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·练习1 现有一条长为64 cm的绳子.
(1)当这条绳子围成的矩形面积为240 cm²时,矩形的长和宽分别为多少厘米?
(2)能围成面积为270 cm²的矩形吗?如果能,请求出长和宽;如果不能,请说明理由.
(1)当这条绳子围成的矩形面积为240 cm²时,矩形的长和宽分别为多少厘米?
(2)能围成面积为270 cm²的矩形吗?如果能,请求出长和宽;如果不能,请说明理由.
答案
(1) 矩形的长为 20 cm,宽为 12 cm.
(2) 不能围成.理由略.
(2) 不能围成.理由略.
解析
【分析】
解题思路如下：(1)已知绳子长为矩形周长，可先求出矩形长与宽的和，设长为未知数，用含未知数的式子表示宽，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解，最后结合长＞宽的实际意义取舍根；(2)假设能围成，按同样的思路列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则方程无实根，即不能围成对应的矩形。
【解析】
(1) 设矩形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，由矩形周长为$ 64 \, \mathrm{cm} $，可得宽为$ ( \frac{64}{2} - x ) = (32 - x) \, \mathrm{cm} $（$ x ＞ 16 $，保证长大于宽）。
根据矩形面积为$ 240 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ x(32 - x) = 240 $
整理得：$ x^2 - 32x + 240 = 0 $
因式分解得：$ (x - 20)(x - 12) = 0 $
解得：$ x_1 = 20 $，$ x_2 = 12 $
因为长要大于宽，所以舍去$ x = 12 $，则宽为$ 32 - 20 = 12 \, \mathrm{cm} $。
(2) 假设能围成面积为$ 270 \, \mathrm{cm}^2 $的矩形，设长为$ y \, \mathrm{cm} $，则宽为$ (32 - y) \, \mathrm{cm} $，列方程：
$ y(32 - y) = 270 $
整理得：$ y^2 - 32y + 270 = 0 $
计算根的判别式：
$ \Delta = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 × 1 × 270 = 1024 - 1080 = -56 ＜ 0 $
所以该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的矩形，不能围成面积为$ 270 \, \mathrm{cm}^2 $的矩形。
【答案】
(1) 矩形的长为20 cm，宽为12 cm；
(2) 不能围成。
【知识点】
一元二次方程的应用；根的判别式；矩形周长与面积计算
【点评】
本题是结合几何图形的一元二次方程实际应用题，解题时需要先挖掘几何图形的周长、面积等量关系列方程，求解后要结合实际意义取舍根，同时要掌握用根的判别式判断方程解的存在性，从而解决“能不能”类的判断问题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：(1)已知绳子长为矩形周长，可先求出矩形长与宽的和，设长为未知数，用含未知数的式子表示宽，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解，最后结合长＞宽的实际意义取舍根；(2)假设能围成，按同样的思路列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实数根，若判别式小于0则方程无实根，即不能围成对应的矩形。
【解析】
(1) 设矩形的长为$ x \, \mathrm{cm} $，由矩形周长为$ 64 \, \mathrm{cm} $，可得宽为$ ( \frac{64}{2} - x ) = (32 - x) \, \mathrm{cm} $（$ x ＞ 16 $，保证长大于宽）。
根据矩形面积为$ 240 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$ x(32 - x) = 240 $
整理得：$ x^2 - 32x + 240 = 0 $
因式分解得：$ (x - 20)(x - 12) = 0 $
解得：$ x_1 = 20 $，$ x_2 = 12 $
因为长要大于宽，所以舍去$ x = 12 $，则宽为$ 32 - 20 = 12 \, \mathrm{cm} $。
(2) 假设能围成面积为$ 270 \, \mathrm{cm}^2 $的矩形，设长为$ y \, \mathrm{cm} $，则宽为$ (32 - y) \, \mathrm{cm} $，列方程：
$ y(32 - y) = 270 $
整理得：$ y^2 - 32y + 270 = 0 $
计算根的判别式：
$ \Delta = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 × 1 × 270 = 1024 - 1080 = -56 ＜ 0 $
所以该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的矩形，不能围成面积为$ 270 \, \mathrm{cm}^2 $的矩形。
【答案】
(1) 矩形的长为20 cm，宽为12 cm；
(2) 不能围成。
【知识点】
一元二次方程的应用；根的判别式；矩形周长与面积计算
【点评】
本题是结合几何图形的一元二次方程实际应用题，解题时需要先挖掘几何图形的周长、面积等量关系列方程，求解后要结合实际意义取舍根，同时要掌握用根的判别式判断方程解的存在性，从而解决“能不能”类的判断问题。
