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知识点一 图形类问题
在解决实际问题时，要全面、系统地审清题意，明确已知条件和未知条件，分析它们之间的数量关系，找出并准确表示问题中的
在解决实际问题时，要全面、系统地审清题意，明确已知条件和未知条件，分析它们之间的数量关系，找出并准确表示问题中的
等量
关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程。答案
等量
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程解决实际问题的基本步骤相关概念，我们可以从列方程的核心逻辑入手思考：列方程的本质是用等式表示数量之间的相等关系，因此审清题意后，首先需要找到题目中能关联已知量和未知量的相等数量关系，也就是等量关系，才能据此设未知数列方程，由此可确定空缺处的内容。
【解析】
用一元二次方程解决实际问题的常规流程为：1.审题，明确已知条件和未知条件；2.分析数量关系，找到问题中的等量关系；3.设未知数，根据找到的等量关系列出包含未知量的等式，也就是一元二次方程。因此本题空缺处应填“等量”。
【答案】
等量
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 等量关系识别
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对列方程解应用题基本流程的掌握，明确找等量关系是列方程的核心前提即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程解决实际问题的基本步骤相关概念，我们可以从列方程的核心逻辑入手思考：列方程的本质是用等式表示数量之间的相等关系，因此审清题意后，首先需要找到题目中能关联已知量和未知量的相等数量关系，也就是等量关系，才能据此设未知数列方程，由此可确定空缺处的内容。
【解析】
用一元二次方程解决实际问题的常规流程为：1.审题，明确已知条件和未知条件；2.分析数量关系，找到问题中的等量关系；3.设未知数，根据找到的等量关系列出包含未知量的等式，也就是一元二次方程。因此本题空缺处应填“等量”。
【答案】
等量
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 等量关系识别
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对列方程解应用题基本流程的掌握，明确找等量关系是列方程的核心前提即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例1 某校为培养学生的劳动观念，促进学生全面发展，计划修建一个矩形苗圃ABCD. 如图，苗圃的一边AD靠墙（墙的最大可用长度为14 m），另三边用栅栏围成，中间用垂直于墙的栅栏将苗圃分成两个区域，并在两处各留出一个2 m宽的门（门不用栅栏）. 修建所用栅栏的总长为32 m，设苗圃ABCD的一边CD长为x m.
（1）用含x的代数式表示苗圃靠墙一边AD的长是
（2）若苗圃ABCD的面积为96 m²，求x的值；
（3）苗圃ABCD的面积能否为110 m²？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由.
解（1）$(36-3x)$
（2）根据题意，得$x(36-3x)=96$.
解得$x=4$或$x=8$.
因为当$x=4$时，$36-3x=24＞14$，
所以$x=4$舍去. 所以$x$的值为8.
（3）不能. 理由如下：
假设苗圃ABCD的面积能为110 m².
由题意，得$x(36-3x)=110$. 整理得$3x^2 - 36x + 110 = 0$.
因为$\Delta = (-36)^2 - 4 × 3 × 110 = -24 ＜ 0$，
所以原方程没有实数根.
所以苗圃ABCD的面积不能为110 m².
—特别提醒
利用一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
（1）审题，明确问题中的已知量、未知量及等量关系；
（2）设未知数；
（3）根据等量关系列一元二次方程；
（4）解一元二次方程；
（5）检验方程的根的准确性及其是否符合实际意义；
（6）下结论作答.
—解题要点
解决此类问题时，注意传染源在一轮传染后并未消失.
—特别提醒
对于平均变化率问题，正确理解一些词语的含义是解答这类问题的关键. 常见的词语：“增加（或减少）”“增加（或减少到”“增加（或减少）了几倍（或几分之几）”“增加（或降低）到几倍（或几分之几）”“增长（或下降）率”等.
（1）用含x的代数式表示苗圃靠墙一边AD的长是
(36-3x)
m；（2）若苗圃ABCD的面积为96 m²，求x的值；
（3）苗圃ABCD的面积能否为110 m²？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由.
解（1）$(36-3x)$
（2）根据题意，得$x(36-3x)=96$.
解得$x=4$或$x=8$.
因为当$x=4$时，$36-3x=24＞14$，
所以$x=4$舍去. 所以$x$的值为8.
（3）不能. 理由如下：
假设苗圃ABCD的面积能为110 m².
由题意，得$x(36-3x)=110$. 整理得$3x^2 - 36x + 110 = 0$.
因为$\Delta = (-36)^2 - 4 × 3 × 110 = -24 ＜ 0$，
所以原方程没有实数根.
所以苗圃ABCD的面积不能为110 m².
—特别提醒
利用一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
（1）审题，明确问题中的已知量、未知量及等量关系；
（2）设未知数；
（3）根据等量关系列一元二次方程；
（4）解一元二次方程；
（5）检验方程的根的准确性及其是否符合实际意义；
（6）下结论作答.
—解题要点
解决此类问题时，注意传染源在一轮传染后并未消失.
—特别提醒
对于平均变化率问题，正确理解一些词语的含义是解答这类问题的关键. 常见的词语：“增加（或减少）”“增加（或减少到”“增加（或减少）了几倍（或几分之几）”“增加（或降低）到几倍（或几分之几）”“增长（或下降）率”等.
答案
1. (36-3x)
2. 根据题意，得$x(36-3x)=96$. 解得$x=4$或$x=8$. 因为当$x=4$时，$36-3x=24＞14$，所以$x=4$舍去. 所以$x$的值为8.
