1.(期末·南开区)如图所示,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点E在AC上,点D在BA的延长线上,且$AD=AE$,连接DE.求证:$DE⊥ BC$. 第1题图

【证明】如图，过点 A 作$AM⊥BC$于点M，
$\because AB=AC,\therefore ∠BAC=2∠BAM.$
$\because AD=AE,\therefore ∠D=∠AED,$
$\therefore ∠BAC=∠D+∠AED=2∠D,$
$\therefore ∠BAC=2∠BAM=2∠D,$
$\therefore ∠BAM=∠D,\therefore DE// AM.$
$\because AM⊥BC,\therefore DE⊥BC.$

2. 新考向开放性试题 小明遇到这样一个问题：
如图①，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且BD=BC，求证：∠ABC=2∠ACD.
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法：
方法1:如图②，作BE⊥CD，垂足为E.
方法2:如图③，作CF⊥AB，垂足为F.
根据上面的材料，从两种方法中任选一种方法，证明∠ABC=2∠ACD.

【证明】选方法1：$\because ∠ACB=90^{\circ },$
$\therefore ∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90^{\circ },$
$\therefore ∠ACD=∠CBE.$
又$\because BC=BD,BE⊥CD,\therefore ∠ABC=2∠CBE,$
$\therefore ∠ABC=2∠ACD.$
选方法2：$\because ∠ACB=90^{\circ },∠BFC=90^{\circ },$
$\therefore ∠A+∠B=∠BCF+∠B=90^{\circ },\therefore ∠A=∠BCF.$
$\because BC=BD,\therefore ∠BCD=∠BDC,$
即$∠BCF+∠DCF=∠A+∠ACD,$
$\therefore ∠DCF=∠ACD,\therefore ∠ACF=2∠ACD.$
又$\because ∠B+∠BCF=∠ACF+∠BCF=90^{\circ },$
$\therefore ∠B=∠ACF,\therefore ∠B=2∠ACD.$