【难度系数】
0.7
·练习2（教材P24习题T7变式）如图，某小区要在长为16 m，宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，求小路的宽。
答案
2 m
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先设小路的宽度为未知数，因为小路在花坛四周宽度相等，所以花坛的长等于原空地的长减去左右两侧小路的总宽度，花坛的宽等于原空地的宽减去上下两侧小路的总宽度；再根据“花坛面积是空地面积的一半”这个等量关系列出一元二次方程；最后求解方程，并结合实际意义舍去不符合要求的根，就能得到小路的宽度。
【解析】
解：设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则花坛的长为$ (16-2x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (12-2x) \, \mathrm{m} $。
根据题意，花坛面积为空地面积的一半，列方程得：
$(16-2x)(12-2x) = \frac{1}{2} × 16 × 12$
整理方程：
先计算右侧：$ \frac{1}{2} × 16 ×12 = 96 $
左侧展开：$ 192 - 56x + 4x^2 = 96 $
移项化简得：$ x^2 -14x +24 = 0 $
因式分解得：$ (x-2)(x-12) = 0 $
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 12 $
检验：当$ x=12 $时，$ 16-2x = 16-24 = -8 ＜ 0 $，不符合实际意义，舍去。
所以$ x=2 $。
【答案】
2 m
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于常见的几何图形面积类应用题，解题核心是正确用含未知数的式子表示花坛的长和宽，同时要注意结合实际场景对一元二次方程的根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按照以下思路思考：首先设小路的宽度为未知数，因为小路在花坛四周宽度相等，所以花坛的长等于原空地的长减去左右两侧小路的总宽度，花坛的宽等于原空地的宽减去上下两侧小路的总宽度；再根据“花坛面积是空地面积的一半”这个等量关系列出一元二次方程；最后求解方程，并结合实际意义舍去不符合要求的根，就能得到小路的宽度。
【解析】
解：设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则花坛的长为$ (16-2x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (12-2x) \, \mathrm{m} $。
根据题意，花坛面积为空地面积的一半，列方程得：
$(16-2x)(12-2x) = \frac{1}{2} × 16 × 12$
整理方程：
先计算右侧：$ \frac{1}{2} × 16 ×12 = 96 $
左侧展开：$ 192 - 56x + 4x^2 = 96 $
移项化简得：$ x^2 -14x +24 = 0 $
因式分解得：$ (x-2)(x-12) = 0 $
解得：$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 12 $
检验：当$ x=12 $时，$ 16-2x = 16-24 = -8 ＜ 0 $，不符合实际意义，舍去。
所以$ x=2 $。
【答案】
2 m
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算、一元二次方程的解法
【点评】
本题属于常见的几何图形面积类应用题，解题核心是正确用含未知数的式子表示花坛的长和宽，同时要注意结合实际场景对一元二次方程的根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
1.为大力实施城市绿化行动，某小区规划设置一片面积为1 000 $\mathrm{m}^2$的矩形绿地，并且长比宽多30 m，设绿地长为x m，根据题意可列方程为(
A.$x(x+30)=1\ 000$
B.$x(x-30)=1\ 000$
C.$2x(x+30)=1\ 000$
D.$2x(x-30)=1\ 000$
B
).A.$x(x+30)=1\ 000$
B.$x(x-30)=1\ 000$
C.$2x(x+30)=1\ 000$
D.$2x(x-30)=1\ 000$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确本题的核心等量关系是矩形的面积=长×宽。第一步先根据长和宽的数量关系表示出宽：已知长为x m，且长比宽多30 m，因此宽为(x-30)m；第二步再代入矩形面积公式，结合已知的面积1000 m²即可列出方程，同时要注意区分面积公式和周长公式，避免错选带系数2的选项，也要注意不要搞反长和宽的大小关系。
【解析】
设绿地的长为x m，
∵长比宽多30 m，
∴绿地的宽为$(x-30)$m，
又
∵矩形绿地的面积为1000 $\mathrm{m}^2$，且矩形面积=长×宽，
∴代入得方程：$x(x-30)=1000$，
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形面积计算，列一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查从实际几何场景中提取等量关系的能力，易错点有两个：一是混淆长和宽的数量关系，误将宽表示为$(x+30)$；二是混淆矩形面积和周长公式，错选带有系数2的选项，审题时需格外注意题干给出的是面积条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题的核心等量关系是矩形的面积=长×宽。第一步先根据长和宽的数量关系表示出宽：已知长为x m，且长比宽多30 m，因此宽为(x-30)m；第二步再代入矩形面积公式，结合已知的面积1000 m²即可列出方程，同时要注意区分面积公式和周长公式，避免错选带系数2的选项，也要注意不要搞反长和宽的大小关系。
