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2. 已知$ x_1 $，$ x_2 $是一元二次方程$ x^2 - 6x + 3 = 0 $的两个实数根，则$ x_1 + x_2 - x_1x_2 $的值为（
A.3
B.−3
C.9
D.−9
A
）A.3
B.−3
C.9
D.−9
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先看到题目给出一元二次方程的两个实数根，要求两根和与积的组合代数式的值，不需要求解方程的具体根，直接用韦达定理计算更简便。第一步先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，第二步根据韦达定理公式分别求出两根之和、两根之积，第三步将结果代入所求代数式计算即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若$x_1$、$x_2$是它的两个实数根，根与系数的关系为：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2 - 6x + 3 = 0$，可得$a=1$，$b=-6$，$c=3$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$
将上述结果代入$x_1 + x_2 - x_1x_2$计算：
$x_1 + x_2 - x_1x_2=6-3=3$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查韦达定理的直接应用，无需解方程求根，熟记根与系数的关系公式就能快速求解，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题思路如下：首先看到题目给出一元二次方程的两个实数根，要求两根和与积的组合代数式的值，不需要求解方程的具体根，直接用韦达定理计算更简便。第一步先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，第二步根据韦达定理公式分别求出两根之和、两根之积，第三步将结果代入所求代数式计算即可得到答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若$x_1$、$x_2$是它的两个实数根，根与系数的关系为：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2 - 6x + 3 = 0$，可得$a=1$，$b=-6$，$c=3$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$，$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$
将上述结果代入$x_1 + x_2 - x_1x_2$计算：
$x_1 + x_2 - x_1x_2=6-3=3$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查韦达定理的直接应用，无需解方程求根，熟记根与系数的关系公式就能快速求解，计算量小。
【难度系数】
0.8
3. 若$α$，$β$是一元二次方程$x^2 + 3x -7=0$的两个根，则$α^2 +4α +β =$（
A.4
B.10
C.$-4$
D.$-10$
A
）A.4
B.10
C.$-4$
D.$-10$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时可以分三步思考：第一步，α是方程的根，根据方程根的定义，将x=α代入方程可得到α²与α的等量关系，实现降次；第二步，把所求代数式拆分为含α²+3α和α+β的两部分，将第一步得到的关系代入，转化为求两根之和的问题；第三步，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根。
【解析】
∵ α是一元二次方程$x^2 + 3x -7=0$的根
∴ 把$x=α$代入方程得：$α^2 + 3α -7=0$，即$α^2 + 3α =7$
对所求代数式变形可得：
$α^2 +4α +β = (α^2 +3α) + (α +β)$
又
∵ α，β是一元二次方程$x^2 + 3x -7=0$的两个根
根据根与系数的关系，两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1}=-3$
将$α^2 +3α=7$，$α+β=-3$代入得：
原式$=7 + (-3)=4$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题型，核心是运用整体代入的思想简化计算，避免求解根的复杂运算，熟练掌握根的定义和根与系数的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时可以分三步思考：第一步，α是方程的根，根据方程根的定义，将x=α代入方程可得到α²与α的等量关系，实现降次；第二步，把所求代数式拆分为含α²+3α和α+β的两部分，将第一步得到的关系代入，转化为求两根之和的问题；第三步，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根。
【解析】
∵ α是一元二次方程$x^2 + 3x -7=0$的根
∴ 把$x=α$代入方程得：$α^2 + 3α -7=0$，即$α^2 + 3α =7$
对所求代数式变形可得：
$α^2 +4α +β = (α^2 +3α) + (α +β)$
又
∵ α，β是一元二次方程$x^2 + 3x -7=0$的两个根
根据根与系数的关系，两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1}=-3$
将$α^2 +3α=7$，$α+β=-3$代入得：
原式$=7 + (-3)=4$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题型，核心是运用整体代入的思想简化计算，避免求解根的复杂运算，熟练掌握根的定义和根与系数的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 写出一个根分别为1和－3的一元二次方程：
$x^2 + 2x - 3 = 0$（答案不唯一）
。答案
4. $x^2 + 2x - 3 = 0$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时可利用一元二次方程的根与因式的对应关系思考：若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，且二次项系数为非零常数$a$，则方程可写成$a(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式。我们将题中给出的两个根代入该式，选取最简单的$a=1$后展开化简，即可得到符合要求的方程；由于$a$可取任意非零常数，因此本题答案不唯一。
【解析】
解：设该一元二次方程的二次项系数为$a(a≠0)$，已知方程两根为$x_1=1$，$x_2=-3$，代入因式形式的方程可得：
$a(x-1)(x+3)=0$
取$a=1$，展开左侧式子：
$(x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$
因此得到满足条件的方程为$x^2+2x-3=0$，$a$取其他非零值时也可得到其他正确方程，答案不唯一。
【答案】
$x^2 + 2x - 3 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的定义、因式分解、整式乘法
【点评】
本题为基础题，主要考查对一元二次方程根的概念的理解和灵活应用，掌握由方程根构造一元二次方程的方法即可快速解题，二次项系数可取任意非零常数，因此答案不唯一。
【难度系数】
0.9
解题时可利用一元二次方程的根与因式的对应关系思考：若一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，且二次项系数为非零常数$a$，则方程可写成$a(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式。我们将题中给出的两个根代入该式，选取最简单的$a=1$后展开化简，即可得到符合要求的方程；由于$a$可取任意非零常数，因此本题答案不唯一。
