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1.(1)【验证“飞镖型”结论】如图①，求证：
$∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$.
(2)【直接应用】一个合格的零件的示意图如图②所示，$∠ B=20°,∠ D=30°$. 若按规定$∠ A=90°$时这个零件合格，则此时$∠ BCD$的度数为
(3)【变式应用·一题多解】一把帆布折叠椅的侧面示意图如图③所示，$∠ A=28°,∠ D=12°,∠ ABC=64°,∠ BCD=46°$,求椅面和椅背的夹角$∠ AED$的度数.（请将下面的解题过程补充完整）
解法一:(直接运用“飞镖型”结论)
解法二:(构造“8字型”)
(4)【拓展应用】如图④，$∠ ABC=100°,∠ DEF=130°$,求$∠ A+∠ C+∠ D+∠ F$的度数.
$∠ BOC=∠ A+∠ B+∠ C$.
(2)【直接应用】一个合格的零件的示意图如图②所示，$∠ B=20°,∠ D=30°$. 若按规定$∠ A=90°$时这个零件合格，则此时$∠ BCD$的度数为
140°
.(3)【变式应用·一题多解】一把帆布折叠椅的侧面示意图如图③所示，$∠ A=28°,∠ D=12°,∠ ABC=64°,∠ BCD=46°$,求椅面和椅背的夹角$∠ AED$的度数.（请将下面的解题过程补充完整）
解法一:(直接运用“飞镖型”结论)
解法二:(构造“8字型”)
(4)【拓展应用】如图④，$∠ ABC=100°,∠ DEF=130°$,求$∠ A+∠ C+∠ D+∠ F$的度数.
答案
1.(1) 证明：连接 AO，并延长至点 M(图略).
∵∠BOM是△ABO 的外角，
∴∠BOM=∠BAO+∠B①.
∵∠COM 是△AOC 的外角，
∴∠COM=∠CAO+∠C②. ①+②，得∠BOM+∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C，即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.
(2) 140°
(3) 解法一:设 AB,CD 交于点 O.
∵∠ABC=64°,∠BCD=46°,
∴∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°.
∴∠AOD=∠COB=70°. 同(1),易得∠AED=∠A+∠D+∠AOD=28°+12°+70°=110°. 解法二:连接 AD(图略). 由题意易得，∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD=64°+46°=110°.
∵∠BAE=28°,∠CDE=12°,
∴∠DAE+∠ADE=∠DAB+∠ADC-∠BAE-∠CDE=70°.
∴∠AED=180°-(∠DAE+∠ADE)=110°.
(4) 解：连接 AD(图略). 同(1),易得∠F+∠ADE+∠FAD=∠DEF③，∠BAD+∠ADC+∠C=∠ABC④. ③+④，得∠F+∠ADE+∠FAD+∠BAD+∠ADC+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°,即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230°.
∵∠BOM是△ABO 的外角，
∴∠BOM=∠BAO+∠B①.
∵∠COM 是△AOC 的外角，
∴∠COM=∠CAO+∠C②. ①+②，得∠BOM+∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C，即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.
(2) 140°
(3) 解法一:设 AB,CD 交于点 O.
∵∠ABC=64°,∠BCD=46°,
∴∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°.
∴∠AOD=∠COB=70°. 同(1),易得∠AED=∠A+∠D+∠AOD=28°+12°+70°=110°. 解法二:连接 AD(图略). 由题意易得，∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD=64°+46°=110°.
∵∠BAE=28°,∠CDE=12°,
∴∠DAE+∠ADE=∠DAB+∠ADC-∠BAE-∠CDE=70°.
∴∠AED=180°-(∠DAE+∠ADE)=110°.
(4) 解：连接 AD(图略). 同(1),易得∠F+∠ADE+∠FAD=∠DEF③，∠BAD+∠ADC+∠C=∠ABC④. ③+④，得∠F+∠ADE+∠FAD+∠BAD+∠ADC+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°,即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230°.