【解析】
设绿地的长为x m，
∵长比宽多30 m，
∴绿地的宽为$(x-30)$m，
又
∵矩形绿地的面积为1000 $\mathrm{m}^2$，且矩形面积=长×宽，
∴代入得方程：$x(x-30)=1000$，
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形面积计算，列一元二次方程
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查从实际几何场景中提取等量关系的能力，易错点有两个：一是混淆长和宽的数量关系，误将宽表示为$(x+30)$；二是混淆矩形面积和周长公式，错选带有系数2的选项，审题时需格外注意题干给出的是面积条件。
【难度系数】
0.8
2.(教材P24习题T9变式)如图,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条,各彩条的宽度相等.若要使彩条所占面积是图案面积的六分之一,设彩条的宽为x cm,根据题意可列方程为(
A.$(20-2x)(30-2x)=20×30×\dfrac{1}{6}$
B.$(20-2x)(30-2x)=20×30×(1-\dfrac{1}{6})$
C.$(20-x)(30-x)=20×30×\dfrac{1}{6}$
D.$(20-x)(30-x)=20×30×(1-\dfrac{1}{6})$
B
).A.$(20-2x)(30-2x)=20×30×\dfrac{1}{6}$
B.$(20-2x)(30-2x)=20×30×(1-\dfrac{1}{6})$
C.$(20-x)(30-x)=20×30×\dfrac{1}{6}$
D.$(20-x)(30-x)=20×30×(1-\dfrac{1}{6})$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时我们可以采用平移法简化问题：首先明确彩条面积占图案总面积的$\dfrac{1}{6}$，因此空白部分面积占总面积的$1-\dfrac{1}{6}$；接着将所有彩条平移到图案的边缘，分散的空白区域会拼接成一个规则的长方形，我们只需要求出这个长方形的长和宽，再根据“空白区域面积=图案总面积×$(1-\dfrac{1}{6})$”的等量关系即可列出方程。
【解析】
首先计算图案的总面积为$20×30\ \mathrm{cm}^2$。
已知彩条所占面积是图案面积的$\dfrac{1}{6}$，因此空白区域的面积为图案总面积的$1-\dfrac{1}{6}$，即空白面积$=20×30×(1-\dfrac{1}{6})$。
将两横彩条向上下边缘平移、两竖彩条向左右边缘平移后，空白区域拼接为一个长方形：
竖直方向有2个横彩条，每个宽$x\ \mathrm{cm}$，因此空白长方形的宽为$(20-2x)\ \mathrm{cm}$；
水平方向有2个竖彩条，每个宽$x\ \mathrm{cm}$，因此空白长方形的长为$(30-2x)\ \mathrm{cm}$。
因此空白区域面积也可表示为$(20-2x)(30-2x)\ \mathrm{cm}^2$，联立可得方程：
$(20-2x)(30-2x)=20×30×(1-\dfrac{1}{6})$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程几何应用 2. 图形平移性质 3. 面积计算
【点评】
本题是典型的规则图形中通道类面积的方程应用题，平移法是解决这类问题的常用技巧，能将分散的空白区域拼接为规则图形，避免重复计算彩条重叠部分的面积，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以采用平移法简化问题：首先明确彩条面积占图案总面积的$\dfrac{1}{6}$，因此空白部分面积占总面积的$1-\dfrac{1}{6}$；接着将所有彩条平移到图案的边缘，分散的空白区域会拼接成一个规则的长方形，我们只需要求出这个长方形的长和宽，再根据“空白区域面积=图案总面积×$(1-\dfrac{1}{6})$”的等量关系即可列出方程。
【解析】
首先计算图案的总面积为$20×30\ \mathrm{cm}^2$。
已知彩条所占面积是图案面积的$\dfrac{1}{6}$，因此空白区域的面积为图案总面积的$1-\dfrac{1}{6}$，即空白面积$=20×30×(1-\dfrac{1}{6})$。
将两横彩条向上下边缘平移、两竖彩条向左右边缘平移后，空白区域拼接为一个长方形：
竖直方向有2个横彩条，每个宽$x\ \mathrm{cm}$，因此空白长方形的宽为$(20-2x)\ \mathrm{cm}$；
水平方向有2个竖彩条，每个宽$x\ \mathrm{cm}$，因此空白长方形的长为$(30-2x)\ \mathrm{cm}$。
因此空白区域面积也可表示为$(20-2x)(30-2x)\ \mathrm{cm}^2$，联立可得方程：
$(20-2x)(30-2x)=20×30×(1-\dfrac{1}{6})$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程几何应用 2. 图形平移性质 3. 面积计算
【点评】
本题是典型的规则图形中通道类面积的方程应用题，平移法是解决这类问题的常用技巧，能将分散的空白区域拼接为规则图形，避免重复计算彩条重叠部分的面积，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
