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例2 小明制作了一副弓箭，示意图如图所示，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为点O，弓弦部分AB的长为4 dm，点D是弓臂$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD交AB于点C，D，C两点之间的距离为1 dm，则弓臂$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径为 （
A.2 dm
B.2.5 dm
C.3 dm
D.4 dm
解析 因为点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，点O是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心，所以$OD ⊥ AB$。所以$AC=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{dm}$。
设圆的半径为$r\ \mathrm{dm}$。
因为$CD=1\ \mathrm{dm}$，所以$OC=(r-1)\ \mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA^2 - OC^2 = AC^2$，
即$r^2 - (r-1)^2 = 2^2$，解得$r=2.5\ \mathrm{dm}$。
答案 B
特别提醒
在垂径定理的推论中，“平分弦”中的“弦”不能是直径. 因为一个圆的直径总会被圆心平分，且平分它的直径有无数条，并不唯一.
解题要点
本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，解决本题的关键是理解并掌握垂径定理.
B
）A.2 dm
B.2.5 dm
C.3 dm
D.4 dm
解析 因为点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，点O是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心，所以$OD ⊥ AB$。所以$AC=\frac{1}{2}AB=2\ \mathrm{dm}$。
设圆的半径为$r\ \mathrm{dm}$。
因为$CD=1\ \mathrm{dm}$，所以$OC=(r-1)\ \mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA^2 - OC^2 = AC^2$，
即$r^2 - (r-1)^2 = 2^2$，解得$r=2.5\ \mathrm{dm}$。
答案 B
特别提醒
在垂径定理的推论中，“平分弦”中的“弦”不能是直径. 因为一个圆的直径总会被圆心平分，且平分它的直径有无数条，并不唯一.
解题要点
本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，解决本题的关键是理解并掌握垂径定理.
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件回忆垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。由D是$\overset{\frown}{AB}$中点、O是圆心，可推出OD垂直平分AB，得到AC的长度；接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出OC的长度，再在直角三角形OAC中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
∵点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，点O是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心，
∴根据垂径定理推论得$OD ⊥ AB$，且$AC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=4\ \mathrm{dm}$，因此$AC=\frac{1}{2} × 4=2\ \mathrm{dm}$。
设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径为$r\ \mathrm{dm}$，则$OA=OD=r\ \mathrm{dm}$，
∵$CD=1\ \mathrm{dm}$，
∴$OC=OD-CD=(r-1)\ \mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得：$r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开计算：$r^2=r^2-2r+1+4$，
移项化简得$2r=5$，解得$r=2.5$。
即弓臂$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径为2.5 dm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中半径计算的典型基础题，将几何定理与代数方程结合考查，解题的核心是熟练运用垂径定理得到直角三角形，再通过勾股定理建立等量关系求解，这类“设未知数列方程”的思路在几何计算中非常常用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件回忆垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。由D是$\overset{\frown}{AB}$中点、O是圆心，可推出OD垂直平分AB，得到AC的长度；接下来设圆的半径为r，用含r的式子表示出OC的长度，再在直角三角形OAC中利用勾股定理列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】
∵点D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，点O是$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心，
∴根据垂径定理推论得$OD ⊥ AB$，且$AC=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=4\ \mathrm{dm}$，因此$AC=\frac{1}{2} × 4=2\ \mathrm{dm}$。
设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径为$r\ \mathrm{dm}$，则$OA=OD=r\ \mathrm{dm}$，
∵$CD=1\ \mathrm{dm}$，
∴$OC=OD-CD=(r-1)\ \mathrm{dm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入得：$r^2=(r-1)^2+2^2$，
