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3. 如图，AB，AC是$\odot O$的两条弦，$AB⊥ AC$，且$AB=8$，$AC=6$，则$\odot O$的半径等于
5
。答案
3. 5
解析
【分析】
已知AB、AC是$\odot O$的弦且互相垂直，可得$∠ BAC$是$90°$的圆周角，根据圆周角定理的推论，$90°$的圆周角所对的弦是圆的直径，因此连接BC后BC就是$\odot O$的直径。接下来在直角三角形ABC中，已知两条直角边的长度，利用勾股定理可求出斜边BC的长度，将直径长度除以2即可得到圆的半径。
【解析】
连接BC，
$\because AB⊥ AC$，
$\therefore ∠ BAC=90°$，
又$\because$点A、B、C都在$\odot O$上，
$\therefore ∠ BAC$是$\odot O$的圆周角，根据“$90°$的圆周角所对的弦是直径”，可得BC为$\odot O$的直径。
在$Rt△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
$\therefore \odot O$的半径为$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理；直径的判定
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题型，解题的突破口是根据垂直的弦推出直径，再结合勾股定理计算，需要熟练掌握圆周角定理的相关推论并灵活运用。
【难度系数】
0.8
已知AB、AC是$\odot O$的弦且互相垂直，可得$∠ BAC$是$90°$的圆周角，根据圆周角定理的推论，$90°$的圆周角所对的弦是圆的直径，因此连接BC后BC就是$\odot O$的直径。接下来在直角三角形ABC中，已知两条直角边的长度，利用勾股定理可求出斜边BC的长度，将直径长度除以2即可得到圆的半径。
【解析】
连接BC，
$\because AB⊥ AC$，
$\therefore ∠ BAC=90°$，
又$\because$点A、B、C都在$\odot O$上，
$\therefore ∠ BAC$是$\odot O$的圆周角，根据“$90°$的圆周角所对的弦是直径”，可得BC为$\odot O$的直径。
在$Rt△ ABC$中，$AB=8$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
$\therefore \odot O$的半径为$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
圆周角定理推论；勾股定理；直径的判定
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础题型，解题的突破口是根据垂直的弦推出直径，再结合勾股定理计算，需要熟练掌握圆周角定理的相关推论并灵活运用。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AB是$\odot O$的直径，BC是弦，$OD⊥ BC$于点E，交$\overset{\frown}{BC}$于点D.
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若$BC=8$，$ED=2$，求$\odot O$的半径.
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若$BC=8$，$ED=2$，求$\odot O$的半径.
答案
解 （1）答案不唯一，例如：$BE = CE$，$∠ BED = 90°$，合理即可。
（2）因为 $OD ⊥ BC$，所以 $BE = CE = \frac{1}{2}BC = 4$。设$\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OE = OD - DE = r - 2$。在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中，由勾股定理得 $OE^2 + BE^2 = OB^2$，即 $(r-2)^2 + 4^2 = r^2$，解得 $r=5$。所以$\odot O$ 的半径为 5。
（2）因为 $OD ⊥ BC$，所以 $BE = CE = \frac{1}{2}BC = 4$。设$\odot O$ 的半径为 $r$，则 $OE = OD - DE = r - 2$。在 $\mathrm{Rt}△ OEB$ 中，由勾股定理得 $OE^2 + BE^2 = OB^2$，即 $(r-2)^2 + 4^2 = r^2$，解得 $r=5$。所以$\odot O$ 的半径为 5。
解析
【分析】
（1）第一问可从不同维度推导结论：已知AB是圆的直径，可得直径所对圆周角为直角；已知OD垂直弦BC，根据垂径定理可得到线段相等、弧相等的结论，还可结合垂直关系推导AC与OD的平行关系，任选两个不同类型的结论即可。
（2）第二问求圆的半径，首先利用垂径定理得到BC的一半长度，再设半径为r，用r表示出OE的长度，最后在直角三角形OEB中利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
（1）答案不唯一，合理即可，示例如下：
① 线段相等：$BE=CE$；② 位置关系：$AC// OD$（也可写$∠ ACB=90°$、$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$等）
（2）解：
$\because OD⊥ BC$，由垂径定理可得$BE=CE=\frac{1}{2}BC$
已知$BC=8$，$\therefore BE=\frac{1}{2}×8=4$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OD=r$
$\because ED=2$，$\therefore OE=OD-ED=r-2$
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中，根据勾股定理：$OE^2+BE^2=OB^2$
代入边长可得：$(r-2)^2+4^2=r^2$
展开计算：$r^2-4r+4+16=r^2$
化简得：$-4r+20=0$
解得：$r=5$
【答案】
（1）示例：$BE=CE$，$AC// OD$（答案不唯一）；（2）$\odot O$的半径为$\boxed{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，既考查对圆相关性质的理解，也考查方程思想在几何计算中的应用，解题核心是熟练运用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解未知量。
【难度系数】
0.8
（1）第一问可从不同维度推导结论：已知AB是圆的直径，可得直径所对圆周角为直角；已知OD垂直弦BC，根据垂径定理可得到线段相等、弧相等的结论，还可结合垂直关系推导AC与OD的平行关系，任选两个不同类型的结论即可。