解析
【分析】
(1) 要证明飞镖型结论，可通过作辅助线将∠BOC拆分为两个三角形的外角，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将两个外角的表达式相加即可推导得到结论。
(2) 直接套用(1)的飞镖型结论，将∠A、∠B、∠D的度数相加即可得到∠BCD的度数。
(3) 解法一：先根据三角形内角和求出AB与CD交点处的∠COB，利用对顶角相等得到∠AOD，再套用飞镖型结论计算∠AED；解法二：构造8字型，利用8字型中两个三角形内角和相等得到∠DAB+∠ADC与已知角的关系，再结合三角形内角和计算∠AED。
(4) 连接AD构造两个飞镖模型，分别得到两个已知角与对应角的关系，将两个等式相加即可化简得到要求的四个角的和。
【解析】
(1) 证明：连接AO，并延长至点M。
∵∠BOM是△ABO的外角，
∴∠BOM=∠BAO+∠B ①，
∵∠COM是△AOC的外角，
∴∠COM=∠CAO+∠C ②，
①+②，得∠BOM+∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C，即$∠ BOC=∠ BAC+∠ B+∠ C$。
(2) 由(1)的飞镖型结论可得：$∠ BCD=∠ A+∠ B+∠ D$，代入$∠ A=90°$，$∠ B=20°$，$∠ D=30°$，得$∠ BCD=90°+20°+30°=140°$。
(3) 解法一:设AB,CD交于点O。
∵$∠ ABC=64°$,$∠ BCD=46°$，
∴$∠ COB=180°-∠ ABC-∠ BCD=70°$，
∴$∠ AOD=∠ COB=70°$，
同(1)的飞镖结论，易得$∠ AED=∠ A+∠ D+∠ AOD=28°+12°+70°=110°$。
解法二:连接AD。
由8字型性质易得，$∠ DAB+∠ ADC=∠ ABC+∠ BCD=64°+46°=110°$，
∵$∠ BAE=28°$,$∠ CDE=12°$，
∴$∠ DAE+∠ ADE=∠ DAB+∠ ADC-∠ BAE-∠ CDE=110°-28°-12°=70°$，
∴$∠ AED=180°-(∠ DAE+∠ ADE)=180°-70°=110°$。
(4) 解：连接AD。
同(1)的飞镖结论，易得$∠ F+∠ ADE+∠ FAD=∠ DEF$ ③，$∠ BAD+∠ ADC+∠ C=∠ ABC$ ④，
③+④，得$∠ F+∠ ADE+∠ FAD+∠ BAD+∠ ADC+∠ C=∠ DEF+∠ ABC=130°+100°=230°$，即$∠ BAF+∠ C+∠ CDE+∠ F=230°$。
【答案】
(1) 证明见解析，结论成立；
(2) $\boldsymbol{140°}$；
(3) $\boldsymbol{110°}$；
(4) $\boldsymbol{230°}$
【知识点】
1.三角形外角性质
2.三角形内角和定理
3.飞镖模型应用
【点评】
本题从基础模型证明入手，逐步延伸到模型的直接应用、变式应用和拓展应用，层次清晰，侧重考查辅助线构造能力和几何模型的迁移应用能力，掌握常见的几何模型可以大幅提升不规则图形角度计算的解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明飞镖型结论，可通过作辅助线将∠BOC拆分为两个三角形的外角，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将两个外角的表达式相加即可推导得到结论。
(2) 直接套用(1)的飞镖型结论，将∠A、∠B、∠D的度数相加即可得到∠BCD的度数。
(3) 解法一：先根据三角形内角和求出AB与CD交点处的∠COB，利用对顶角相等得到∠AOD，再套用飞镖型结论计算∠AED；解法二：构造8字型，利用8字型中两个三角形内角和相等得到∠DAB+∠ADC与已知角的关系，再结合三角形内角和计算∠AED。
(4) 连接AD构造两个飞镖模型，分别得到两个已知角与对应角的关系，将两个等式相加即可化简得到要求的四个角的和。
【解析】
(1) 证明：连接AO，并延长至点M。
∵∠BOM是△ABO的外角，
∴∠BOM=∠BAO+∠B ①，
∵∠COM是△AOC的外角，
∴∠COM=∠CAO+∠C ②，
①+②，得∠BOM+∠COM=∠BAO+∠B+∠CAO+∠C，即$∠ BOC=∠ BAC+∠ B+∠ C$。
(2) 由(1)的飞镖型结论可得：$∠ BCD=∠ A+∠ B+∠ D$，代入$∠ A=90°$，$∠ B=20°$，$∠ D=30°$，得$∠ BCD=90°+20°+30°=140°$。
(3) 解法一:设AB,CD交于点O。
∵$∠ ABC=64°$,$∠ BCD=46°$，
∴$∠ COB=180°-∠ ABC-∠ BCD=70°$，
∴$∠ AOD=∠ COB=70°$，
同(1)的飞镖结论，易得$∠ AED=∠ A+∠ D+∠ AOD=28°+12°+70°=110°$。
解法二:连接AD。
由8字型性质易得，$∠ DAB+∠ ADC=∠ ABC+∠ BCD=64°+46°=110°$，
∵$∠ BAE=28°$,$∠ CDE=12°$，
∴$∠ DAE+∠ ADE=∠ DAB+∠ ADC-∠ BAE-∠ CDE=110°-28°-12°=70°$，
∴$∠ AED=180°-(∠ DAE+∠ ADE)=180°-70°=110°$。
(4) 解：连接AD。
同(1)的飞镖结论，易得$∠ F+∠ ADE+∠ FAD=∠ DEF$ ③，$∠ BAD+∠ ADC+∠ C=∠ ABC$ ④，
