4.如图,在$△ ABC$中,$AB=5,BC=10,AC=9,MN$为边$BC$的垂直平分线,点$D$为直线$MN$上一动点,则$△ ABD$的周长的最小值为 ()

A.10
B.12
C.14
D.15

4. C 【解析】如图,连接DC.
因为MN为边BC的垂直平分线,所以$CD=BD$,所以$△ABD$的周长$=AB+AD+DB=AB+AD+DC$.
当AD和DC在一条直线上,即$AD+DC=AC$时,$△ABD$的周长最小,最小值为$AB+AC=5+9=14$.

5. 如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE//AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA;
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.

5.【证明】(1)因为点D为BC的中点,所以$BD=CD$.
因为$BE// AC$,所以$∠EBD=∠C,∠E=∠CAD$.
在$△BDE$和$△CDA$中,$\begin{cases} ∠EBD=∠C, \\ ∠E=∠CAD, \\ BD=CD, \end{cases}$
所以$△BDE≌△CDA(\mathrm{AAS})$.
(2)因为点D为BC的中点,$AD⊥BC$,
所以直线AD为线段BC的垂直平分线,
所以$BA=CA$.
由(1)可知,$△BDE≌△CDA$,
所以$BE=CA$,所以$BA=BE$.

6. 如图,在△ABC中,已知EM,FD分别垂直平分AB,AC,连接EA,FA,且∠BAC=115°,求∠EAF的度数.

6.【解】因为EM,FD分别垂直平分AB,AC,所以$EB=EA,FC=FA$,所以$∠B=∠EAB,∠C=∠FAC$.因为$∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF=180°$,所以$∠EAF=180°-2(∠B+∠C)$.
又因为$∠BAC=115°$,所以$∠B+∠C=180°-115°=65°$,所以$∠EAF=180°-2×65°=50°$.