（2）第二问求圆的半径，首先利用垂径定理得到BC的一半长度，再设半径为r，用r表示出OE的长度，最后在直角三角形OEB中利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
（1）答案不唯一，合理即可，示例如下：
① 线段相等：$BE=CE$；② 位置关系：$AC// OD$（也可写$∠ ACB=90°$、$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$等）
（2）解：
$\because OD⊥ BC$，由垂径定理可得$BE=CE=\frac{1}{2}BC$
已知$BC=8$，$\therefore BE=\frac{1}{2}×8=4$
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OD=r$
$\because ED=2$，$\therefore OE=OD-ED=r-2$
在$\mathrm{Rt}△ OEB$中，根据勾股定理：$OE^2+BE^2=OB^2$
代入边长可得：$(r-2)^2+4^2=r^2$
展开计算：$r^2-4r+4+16=r^2$
化简得：$-4r+20=0$
解得：$r=5$
【答案】
（1）示例：$BE=CE$，$AC// OD$（答案不唯一）；（2）$\odot O$的半径为$\boxed{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，既考查对圆相关性质的理解，也考查方程思想在几何计算中的应用，解题核心是熟练运用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解未知量。
【难度系数】
0.8
5. 唐代李皋曾造战船，船上装有脚踏木轮，借木轮激水前进，这类船在宋代得到发展，常被称为“车船”. 如图，某车船的轮子半径为5 m，被水面截得的弦AB长8 m，则轮子的吃水深度CD为 (
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
A
)A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
答案
5. A
解析
【分析】
本题是圆的相关知识在实际场景中的应用题，解题思路如下：首先明确圆O的半径为5m，OC垂直于弦AB，符合垂径定理的使用条件；先利用垂径定理求出弦AB的一半AD的长度，再在直角三角形OAD中用勾股定理求出OD的长度，最后吃水深度CD等于半径OC减去OD的长度，代入数值计算即可得到答案。
【解析】
解：连接OA，由题意得：OA=OC=5m，OC⊥AB。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3\mathrm{m}$
因此吃水深度$CD=OC - OD=5 - 3=2\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，将实际问题转化为几何模型是解题的切入点，熟练掌握垂径定理和勾股定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是圆的相关知识在实际场景中的应用题，解题思路如下：首先明确圆O的半径为5m，OC垂直于弦AB，符合垂径定理的使用条件；先利用垂径定理求出弦AB的一半AD的长度，再在直角三角形OAD中用勾股定理求出OD的长度，最后吃水深度CD等于半径OC减去OD的长度，代入数值计算即可得到答案。
【解析】
解：连接OA，由题意得：OA=OC=5m，OC⊥AB。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3\mathrm{m}$
因此吃水深度$CD=OC - OD=5 - 3=2\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，将实际问题转化为几何模型是解题的切入点，熟练掌握垂径定理和勾股定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P位于第一象限，$\odot P$与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0）。若$\odot P$的半径为$\sqrt{13}$，则点P的坐标为
(3, 2)
。答案
6. (3, 2)
解析
【分析】
首先回忆圆的性质：圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心。已知OA是⊙P的弦，因此圆心P在OA的垂直平分线上，可先确定P点的横坐标；再结合⊙P的半径长度，用勾股定理求出P点的纵坐标，即可得到P的坐标。
【解析】
过点P作PB⊥x轴于点B，连接OP。
∵⊙P过O、A两点，且PB⊥OA，
∴根据垂径定理，B为OA的中点。
∵A点坐标为(6,0)，O为坐标原点，
∴OA=6，OB=$\frac{1}{2}$OA=3，即点P的横坐标为3。
∵⊙P的半径为$\sqrt{13}$，
∴OP=$\sqrt{13}$。
在Rt△POB中，由勾股定理得：
$PB=\sqrt{OP^2 - OB^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
∵点P位于第一象限，纵坐标为正，
∴点P的坐标为(3,2)。
【答案】
(3, 2)
【知识点】
垂径定理；勾股定理；点的坐标
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题核心是利用垂径定理确定圆心的横坐标，再构造直角三角形计算纵坐标，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先回忆圆的性质：圆的任意一条弦的垂直平分线都经过圆心。已知OA是⊙P的弦，因此圆心P在OA的垂直平分线上，可先确定P点的横坐标；再结合⊙P的半径长度，用勾股定理求出P点的纵坐标，即可得到P的坐标。
【解析】
过点P作PB⊥x轴于点B，连接OP。
∵⊙P过O、A两点，且PB⊥OA，
∴根据垂径定理，B为OA的中点。
∵A点坐标为(6,0)，O为坐标原点，
∴OA=6，OB=$\frac{1}{2}$OA=3，即点P的横坐标为3。
∵⊙P的半径为$\sqrt{13}$，
∴OP=$\sqrt{13}$。
在Rt△POB中，由勾股定理得：
$PB=\sqrt{OP^2 - OB^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2 - 3^2}=\sqrt{13-9}=2$。
∵点P位于第一象限，纵坐标为正，
∴点P的坐标为(3,2)。
【答案】
(3, 2)
【知识点】
垂径定理；勾股定理；点的坐标
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题核心是利用垂径定理确定圆心的横坐标，再构造直角三角形计算纵坐标，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
7. 如图（示意图），水管内原有积水的水面宽$CD=4\ \mathrm{cm}$，水深$GH=1\ \mathrm{cm}$. 因几天连续下雨水面上升$1\ \mathrm{cm}$（即$EG=1\ \mathrm{cm}$），求此时水面$AB$的宽. 
