=CD$。
由旋转的性质得$CD=CF$，$∠ DCF=60°$，$\therefore △ DCF$是等边三角形，
$\therefore CD=DF$，$\therefore AE=DF$。
由(1)中$△ BCD≌△ ACF$得$BD=AF$，
又$\because BD=BE$，$∠ EBD=60°$，$\therefore △ BDE$是等边三角形，
$\therefore BD=ED$，$\therefore ED=AF$。
$\because AE=DF$，$ED=AF$，
$\therefore$四边形$AEDF$是平行四边形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) 证明见解析
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，解题的关键是灵活利用旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，通过全等三角形转化线段关系，进而推导得到平行四边形的判定条件。
【难度系数】
0.65
(1) 首先根据$AB=BC=CA$判断$△ ABC$为等边三角形，得到$BC=AC$、$∠ ACB=60°$；再结合旋转的性质得出$CD=CF$、$∠ DCF=60°$，推导得到$∠ BCD=∠ ACF$，通过SAS证明$△ BCD≌△ ACF$，即可推出$AF=BD$，代入$BD$的长度即可求解。
(2) 要证四边形$AEDF$是平行四边形，可证两组对边分别相等：先利用旋转性质得$BE=BD$、$∠ EBD=60°$，结合等边三角形的角度推出$∠ ABE=∠ CBD$，证明$△ ABE≌△ CBD$得$AE=CD$，再由旋转性质和等边三角形判定得$CD=DF$，即可得$AE=DF$；同理结合(1)的全等结论得$BD=AF$，再由$△ BDE$为等边三角形得$BD=ED$，即可得$ED=AF$，最终根据两组对边分别相等判定平行四边形。
【解析】
(1) 解：$\because AB=BC=CA$，$\therefore △ ABC$是等边三角形，
$\therefore BC=AC$，$∠ ACB=60°$。
由旋转的性质可知：$CD=CF$，$∠ DCF=60°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DCF=60°$，
$\therefore ∠ ACB-∠ ACD=∠ DCF-∠ ACD$，即$∠ BCD=∠ ACF$。
在$△ BCD$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}BC=AC\\∠ BCD=∠ ACF\\CD=CF\end{cases}$
$\therefore △ BCD≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AF=BD$，
$\because BD=6$，$\therefore AF=6$。
(2) 证明：由旋转的性质可知：$BD=BE$，$∠ EBD=60°$，
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore AB=BC$，$∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ EBD=60°$，
$\therefore ∠ ABC-∠ ABD=∠ EBD-∠ ABD$，即$∠ ABE=∠ CBD$。
在$△ ABE$和$△ CBD$中：
$\begin{cases}AB=BC\\∠ ABE=∠ CBD\\BE=BD\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CBD(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=CD$。
由旋转的性质得$CD=CF$，$∠ DCF=60°$，$\therefore △ DCF$是等边三角形，
$\therefore CD=DF$，$\therefore AE=DF$。
由(1)中$△ BCD≌△ ACF$得$BD=AF$，
又$\because BD=BE$，$∠ EBD=60°$，$\therefore △ BDE$是等边三角形，
$\therefore BD=ED$，$\therefore ED=AF$。
$\because AE=DF$，$ED=AF$，
$\therefore$四边形$AEDF$是平行四边形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) 证明见解析
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【点评】
本题综合考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，解题的关键是灵活利用旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，通过全等三角形转化线段关系，进而推导得到平行四边形的判定条件。
【难度系数】
0.65
13.如图,正方形ABCD的中心与坐标原点O重合,将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转90°得点$D_1$,再将点$D_1$绕点B逆时针旋转90°得点$D_2$,再将点$D_2$绕点C逆时针旋转90°得点$D_3$,再将点$D_3$绕点D逆时针旋转90°得点$D_4$,再将点$D_4$绕点A逆时针旋转90°得点$D_5$……依此类推,则点$D_6$的坐标是(
