2.如图,在正方形网格中,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE,则下列说法错误的是().


A.∠BAD为旋转角,大小为$90°$
B.∠CAE为旋转角,大小为$90°$
C.$AC=AD$
D.旋转中心为点A

2. C

【分析】
要解决这道题，需结合旋转的定义和性质逐一判断选项：首先明确旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角），先确定本题的旋转中心，再找到旋转前后的对应点，根据对应点与旋转中心的连线夹角为旋转角、对应点到旋转中心距离相等的性质，结合网格特征判断各选项的正误。
【解析】
已知△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE：
1. 旋转中心为点A，因此D选项说法正确，不符合题意；
2. 点B的对应点是点D，点C的对应点是点E，因此∠BAD、∠CAE均为旋转角，结合网格可观察到AB竖直向上，AD水平向左，逆时针夹角为90°，故∠BAD=∠CAE=90°，A、B选项说法正确，不符合题意；
3. 根据旋转的性质，旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，可得AB=AD，AC=AE，AC和AD不是对应线段，长度不一定相等，因此C选项说法错误，符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的定义，旋转角的识别，旋转的性质
【点评】
本题是基础类考题，重点考查旋转的相关概念和性质，解题的核心是准确找到旋转过程中的对应点，结合网格特征判断旋转角大小，熟练掌握旋转的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=55°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD。若点D恰好落在线段AC上，则∠DBC的度数为().

A.55°
B.60°
C.65°
D.70°

3. D

【分析】
解题时先结合旋转的性质，得到对应边BD=BC，由此可判定△BDC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质可得∠BDC=∠C=55°，最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠DBC的度数。
【解析】
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，
∴BD=BC，
∴△BDC为等腰三角形，
∴∠BDC=∠C=55°，
在△BDC中，根据三角形内角和定理：
∠DBC=180°-∠C-∠BDC=180°-55°-55°=70°。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类计算题，重点考查图形旋转性质的应用，解题的关键是抓住旋转前后对应边相等这一核心特征，结合三角形相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4.如图,在方格纸中,将Rt△AOB绕点B顺时针旋转90°后得到Rt△A'O'B,则下列四个图形中正确的是().

4. B

【分析】
解决这类旋转图形的判断问题，核心是抓住旋转的三要素：旋转中心是点B、旋转方向为顺时针、旋转角度为90°。思考路径如下：首先，旋转过程中旋转中心的位置保持不变，可先排查点B位置改变的选项；其次，根据顺时针旋转90°的要求，验证原三角形的两条直角边绕点B旋转后的位置是否正确，同时旋转前后两个三角形全等，对应角（直角）、对应边长度都不变，结合这几点逐一对比选项即可得出答案。
【解析】
根据旋转的性质，Rt△AOB绕点B顺时针旋转90°时：
1. 旋转中心B的位置保持不变；
2. 边BO绕点B顺时针旋转90°得到对应边BO'，边BA绕点B顺时针旋转90°得到对应边BA'，且∠A'O'B=∠AOB=90°，△A'O'B≌△AOB。
逐一分析选项：
选项A：旋转方向为逆时针，不符合顺时针旋转90°的要求，错误；
选项B：点B位置不变，各对应边均是原边绕B顺时针转90°得到，三角形形状大小不变，符合要求，正确；
选项C：旋转角度不是90°，不符合要求，错误；
选项D：是绕某点旋转180°得到的图形，不符合旋转90°的要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
旋转的三要素，旋转的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题型，解题时只要紧扣旋转三要素和旋转前后图形全等的特点，就能快速排除错误选项，做题时注意不要混淆旋转方向。
【难度系数】
0.8

5. 如图，$△ ODC$是由$△ OAB$绕点O顺时针旋转$40°$后得到的图形. 若点D恰好落
在AB上，且$∠ AOC$的度数为$100°$，则$∠ C$的度数是().