【解析】
解：设该一元二次方程的二次项系数为$a(a≠0)$，已知方程两根为$x_1=1$，$x_2=-3$，代入因式形式的方程可得：
$a(x-1)(x+3)=0$
取$a=1$，展开左侧式子：
$(x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3=x^2+2x-3$
因此得到满足条件的方程为$x^2+2x-3=0$，$a$取其他非零值时也可得到其他正确方程，答案不唯一。
【答案】
$x^2 + 2x - 3 = 0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的定义、因式分解、整式乘法
【点评】
本题为基础题，主要考查对一元二次方程根的概念的理解和灵活应用，掌握由方程根构造一元二次方程的方法即可快速解题，二次项系数可取任意非零常数，因此答案不唯一。
【难度系数】
0.9
5. 若$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2 - x -6=0$的两根，求$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值.
答案
5. -6
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，可先通过提取公因式对代数式进行因式分解，将其转化为含两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根和与两根积，代入即可求出结果，无需单独求解方程的两个根，简化计算过程。
【解析】
首先对所求代数式因式分解：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
对于一元二次方程$x^2 - x -6=0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-6$，根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1}=1$
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1}=-6$
将上述结果代入因式分解后的式子：
原式$= (-6) × 1 = -6$
【答案】
-6
【知识点】
因式分解的应用；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于代数式求值类基础题，核心解题思路是将待求式转化为两根和与两根积的组合形式，利用根与系数的关系快速计算，避免了解方程的繁琐步骤，是一元二次方程根相关求值问题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的结构，可先通过提取公因式对代数式进行因式分解，将其转化为含两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根和与两根积，代入即可求出结果，无需单独求解方程的两个根，简化计算过程。
【解析】
首先对所求代数式因式分解：
$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$
对于一元二次方程$x^2 - x -6=0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-6$，根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{1}=1$
两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1}=-6$
将上述结果代入因式分解后的式子：
原式$= (-6) × 1 = -6$
【答案】
-6
【知识点】
因式分解的应用；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于代数式求值类基础题，核心解题思路是将待求式转化为两根和与两根积的组合形式，利用根与系数的关系快速计算，避免了解方程的繁琐步骤，是一元二次方程根相关求值问题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
6. 已知 $ x_1 $，$ x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 - x - 4 = 0 $ 的两个实数根，求 $ (x_1 + 2)(x_2 + 2) $ 的值.
答案
6. 2
解析
【分析】
要计算$(x_1+2)(x_2+2)$的值，若直接求解一元二次方程得到$x_1$、$x_2$的具体值再代入计算，过程较繁琐。我们可以先将待求式展开整理，会发现展开式中包含$x_1+x_2$和$x_1x_2$两项，正好可以利用一元二次方程根与系数的关系直接求出这两个式子的值，再整体代入即可快速得到结果，避免复杂的开方运算。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 4 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-4$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两个实根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -4$。
将待求式展开化简：
$(x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4$
把$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-4$代入上式：
原式$= -4 + 2×1 + 4 = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；整式化简求值
【点评】
本题采用整体代入的思想解题，无需计算出方程两根的具体数值，既简化了计算步骤，也能减少计算错误，要熟练掌握利用韦达定理处理一元二次方程两根相关代数式求值的方法。
【难度系数】
0.8
要计算$(x_1+2)(x_2+2)$的值，若直接求解一元二次方程得到$x_1$、$x_2$的具体值再代入计算，过程较繁琐。我们可以先将待求式展开整理，会发现展开式中包含$x_1+x_2$和$x_1x_2$两项，正好可以利用一元二次方程根与系数的关系直接求出这两个式子的值，再整体代入即可快速得到结果，避免复杂的开方运算。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - x - 4 = 0$，其中$a=1$，$b=-1$，$c=-4$。
根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两个实根$x_1$、$x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 1$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -4$。
将待求式展开化简：
$(x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 = x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4$
把$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-4$代入上式：
原式$= -4 + 2×1 + 4 = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；整式化简求值
【点评】
本题采用整体代入的思想解题，无需计算出方程两根的具体数值，既简化了计算步骤，也能减少计算错误，要熟练掌握利用韦达定理处理一元二次方程两根相关代数式求值的方法。
【难度系数】
0.8
7. 已知方程 $x^2 + 3x -1=0$ 的两个实数根分别为 $α$，$β$，不解方程求下列式子的值.