A.$(-9,6)$
B.$(-7,6)$
C.$(-7,8)$
D.$(-9,8)$
B
).A.$(-9,6)$
B.$(-7,6)$
C.$(-7,8)$
D.$(-9,8)$
答案
13. B
解析
【分析】
首先先确定正方形ABCD四个顶点的坐标，再利用旋转的性质：绕某点逆时针旋转90°时，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角为90°，结合点绕定点逆时针旋转90°的坐标变换规律，依次计算出D₁到D₆的坐标即可得到结果。
【解析】
第一步：确定正方形各顶点坐标
∵正方形ABCD中心与坐标原点O重合，已知A(0,1)，D(1,0)，
∴其余顶点坐标为：B(-1,0)，C(0,-1)。
第二步：依次计算各旋转后点的坐标（点$(x,y)$绕点$(a,b)$逆时针旋转90°后坐标为$(a-(y-b), b+(x-a))$）
1. 求$D_1$：将$D(1,0)$绕$A(0,1)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=0-(0-1)=1$，$y=1+(1-0)=2$，即$D_1(1,2)$
2. 求$D_2$：将$D_1(1,2)$绕$B(-1,0)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=-1-(2-0)=-3$，$y=0+(1-(-1))=2$，即$D_2(-3,2)$
3. 求$D_3$：将$D_2(-3,2)$绕$C(0,-1)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=0-(2-(-1))=-3$，$y=-1+(-3-0)=-4$，即$D_3(-3,-4)$
4. 求$D_4$：将$D_3(-3,-4)$绕$D(1,0)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=1-(-4-0)=5$，$y=0+(-3-1)=-4$，即$D_4(5,-4)$
5. 求$D_5$：将$D_4(5,-4)$绕$A(0,1)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=0-(-4-1)=5$，$y=1+(5-0)=6$，即$D_5(5,6)$
6. 求$D_6$：将$D_5(5,6)$绕$B(-1,0)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=-1-(6-0)=-7$，$y=0+(5-(-1))=6$，即$D_6(-7,6)$
【答案】B
【知识点】
旋转的性质，坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题侧重考查旋转性质的应用，解题的关键是掌握点绕定点旋转90°的坐标变化规律，也可通过构造全等直角三角形推导坐标，计算时注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
首先先确定正方形ABCD四个顶点的坐标，再利用旋转的性质：绕某点逆时针旋转90°时，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角为90°，结合点绕定点逆时针旋转90°的坐标变换规律，依次计算出D₁到D₆的坐标即可得到结果。
【解析】
第一步：确定正方形各顶点坐标
∵正方形ABCD中心与坐标原点O重合，已知A(0,1)，D(1,0)，
∴其余顶点坐标为：B(-1,0)，C(0,-1)。
第二步：依次计算各旋转后点的坐标（点$(x,y)$绕点$(a,b)$逆时针旋转90°后坐标为$(a-(y-b), b+(x-a))$）
1. 求$D_1$：将$D(1,0)$绕$A(0,1)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=0-(0-1)=1$，$y=1+(1-0)=2$，即$D_1(1,2)$
2. 求$D_2$：将$D_1(1,2)$绕$B(-1,0)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=-1-(2-0)=-3$，$y=0+(1-(-1))=2$，即$D_2(-3,2)$
3. 求$D_3$：将$D_2(-3,2)$绕$C(0,-1)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=0-(2-(-1))=-3$，$y=-1+(-3-0)=-4$，即$D_3(-3,-4)$
4. 求$D_4$：将$D_3(-3,-4)$绕$D(1,0)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=1-(-4-0)=5$，$y=0+(-3-1)=-4$，即$D_4(5,-4)$
5. 求$D_5$：将$D_4(5,-4)$绕$A(0,1)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=0-(-4-1)=5$，$y=1+(5-0)=6$，即$D_5(5,6)$
6. 求$D_6$：将$D_5(5,6)$绕$B(-1,0)$逆时针旋转90°
代入公式得：$x=-1-(6-0)=-7$，$y=0+(5-(-1))=6$，即$D_6(-7,6)$
【答案】B
【知识点】
旋转的性质，坐标与图形变化-旋转
【点评】
本题侧重考查旋转性质的应用，解题的关键是掌握点绕定点旋转90°的坐标变化规律，也可通过构造全等直角三角形推导坐标，计算时注意符号，避免出错。
【难度系数】
0.6