A.$15°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$50°$

5. D

【分析】
解题需结合旋转的性质分析：首先旋转前后对应边相等、对应角相等，旋转角均相等。已知旋转角为40°，可得∠AOD=∠BOC=40°，且OA=OD，因此△OAD为等腰三角形，可先计算出∠A的度数；再结合∠AOC=100°，求出∠AOB的度数；最后在△OAB中利用三角形内角和定理求出∠B的度数，由旋转对应角相等可知∠C=∠B，即可得到答案。
【解析】
解：
∵△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°得到的图形，
∴OA=OD，∠AOD=∠BOC=40°，∠C=∠B，
∵OA=OD，即△OAD为等腰三角形，
∴$∠ A=∠ ADO=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
又
∵∠AOC=100°，
∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=100°-40°=60°，
在△OAB中，由三角形内角和为180°可得：
∠B=180°-∠A-∠AOB=180°-70°-60°=50°，
∴∠C=∠B=50°。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于旋转角度计算的基础题型，解题的核心是找准旋转前后的对应边、对应角，结合三角形的相关性质进行运算，能有效考查对旋转基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7

6.如图，P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转$90°$到△CBE的位置.若$BP=a$，则PE的长为.

6. $\sqrt{2}a$

【分析】
解题时先结合已知的旋转条件，回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等，对应角相等，旋转角等于对应边的夹角。首先找到旋转前后的对应边BP和BE，对应角∠ABP和∠CBE，由此可推出BP=BE，且∠PBE等于旋转角90°，确定△PBE为等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可计算出PE的长度。
【解析】
解：
∵△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，
∴根据旋转的性质可得：$BP=BE=a$，$∠ PBE=90°$，
∴△PBE是等腰直角三角形，
在$Rt△ PBE$中，由勾股定理得：
$PE=\sqrt{BP^2+BE^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a$。
【答案】
$\sqrt{2}a$
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是旋转性质的基础应用题，解题的关键是准确抓住旋转前后的边、角对应关系，判断出三角形的形状，再结合勾股定理计算边长，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

7.如图，线段AB在第二象限，点$A(-2,5)$，点$B(-4,3)$。将线段AB绕点O顺时针旋转$90°$得到线段$A'B'$。那么点A的对应点$A'$的坐标是。

7. $(5,2)$

【分析】
解题思路：首先明确旋转三要素：旋转中心为原点O，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°。解题有两种思路，一是直接运用平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律求解；二是通过向坐标轴作垂线，构造全等三角形，结合旋转前后对应线段相等、对应角相等的性质推导坐标。
【解析】
方法1：运用坐标旋转规律求解
平面直角坐标系中，点$(x,y)$绕原点O顺时针旋转$90°$后，对应点的坐标为$(y,-x)$。
已知点A的坐标为$(-2,5)$，即$x=-2$，$y=5$，代入规律得：
点$A'$的横坐标为$y=5$，纵坐标为$-x=-(-2)=2$，故$A'$的坐标为$(5,2)$。
方法2：构造全等三角形推导
过点A作$AM ⊥ y$轴于点M，过点$A'$作$A'N ⊥ x$轴于点N。
由旋转的性质可知：$OA=OA'$，$∠ AOA'=90°$，
$\therefore ∠ AOM + ∠ A'ON = 90°$，
又$\because ∠ AOM + ∠ OAM = 90°$，
$\therefore ∠ OAM = ∠ A'ON$。
在$△ AOM$和$△ OA'N$中：
$\begin{cases}∠ AMO = ∠ ONA' = 90° \\∠ OAM = ∠ A'ON \\OA = A'O\end{cases}$
$\therefore △ AOM ≌ △ OA'N \ (\mathrm{AAS})$。
$\therefore AM=ON$，$OM=A'N$，
$\because A(-2,5)$，$\therefore AM=2$，$OM=5$，
$\therefore ON=5$，$A'N=2$，
又$\because A'$在第一象限，$\therefore A'$的坐标为$(5,2)$。
【答案】
$(5,2)$
【知识点】
1. 绕原点旋转90°的坐标变化
2. 旋转的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转相关的基础常考题，既可以直接记忆坐标旋转规律快速解题，也可以通过构造全等三角形推导坐标，兼顾了规律运用和几何推理能力的考查。
【难度系数】
0.8

8.如图,在等边三角形ABC中,D是AC边上一点,连接BD.将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED.若BC=10,BD=9,则△AED的周长是.