(1) $α^2 + β^2$；
(2) $\frac{α}{β} + \frac{β}{α}$.
(1) $α^2 + β^2$；
(2) $\frac{α}{β} + \frac{β}{α}$.
答案
7. 解 (1) 因为方程 $x^2 + 3x - 1 = 0$ 的两个实数根为 $α,β$,
所以 $α+β=-3$，$αβ=-1$.
所以 $α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=9+2=11$.
(2) 因为 $α+β=-3$，$αβ=-1$,
所以 $\frac{α}{β}+\frac{β}{α}=\frac{α^2+β^2}{αβ}=\frac{11}{-1}=-11$.
所以 $α+β=-3$，$αβ=-1$.
所以 $α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=9+2=11$.
(2) 因为 $α+β=-3$，$αβ=-1$,
所以 $\frac{α}{β}+\frac{β}{α}=\frac{α^2+β^2}{αβ}=\frac{11}{-1}=-11$.
解析
【分析】
本题要求不解方程求关于两根的代数式的值，解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和$α+β$与两根之积$αβ$的值；第二步，将所求的代数式通过公式变形、通分等方式转化为仅含$α+β$和$αβ$的形式；第三步，将第一步求出的数值代入变形后的式子计算即可得到结果。其中第一问的平方和可以用完全平方公式变形得到，第二问的分式求和先通分后可直接用到第一问的计算结果，能简化计算。
【解析】
解：
∵方程$x^2 + 3x -1=0$的两个实数根为$α$，$β$
∴根据根与系数的关系可得：$α+β=-3$，$αβ=-1$
(1) 利用完全平方公式变形得：
$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$
将$α+β=-3$，$αβ=-1$代入得：
原式$=(-3)^2 - 2×(-1)=9+2=11$
(2) 先对分式通分化简：
$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}=\frac{α^2+β^2}{αβ}$
将$α^2+β^2=11$，$αβ=-1$代入得：
原式$=\frac{11}{-1}=-11$
【答案】
(1) $\boxed{11}$；(2) $\boxed{-11}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
3. 分式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将含两根的对称代数式转化为两根之和、两根之积的表达式，无需解方程即可快速求值，熟练掌握常见代数式的变形技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题要求不解方程求关于两根的代数式的值，解题思路如下：第一步，先根据一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和$α+β$与两根之积$αβ$的值；第二步，将所求的代数式通过公式变形、通分等方式转化为仅含$α+β$和$αβ$的形式；第三步，将第一步求出的数值代入变形后的式子计算即可得到结果。其中第一问的平方和可以用完全平方公式变形得到，第二问的分式求和先通分后可直接用到第一问的计算结果，能简化计算。
【解析】
解：
∵方程$x^2 + 3x -1=0$的两个实数根为$α$，$β$
∴根据根与系数的关系可得：$α+β=-3$，$αβ=-1$
(1) 利用完全平方公式变形得：
$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ$
将$α+β=-3$，$αβ=-1$代入得：
原式$=(-3)^2 - 2×(-1)=9+2=11$
(2) 先对分式通分化简：
$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}=\frac{α^2+β^2}{αβ}$
将$α^2+β^2=11$，$αβ=-1$代入得：
原式$=\frac{11}{-1}=-11$
【答案】
(1) $\boxed{11}$；(2) $\boxed{-11}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形
3. 分式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将含两根的对称代数式转化为两根之和、两根之积的表达式，无需解方程即可快速求值，熟练掌握常见代数式的变形技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
