【典型例题2】如图,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=6,AC=8,BC=10,∠CAB=90°.

(1)求AD的长;
(2)求△ABE的面积;
(3)求△ACE与△ABE的周长的差.
【解】(1)因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$,
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· BC=24$,
所以$AD=4.8$.
(2)因为AE为△ABC的中线,
所以$S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×24=$
12.
(3)△ACE与△ABE的周长差为
$AC+CE+AE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2$.
规律方法 1. 三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等的两部分.
2. 三角形一边上的中线把三角形分成两个小三角形,这两个小三角形的周长差等于这个三角形另两边的差.

解：
(1) 已知$∠ CAB=90°$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
∵ AD是$△ ABC$的高，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AD· BC$，
代入$S_{△ ABC}=24$，$BC=10$，得$\frac{1}{2}× AD×10=24$，
解得$AD=4.8$。
(2) ∵ AE是$△ ABC$的中线，
$\therefore BE=CE$，可得$S_{△ ABE}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×24=12$。
(3) $△ ACE$的周长为$AC+CE+AE$，$△ ABE$的周长为$AB+BE+AE$，
∵ AE是$△ ABC$的中线，
$\therefore BE=CE$，
两三角形的周长差为：
$(AC+CE+AE)-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2$。

2.如图，$△ ABC$的角平分线BD和CE相交于点O，连接AO，若$∠ BAC = 70°$，则$∠ OAE$的度数为。

2. 35° 【解析】因为三角形的三条角平分线交于一点，所以AO平分∠BAC，所以$∠OAE=\frac{1}{2}×70°=35°$.

1. 如图，CD，CE，CF分别是$△ ABC$的高、角平分线和中线，则下列各式中错误的是（）


A.$AB=2BF$
B.$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB$
C.$AE=BE$
D.$CD⊥ BE$

1.C

2.若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,则这个三角形是 （）

A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都不对

2.C 【解析】直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，所以直角三角形的三条高的交点为直角顶点.故选C.

3. 如图,在方格纸中,点A,B,C,D,E,F,G均在格点上,则$△ ABC$的重心是 （）


A.点G
B.点D
C.点E
D.点F

3.B 【解析】观察网格可知AB与BC边上的中线交于点D，即为△ABC的重心.故选B.