答案
7. 解 如图，连接OA，OC。设$\odot O$ 的半径是 $r$，则 $OG = r - 1$，$OE = r - 2$。由题意知 $OH ⊥ CD$，所以 $CG = \frac{1}{2}CD = 2$。在 $\mathrm{Rt}△ COG$ 中，根据勾股定理，得 $r^2 = 2^2 + (r-1)^2$，解得 $r=\frac{5}{2}$。则 $OA = \frac{5}{2}$，$OE = \frac{1}{2}$。在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 中，由勾股定理，得 $AE = \sqrt{OA^2 - OE^2} = \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{1}{4}} = \sqrt{6}$。由垂径定理，得 $AB = 2AE = 2\sqrt{6}$。故此时水面 $AB$ 的宽是 $2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
遇到圆中弦长计算问题，首先想到用垂径定理，将弦长、弦心距、半径放到直角三角形中利用勾股定理求解。本题要求水面AB的宽，即弦AB的长，首先需要求出圆O的半径：先根据已知的CD弦长、水深GH，设半径为r，表示出Rt△COG的各边长度，用勾股定理列方程求出半径；再根据水面上升高度求出圆心O到AB的距离OE，最后在Rt△AOE中用勾股定理求出AE的长，结合垂径定理即可得到AB的长度。
【解析】
解：如图，连接OA，OC。设$\odot O$ 的半径是 $r$，则 $OG = r - GH = r - 1$，因为水面上升$EG=1\ \mathrm{cm}$，所以 $OE = OG - EG = r - 1 -1 = r - 2$。
由垂径定理可知 $OH ⊥ CD$，因此 $CG = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×4 = 2\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ COG$ 中，根据勾股定理，得 $OC^2 = CG^2 + OG^2$，即 $r^2 = 2^2 + (r-1)^2$，
展开计算：$r^2 = 4 + r^2 - 2r +1$，
化简得$2r=5$，解得 $r=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
则 $OA = r = \frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，$OE = r - 2 = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 中，由勾股定理，得 $AE = \sqrt{OA^2 - OE^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{1}{4}} = \sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
由垂径定理，得 $AB = 2AE = 2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
此时水面$AB$的宽是$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过设半径为未知数，结合勾股定理列方程求出半径，再代入计算所求弦长，熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合应用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
遇到圆中弦长计算问题，首先想到用垂径定理，将弦长、弦心距、半径放到直角三角形中利用勾股定理求解。本题要求水面AB的宽，即弦AB的长，首先需要求出圆O的半径：先根据已知的CD弦长、水深GH，设半径为r，表示出Rt△COG的各边长度，用勾股定理列方程求出半径；再根据水面上升高度求出圆心O到AB的距离OE，最后在Rt△AOE中用勾股定理求出AE的长，结合垂径定理即可得到AB的长度。
【解析】
解：如图，连接OA，OC。设$\odot O$ 的半径是 $r$，则 $OG = r - GH = r - 1$，因为水面上升$EG=1\ \mathrm{cm}$，所以 $OE = OG - EG = r - 1 -1 = r - 2$。
由垂径定理可知 $OH ⊥ CD$，因此 $CG = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×4 = 2\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ COG$ 中，根据勾股定理，得 $OC^2 = CG^2 + OG^2$，即 $r^2 = 2^2 + (r-1)^2$，
展开计算：$r^2 = 4 + r^2 - 2r +1$，
化简得$2r=5$，解得 $r=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
则 $OA = r = \frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$，$OE = r - 2 = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 中，由勾股定理，得 $AE = \sqrt{OA^2 - OE^2} = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{1}{4}} = \sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
由垂径定理，得 $AB = 2AE = 2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
此时水面$AB$的宽是$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，通过设半径为未知数，结合勾股定理列方程求出半径，再代入计算所求弦长，熟练掌握垂径定理和勾股定理的结合应用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
