1. 要作一个圆经过点 P，且半径为 5 cm，这样的圆有 （）

A.1个
B.2个
C.无数个
D.0个

1. C

【分析】
要解决这道题，首先回忆确定圆的两个必要条件：圆心和半径，二者缺一不可。题目已经给定圆的半径为5cm，且要求圆经过点P，因此只需分析满足条件的圆心有多少个即可：圆经过点P意味着圆心到点P的距离必须等于半径5cm，所有满足到点P距离为5cm的点都可以作为圆心，这类点的数量决定了符合要求的圆的数量。
【解析】
确定一个圆需要两个要素：圆心和半径。
本题中已知所求圆的半径为5cm，且圆要经过点P，因此圆心到点P的距离必须等于半径5cm。
所有满足“到点P的距离为5cm”的点的轨迹，是以点P为圆心、5cm为半径的圆，这个轨迹上存在无数个点，每一个点都可以作为所求圆的圆心，对应作出一个符合要求的圆。
因此这样的圆有无数个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 圆的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是掌握确定圆的两个要素，结合点与点的距离要求判断圆心的可选数量，难度较低，掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 过已知两点A，B作圆，圆心 （）

A.在射线AB上
B.在线段AB上
C.在$∠ A$的平分线上
D.在线段AB的垂直平分线上

2. D

【分析】
解题时首先回忆圆的基本特征：同圆的所有半径长度相等，因此过A、B两点的圆的圆心到A、B两点的距离一定相等。接下来思考：平面内到两个定点A、B距离相等的点的集合是什么？根据线段垂直平分线的判定定理，这类点都在线段AB的垂直平分线上，由此即可锁定正确选项，再逐一排除其他错误选项即可。
【解析】
设过A、B两点的圆的圆心为O，根据圆的性质可知，圆上任意点到圆心的距离等于半径，因此OA=OB。
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可得点O在线段AB的垂直平分线上。
对其他选项逐一分析：
A. 射线AB上的点除AB中点外，到A、B的距离均不相等，不符合要求；
B. 仅当圆以AB为直径时圆心在线段AB上，不是所有情况都满足；
C. ∠A的平分线上的点仅保证到∠A两边的距离相等，不能保证到点B的距离等于到点A的距离，不符合要求。
因此只有D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础概念应用题，将圆的半径性质和线段垂直平分线的判定相结合，解题关键是抓住“圆心到A、B两点距离相等”这一核心条件。
【难度系数】
0.9

3. 下列关于过三点作圆的说法正确的是
（）

A.任意三点都能确定一个圆
B.等腰三角形的外心一定在三角形内部
C.锐角三角形的外心在三角形内部
D.直角三角形的外心在直角边上

3. C

【分析】
这道题需要结合确定圆的条件和三角形外心的相关知识逐一判断选项。解题时首先回忆两个核心知识点：① 不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，共线三点无法作圆；② 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心，不同类型三角形的外心位置有明确规律：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部。带着上述规律逐个核对选项即可选出正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆，因此“任意三点都能确定一个圆”的说法错误；
B选项：等腰三角形既可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形，当为等腰钝角三角形时外心在三角形外部，等腰直角三角形时外心在斜边中点，因此外心不一定在三角形内部，该说法错误；
C选项：锐角三角形的三边垂直平分线交点位于三角形内部，即锐角三角形的外心在三角形内部，该说法正确；
D选项：直角三角形的外心是斜边的中点，位于斜边上，并不在直角边上，该说法错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件、三角形外心的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于容易忽略等腰三角形包含钝角、直角的特殊情况，同时要注意区分直角三角形外心的具体位置，牢记三类三角形外心的位置规律即可顺利得分。
【难度系数】
0.7

4. 三角形的外心到三角形的距离相等。

4. 三个顶点

【分析】
解决这道题首先要回忆三角形外心的定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，同时也是三角形外接圆的圆心。接下来结合线段垂直平分线的性质推导：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，外心同时在三条边的垂直平分线上，因此它到三角形三个顶点的距离都相等，也可以结合外接圆的性质理解：外接圆的半径长度相等，外心到各顶点的距离就是外接圆半径，因此距离相等，即可得出答案。
【解析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，外心位于三角形三条边的垂直平分线上，因此外心到三角形三个顶点的距离相等，该距离就是三角形外接圆的半径长度。
【答案】
三个顶点
【知识点】
1. 三角形外心的定义
2. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对三角形外心性质的记忆，解题的关键是区分开外心和内心的性质，避免混淆（内心是三角形内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等）。
【难度系数】
0.9

5. 若一个三角形的外心在它的一条边上，
那么这个三角形是三角形。

5. 直角

【分析】
解题时首先回忆三角形外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点。接下来思考不同类型三角形外心的位置规律：锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部，只有直角三角形的外心落在斜边的中点处，也就是在三角形的一条边上，对应题目给出的条件，即可判断三角形的类型。
【解析】
解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，也是三角形三边垂直平分线的交点。
①锐角三角形的外心位于三角形内部；
②钝角三角形的外心位于三角形外部；
③直角三角形的外接圆直径为斜边，因此外心是斜边的中点，落在斜边上（属于三角形的一条边）。
结合题目“外心在它的一条边上”的条件，可知这个三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形外心的概念；外心位置与三角形类型的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生掌握不同形状三角形的外心位置规律，熟记相关结论即可快速作答。
【难度系数】
0.8

6. 我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆. 不难理解，经过一个已知点A作圆，能作出无数个. 回答下列问题：
（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出个圆；
（2）如图，已知不共线的三点A，B，C，请你利用尺规作图，确定过点A，B，C的$\odot O$的位置（要求保留作图痕迹，不写作法）.