展开计算：$r^2=r^2-2r+1+4$，
移项化简得$2r=5$，解得$r=2.5$。
即弓臂$\overset{\frown}{AB}$所在圆的半径为2.5 dm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中半径计算的典型基础题，将几何定理与代数方程结合考查，解题的核心是熟练运用垂径定理得到直角三角形，再通过勾股定理建立等量关系求解，这类“设未知数列方程”的思路在几何计算中非常常用。
【难度系数】
0.7
1. 下列说法正确的是 （
A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D.在一个圆内，平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
D
）A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心
D.在一个圆内，平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查垂径定理及其推论的应用，解题时需先明确垂径定理及各推论的成立条件，再逐一排查每个选项是否符合定理要求，排除存在条件遗漏的错误选项，最终确定正确答案。核心要注意各结论成立的限定条件，避免忽略特殊情况（如直径是特殊的弦）导致判断错误。
【解析】
结合垂径定理及推论逐一分析选项：
A选项：若两条直径互相平分，它们不一定垂直，该选项遗漏了“被平分的弦不是直径”的前提，故A错误；
B选项：平分弧的直线有无数条，只有过圆心且平分弧的直线才垂直于弧所对的弦，故B错误；
C选项：弦的垂线有无数条，只有弦的垂直平分线才经过圆心，故C错误；
D选项：平分弧的点和弦中点的连线是该弦的垂直平分线，而弦的垂直平分线一定经过圆的圆心，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及推论；弦的垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是忽略定理的前提限定，答题时要注意区分“直线”和“直径”、“垂线”和“垂直平分线”的差异，牢记特殊情况（直径是特殊的弦）对结论的影响。
【难度系数】
0.7
本题考查垂径定理及其推论的应用，解题时需先明确垂径定理及各推论的成立条件，再逐一排查每个选项是否符合定理要求，排除存在条件遗漏的错误选项，最终确定正确答案。核心要注意各结论成立的限定条件，避免忽略特殊情况（如直径是特殊的弦）导致判断错误。
【解析】
结合垂径定理及推论逐一分析选项：
A选项：若两条直径互相平分，它们不一定垂直，该选项遗漏了“被平分的弦不是直径”的前提，故A错误；
B选项：平分弧的直线有无数条，只有过圆心且平分弧的直线才垂直于弧所对的弦，故B错误；
C选项：弦的垂线有无数条，只有弦的垂直平分线才经过圆心，故C错误；
D选项：平分弧的点和弦中点的连线是该弦的垂直平分线，而弦的垂直平分线一定经过圆的圆心，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理及推论；弦的垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是忽略定理的前提限定，答题时要注意区分“直线”和“直径”、“垂线”和“垂直平分线”的差异，牢记特殊情况（直径是特殊的弦）对结论的影响。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在半径为$\sqrt{5}$的$\odot O$中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为 P，且AB=CD=4，则 OP 的长为 （
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$2\sqrt{2}$
B
）A.1
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$2\sqrt{2}$
答案
2. B
解析
【分析】
遇到圆中已知弦长求线段长度的问题，优先运用垂径定理求解：首先过圆心分别作两条弦的垂线，利用垂径定理求出弦心距的长度，再结合两条弦互相垂直的条件，判断出交点、两个垂足、圆心构成的四边形的形状，最终求出OP的长度。
【解析】
过点O作$OM ⊥ AB$于M，$ON ⊥ CD$于N。
根据垂径定理，可得：$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 4=2$，$DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 4=2$。
在$Rt△ OMB$中，$OB=\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{5-4}=1$，
同理可得$ON=1$。
$\because AB ⊥ CD$，$OM ⊥ AB$，$ON ⊥ CD$，
$\therefore ∠ OMP=∠ ONP=∠ MPN=90°$，
$\therefore$四边形OMPN是矩形，
又$\because OM=ON=1$，
$\therefore$矩形OMPN是正方形，
$\therefore OP$为正方形的对角线，$OP=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和特殊四边形的性质求解，熟练掌握垂径定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
遇到圆中已知弦长求线段长度的问题，优先运用垂径定理求解：首先过圆心分别作两条弦的垂线，利用垂径定理求出弦心距的长度，再结合两条弦互相垂直的条件，判断出交点、两个垂足、圆心构成的四边形的形状，最终求出OP的长度。
【解析】
过点O作$OM ⊥ AB$于M，$ON ⊥ CD$于N。
根据垂径定理，可得：$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 4=2$，$DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2} × 4=2$。
在$Rt△ OMB$中，$OB=\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{5-4}=1$，
同理可得$ON=1$。
$\because AB ⊥ CD$，$OM ⊥ AB$，$ON ⊥ CD$，
$\therefore ∠ OMP=∠ ONP=∠ MPN=90°$，
$\therefore$四边形OMPN是矩形，
又$\because OM=ON=1$，
$\therefore$矩形OMPN是正方形，
$\therefore OP$为正方形的对角线，$OP=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和特殊四边形的性质求解，熟练掌握垂径定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