3. 不能. 理由如下：假设苗圃ABCD的面积能为110 m². 由题意，得$x(36-3x)=110$. 整理得$3x^2 - 36x + 110 = 0$. 因为$\Delta = (-36)^2 - 4 × 3 × 110 = -24 ＜ 0$，所以原方程没有实数根. 所以苗圃ABCD的面积不能为110 m².
2. 根据题意，得$x(36-3x)=96$. 解得$x=4$或$x=8$. 因为当$x=4$时，$36-3x=24＞14$，所以$x=4$舍去. 所以$x$的值为8.
3. 不能. 理由如下：假设苗圃ABCD的面积能为110 m². 由题意，得$x(36-3x)=110$. 整理得$3x^2 - 36x + 110 = 0$. 因为$\Delta = (-36)^2 - 4 × 3 × 110 = -24 ＜ 0$，所以原方程没有实数根. 所以苗圃ABCD的面积不能为110 m².
解析
【分析】
（1）首先梳理栅栏的构成：垂直于墙的边有3条（AB、中间分隔栏、CD），每条长度均为x m；平行于墙的AD边对应的栅栏部分需要减去2个各2m宽的门的长度。已知栅栏总长为32m，因此有：3条垂直边的总长 + （AD长度 - 两个门的总宽度）= 栅栏总长，对该等式变形即可得到AD的表达式。
（2）矩形面积公式为“长×宽”，代入AD和CD的长度即可列出关于x的一元二次方程，求解后需结合“墙的最大可用长度为14m”的条件，判断AD长度是否符合实际，舍去不符合要求的根。
（3）先假设面积能达到110m²，按照面积公式列方程，整理为一元二次方程的一般形式后计算根的判别式Δ：若Δ≥0说明方程有实根，存在符合条件的x；若Δ＜0说明方程无实根，不存在这样的情况。
【解析】
（1）两个门总宽度为$2×2=4\mathrm{m}$，根据栅栏总长的等量关系可得：
$AD = 32 + 4 - 3x = 36-3x$，单位为m。
（2）根据矩形面积为$96\mathrm{m}^2$，列方程：
$x(36-3x)=96$
整理得$x^2-12x+32=0$，因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，解得$x=4$或$x=8$。
检验：当$x=4$时，$AD=36-3×4=24\mathrm{m}＞14\mathrm{m}$，超出墙的最大可用长度，不符合实际，舍去；
当$x=8$时，$AD=36-3×8=12\mathrm{m}＜14\mathrm{m}$，符合实际条件。
（3）不能，理由如下：
假设苗圃面积能为$110\mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(36-3x)=110$
整理为一般形式：$3x^2-36x+110=0$
计算根的判别式：$\Delta = (-36)^2 -4×3×110 = 1296 - 1320 = -24 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的x值。
【答案】
（1）$\boxed{36-3x}$
（2）$\boxed{8}$
（3）$\boxed{不能}$，所列方程无实数根，不存在符合条件的x值。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程在实际面积问题中的典型应用，解题时要注意结合实际场景的限制条件对计算得到的根进行检验，避免出现不符合实际的结果，同时利用根的判别式可以快速判断方程解的存在性，简化判断过程。
【难度系数】
0.65
（1）首先梳理栅栏的构成：垂直于墙的边有3条（AB、中间分隔栏、CD），每条长度均为x m；平行于墙的AD边对应的栅栏部分需要减去2个各2m宽的门的长度。已知栅栏总长为32m，因此有：3条垂直边的总长 + （AD长度 - 两个门的总宽度）= 栅栏总长，对该等式变形即可得到AD的表达式。
（2）矩形面积公式为“长×宽”，代入AD和CD的长度即可列出关于x的一元二次方程，求解后需结合“墙的最大可用长度为14m”的条件，判断AD长度是否符合实际，舍去不符合要求的根。
（3）先假设面积能达到110m²，按照面积公式列方程，整理为一元二次方程的一般形式后计算根的判别式Δ：若Δ≥0说明方程有实根，存在符合条件的x；若Δ＜0说明方程无实根，不存在这样的情况。
【解析】
（1）两个门总宽度为$2×2=4\mathrm{m}$，根据栅栏总长的等量关系可得：
$AD = 32 + 4 - 3x = 36-3x$，单位为m。
（2）根据矩形面积为$96\mathrm{m}^2$，列方程：
$x(36-3x)=96$
整理得$x^2-12x+32=0$，因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，解得$x=4$或$x=8$。
检验：当$x=4$时，$AD=36-3×4=24\mathrm{m}＞14\mathrm{m}$，超出墙的最大可用长度，不符合实际，舍去；
当$x=8$时，$AD=36-3×8=12\mathrm{m}＜14\mathrm{m}$，符合实际条件。
（3）不能，理由如下：
假设苗圃面积能为$110\mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(36-3x)=110$
整理为一般形式：$3x^2-36x+110=0$
计算根的判别式：$\Delta = (-36)^2 -4×3×110 = 1296 - 1320 = -24 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的x值。
【答案】
（1）$\boxed{36-3x}$
（2）$\boxed{8}$
（3）$\boxed{不能}$，所列方程无实数根，不存在符合条件的x值。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程在实际面积问题中的典型应用，解题时要注意结合实际场景的限制条件对计算得到的根进行检验，避免出现不符合实际的结果，同时利用根的判别式可以快速判断方程解的存在性，简化判断过程。
【难度系数】
0.65