6. 解（1）无数
（2）如图，$\odot O$即为所求.

【分析】
（1）思考经过两点作圆的圆心要求：圆心到两个点的距离必须相等，根据线段垂直平分线的性质，到A、B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，每个点都可作为圆心，因此可作无数个圆。
（2）对于不共线的三点A、B、C，过这三点的圆的圆心需要到A、B、C三点的距离都相等，所以圆心是线段AB、BC（或AC）的垂直平分线的交点，找到交点O后，以O为圆心、OA（或OB、OC）为半径作圆即可。
【解析】
（1）经过两个已知点A、B作圆时，圆心需满足到A、B的距离相等，即圆心位于线段AB的垂直平分线上。由于线段垂直平分线上有无数个点，任意一个点作为圆心都可以作出过A、B的圆，因此可以作出无数个圆。
（2）要确定过不共线三点A、B、C的⊙O，只需分别作出线段AB和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心O，再以O为圆心、OA的长度为半径作圆即可，作图保留垂直平分线的痕迹即可。
【答案】
（1）无数
（2）如图，$\odot O$即为所求.
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题考查圆的确定相关知识，核心是理解“到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上”，掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆的原理，熟悉基本尺规作图的操作即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

7. 当用反证法证明“一个三角形中不能有两个钝角”时，第一步应假设 （）

A.一个三角形中不能有两个角为锐角
B.一个三角形中不能有两个角为钝角
C.一个三角形中能有两个角为锐角
D.一个三角形中能有两个角为钝角

7. D

【分析】
解决这道题首先要明确反证法的第一步要求：反证法证明命题时，第一步需要先假设待证命题的结论不成立，也就是假设结论的反面是成立的。首先定位本题待证命题的结论为“一个三角形中不能有两个钝角”，我们只需要找出这个结论的否定形式，对应选项即可选出正确答案。
【解析】
反证法的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题要证明的命题结论是“一个三角形中不能有两个钝角”，对该结论进行否定：“不能有”的否定为“能有”，因此第一步应假设“一个三角形中能有两个钝角”，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握反证法的第一步操作逻辑，解题的关键在于准确找到原命题的结论，并且正确对结论进行否定，注意不要弄错否定词的对应关系。
【难度系数】
0.9

8. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为三个步骤，正确的顺序应为（填序号）。
①$∠ A + ∠ B + ∠ C = 90° + 90° + ∠ C ＞ 180°$，这与三角形内角和为$180°$相矛盾，所以$∠ A = ∠ B = 90°$不成立。
②所以一个三角形中不能有两个直角。
③假设三角形的三个内角$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$中有两个直角，不妨设$∠ A = ∠ B = 90°$。

8. ③①②

【分析】
要确定反证法的步骤顺序，首先需明确反证法的三个核心流程：第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，肯定命题的反面；第二步是归谬，从反设的内容出发推导，得出与已知定理、公理矛盾的结果；第三步是存真，根据矛盾判定反设错误，进而肯定原命题的结论。将三个序号对应上述步骤即可：首先是做假设的③，其次是推导矛盾的①，最后是得出原命题结论的②。
【解析】
反证法证明该命题的完整逻辑顺序如下：
1. 反设阶段：否定原命题结论，假设三角形的三个内角中有两个直角，不妨设$∠A=∠B=90°$，对应序号③；
2. 归谬阶段：从假设出发计算内角和，可得$∠ A + ∠ B + ∠ C = 90° + 90° + ∠ C ＞ 180°$，这与三角形内角和为$180°$的定理矛盾，说明假设不成立，对应序号①；
3. 存真阶段：由假设不成立可推出原命题成立，即一个三角形中不能有两个直角，对应序号②。
因此正确顺序为③①②。
【答案】
③①②
【知识点】
反证法；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题关键是熟记反证法“反设-归谬-存真”的三步逻辑，属于基础类逻辑推理题型。
【难度系数】
0.9

9. 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.

9. 证明 假设等腰三角形的底角不是锐角，即底角大于或等于 90°. 则两个底角之和大于或等于 180°，这与三角形内角和为 180°矛盾. 所以假设错误，原命题成立，等腰三角形的底角一定是锐角.

【分析】
使用反证法证明命题需遵循三个步骤：第一步反设，否定待证命题的结论；第二步推导矛盾，从反设出发结合已知条件、定理推导出与公理、定理或已知相矛盾的结果；第三步定论，否定反设，肯定原命题结论。本题要证明等腰三角形底角是锐角，首先反设“等腰三角形的底角不是锐角（即大于或等于90°）”，再结合等腰三角形两底角相等的性质，可算出两个底角的和大于或等于180°，这与三角形内角和为180°的定理矛盾，即可推翻反设，证明原命题成立。
【解析】
先明确已知与求证：
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B和∠C为底角。
求证：∠B、∠C都是锐角。
证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，即底角大于或等于90°。
因为等腰三角形两个底角相等，所以两个底角的和≥90°×2=180°，此时三角形三个内角的和必然大于180°，这与三角形内角和为180°的定理相矛盾。
因此假设不成立，原命题成立，即等腰三角形的底角一定是锐角。
【答案】
证明 假设等腰三角形的底角不是锐角，即底角大于或等于 90°. 则两个底角之和大于或等于 180°，这与三角形内角和为 180°矛盾. 所以假设错误，原命题成立，等腰三角形的底角一定是锐角.
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是正确作出反设，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理推导矛盾，掌握反证法的基本解题步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8