登录
知识点一 垂径定理
1. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
2. 垂径定理：
1. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
2. 垂径定理：
垂直
于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.答案
2. 垂直
解析
【分析】
本题是对垂径定理基础概念的考查，解题时只需准确回忆垂径定理的完整表述即可。垂径定理是圆相关内容的核心基础定理，其构成包含两个核心前提：一是存在过圆心的直径，二是该直径与弦垂直，满足这两个前提才能得到平分弦、平分弦所对两条弧的结论，结合题干给出的后半部分定理内容，直接对应填写缺失的前提条件即可。
【解析】
根据垂径定理的标准表述：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，可知空缺处应填入“垂直”。
【答案】
垂直
【知识点】
1.垂径定理
2.圆的基本性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对教材核心定理内容的记忆准确度，学习基础定理时要明确定理的前提条件和对应结论，夯实基础。
【难度系数】
0.9
本题是对垂径定理基础概念的考查，解题时只需准确回忆垂径定理的完整表述即可。垂径定理是圆相关内容的核心基础定理，其构成包含两个核心前提：一是存在过圆心的直径，二是该直径与弦垂直，满足这两个前提才能得到平分弦、平分弦所对两条弧的结论，结合题干给出的后半部分定理内容，直接对应填写缺失的前提条件即可。
【解析】
根据垂径定理的标准表述：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，可知空缺处应填入“垂直”。
【答案】
垂直
【知识点】
1.垂径定理
2.圆的基本性质
【点评】
本题属于基础识记类题目，重点考查对教材核心定理内容的记忆准确度，学习基础定理时要明确定理的前提条件和对应结论，夯实基础。
【难度系数】
0.9
例1 如图，在$\odot O$中，弦$AB=2\sqrt{3}$，圆心$O$到$AB$的距离$OC=1$，则$\odot O$的半径为________。
解析 根据题意得$OC⊥ AB$，
所以$∠ BCO=90°$，$AC=BC=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
答案 2
解析 根据题意得$OC⊥ AB$，
所以$∠ BCO=90°$，$AC=BC=\dfrac{1}{2}AB=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$。
答案 2
答案
2
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：OC是圆心O到弦AB的距离，因此OC⊥AB，首先联想到垂径定理，可得到AB被OC平分，从而求出半弦BC的长度；此时OC、BC、半径OB构成直角三角形，已知两条直角边的长度，利用勾股定理即可求出斜边OB也就是圆的半径。
【解析】
解：
∵OC是圆心O到弦AB的距离，
∴OC⊥AB，
由垂径定理可得：$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，且$∠OCB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$，
即$\odot O$的半径为2。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心是掌握“半径、半弦长、圆心距三者构成直角三角形”的模型，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察图形特征：OC是圆心O到弦AB的距离，因此OC⊥AB，首先联想到垂径定理，可得到AB被OC平分，从而求出半弦BC的长度；此时OC、BC、半径OB构成直角三角形，已知两条直角边的长度，利用勾股定理即可求出斜边OB也就是圆的半径。
【解析】
解：
∵OC是圆心O到弦AB的距离，
∴OC⊥AB，
由垂径定理可得：$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，且$∠OCB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$，
即$\odot O$的半径为2。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心是掌握“半径、半弦长、圆心距三者构成直角三角形”的模型，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，是圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
知识点二 垂径定理的应用
1. “垂径定理”的五个条件：①过圆心、②垂直于弦、③平分弦（不是直径）、④平分优弧、⑤平分劣弧，已知任意两个能推出另外三个.
—解题要点
当出现“直径、弦、垂直”
时，常连接半径，构造一个
以半径r、弦心距d（圆心
到弦的距离）、弦长的一半
为边的直角三角形.
2. 垂径定理的推论：
1. “垂径定理”的五个条件：①过圆心、②垂直于弦、③平分弦（不是直径）、④平分优弧、⑤平分劣弧，已知任意两个能推出另外三个.
—解题要点
当出现“直径、弦、垂直”
时，常连接半径，构造一个
以半径r、弦心距d（圆心
到弦的距离）、弦长的一半
为边的直角三角形.
2. 垂径定理的推论：
平分
弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.答案
2. 平分
解析
【分析】
解题时首先回忆垂径定理推论的具体内容，题目给出的推论表述中，横线处是对弦的限定条件。结合垂径定理的相关结论可知：当直径满足平分非直径的弦这一条件时，就能推出该直径垂直于弦、且平分弦所对的两条弧，因此横线处应填对应的限定词，同时要注意推论中特意强调“弦不是直径”，是因为两条直径互相平分但不一定垂直，需要排除这一特殊情况。
【解析】
根据垂径定理的推论标准表述：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，可知横线处应填写“平分”。
【答案】
平分
【知识点】
1.垂径定理的推论
2.圆的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对垂径定理推论的识记情况，学习过程中要注意推论里“弦不是直径”的限制条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆垂径定理推论的具体内容，题目给出的推论表述中，横线处是对弦的限定条件。结合垂径定理的相关结论可知：当直径满足平分非直径的弦这一条件时，就能推出该直径垂直于弦、且平分弦所对的两条弧，因此横线处应填对应的限定词，同时要注意推论中特意强调“弦不是直径”，是因为两条直径互相平分但不一定垂直，需要排除这一特殊情况。
【解析】
根据垂径定理的推论标准表述：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，可知横线处应填写“平分”。
【答案】
平分
【知识点】
1.垂径定理的推论
2.圆的基本性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对垂径定理推论的识记情况，学习过程中要注意推论里“弦不是直径”的限制条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