8. 19

【分析】
解题时先结合旋转的性质分析对应边、对应角的关系：首先由旋转可得△BAE和△BCD全等，得到AE=CD、BE=BD且旋转角∠EBD=60°；再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，判定△BED为等边三角形，得到ED=BD；最后将△AED的周长进行等量替换，转化为AC与ED的和，代入已知数值即可求解。
【解析】
解：
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴△BAE≌△BCD，
∴AE=CD，BE=BD，∠EBD=60°，
又
∵BE=BD，∠EBD=60°，
∴△BED是等边三角形，
∴ED=BD=9，
∵△ABC是等边三角形，BC=10，
∴AC=BC=10，
∴△AED的周长 = AE + AD + ED = CD + AD + ED = AC + ED = 10 + 9 = 19。
【答案】
19
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是利用旋转的性质实现边的等量转换，再结合等边三角形的性质简化计算，熟练掌握相关性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7

9.如图,点A的坐标为(-1,5),点B的坐标为(3,3),点C的坐标为(5,3),点D的坐标为(3,-1),线段AB与线段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段.

(1)旋转中心是;
(2)旋转角为°.

9.(1) $(1,1)$或$(4,4)$ (2) 90

【分析】
根据旋转的性质，旋转中心到任意一组对应点的距离都相等，因此旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点。本题中线段AB旋转得到CD，存在两种对应点匹配方式：①点A对应点C，点B对应点D；②点A对应点D，点B对应点C，分别求出两种情况下垂直平分线的交点即可得到旋转中心；旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，结合勾股定理逆定理计算可得旋转角度数。
【解析】
(1) 分两种情况求旋转中心：
① 当点A的对应点为点C，点B的对应点为点D时：
线段AC的中点坐标为$(\frac{-1+5}{2},\frac{5+3}{2})=(2,4)$，直线AC的斜率$k_{AC}=\frac{3-5}{5-(-1)}=-\frac{1}{3}$，故AC的垂直平分线斜率为3，方程为$y-4=3(x-2)$，即$y=3x-2$。
线段BD是竖直线$x=3$，中点为$(3,1)$，故BD的垂直平分线为水平线$y=1$。
联立$\begin{cases}y=3x-2\\y=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$，即交点为$(1,1)$。
② 当点A的对应点为点D，点B的对应点为点C时：
线段AD的中点坐标为$(\frac{-1+3}{2},\frac{5+(-1)}{2})=(1,2)$，直线AD的斜率$k_{AD}=\frac{-1-5}{3-(-1)}=-\frac{3}{2}$，故AD的垂直平分线斜率为$\frac{2}{3}$，方程为$y-2=\frac{2}{3}(x-1)$，整理得$2x-3y+4=0$。
线段BC是水平线$y=3$，中点为$(4,3)$，故BC的垂直平分线为竖直线$x=4$。
联立$\begin{cases}x=4\\2x-3y+4=0\end{cases}$，代入解得$y=4$，即交点为$(4,4)$。
综上，旋转中心是$(1,1)$或$(4,4)$。
(2) 计算旋转角：记旋转中心$P(1,1)$，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{(-1-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{20}$，$PC=\sqrt{(5-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{20}$，$AC=\sqrt{(5+1)^2+(3-5)^2}=\sqrt{40}$，
因此$PA^2+PC^2=20+20=40=AC^2$，由勾股定理逆定理得$∠ APC=90°$；同理可验证以$(4,4)$为旋转中心时，对应连线的夹角也为$90°$，故旋转角为$90°$。
【答案】
(1) $(1,1)$或$(4,4)$；(2) $90$
【知识点】
1. 旋转的性质；2. 线段垂直平分线的性质；3. 勾股定理逆定理
【点评】
本题解题的关键是掌握旋转的性质，注意不要遗漏两种不同的对应点匹配关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6