③+④，得$∠ F+∠ ADE+∠ FAD+∠ BAD+∠ ADC+∠ C=∠ DEF+∠ ABC=130°+100°=230°$，即$∠ BAF+∠ C+∠ CDE+∠ F=230°$。
【答案】
(1) 证明见解析，结论成立；
(2) $\boldsymbol{140°}$；
(3) $\boldsymbol{110°}$；
(4) $\boldsymbol{230°}$
【知识点】
1.三角形外角性质
2.三角形内角和定理
3.飞镖模型应用
【点评】
本题从基础模型证明入手，逐步延伸到模型的直接应用、变式应用和拓展应用，层次清晰，侧重考查辅助线构造能力和几何模型的迁移应用能力，掌握常见的几何模型可以大幅提升不规则图形角度计算的解题效率。
【难度系数】
0.7
2.如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F$的度数为
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
360°
。（第2题图）（第3题图）
（第4题图）
答案
2. 360°
解析
【分析】
遇到不规则图形中多个分散角求和的问题，可通过转化思想将未知角与所学的三角形内角和知识关联。观察图形可知，∠A与∠B、∠C与∠D、∠E与∠F分别在3个独立的小三角形中，这3个小三角形剩下的3个内角和中间三角形的3个内角是对顶角，因此可先计算3个小三角形的总内角和，再减去中间三角形的内角和，即可得到所求6个角的和。
【解析】
设3个小三角形中，除∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F外的三个内角分别为∠1、∠2、∠3，根据对顶角相等的性质，∠1、∠2、∠3为中间三角形的三个内角。
根据三角形内角和定理：
∠A + ∠B + ∠1 = 180°，即∠A + ∠B = 180° - ∠1；
∠C + ∠D + ∠2 = 180°，即∠C + ∠D = 180° - ∠2；
∠E + ∠F + ∠3 = 180°，即∠E + ∠F = 180° - ∠3；
将三个等式左右分别相加：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = (180°-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3) = 540° - (∠1+∠2+∠3)
又因为三角形内角和为180°，所以∠1+∠2+∠3=180°，代入得：
原式=540° - 180° = 360°
【答案】
360°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角度转化计算
【点评】
本题是不规则图形角度求和的典型题型，解题关键是利用对顶角相等和三角形内角和定理，把分散的未知角转化为熟悉的三角形内角和计算，掌握这类转化思想就能快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
遇到不规则图形中多个分散角求和的问题，可通过转化思想将未知角与所学的三角形内角和知识关联。观察图形可知，∠A与∠B、∠C与∠D、∠E与∠F分别在3个独立的小三角形中，这3个小三角形剩下的3个内角和中间三角形的3个内角是对顶角，因此可先计算3个小三角形的总内角和，再减去中间三角形的内角和，即可得到所求6个角的和。
【解析】
设3个小三角形中，除∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F外的三个内角分别为∠1、∠2、∠3，根据对顶角相等的性质，∠1、∠2、∠3为中间三角形的三个内角。
根据三角形内角和定理：
∠A + ∠B + ∠1 = 180°，即∠A + ∠B = 180° - ∠1；
∠C + ∠D + ∠2 = 180°，即∠C + ∠D = 180° - ∠2；
∠E + ∠F + ∠3 = 180°，即∠E + ∠F = 180° - ∠3；
将三个等式左右分别相加：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = (180°-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3) = 540° - (∠1+∠2+∠3)
又因为三角形内角和为180°，所以∠1+∠2+∠3=180°，代入得：
原式=540° - 180° = 360°
【答案】
360°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角度转化计算
【点评】
本题是不规则图形角度求和的典型题型，解题关键是利用对顶角相等和三角形内角和定理，把分散的未知角转化为熟悉的三角形内角和计算，掌握这类转化思想就能快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
3.如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数为
180°
。答案
3. 180°
解析
【分析】
要计算不规则图形中五个角的和，我们可以通过添加辅助线的方法将分散的角集中到同一个三角形中求解。首先回忆三角形内角和为180°，且对顶角相等，我们可以连接BC，利用这两个性质把∠D和∠E转化为△ABC中对应的角，最终将五个角的和转化为△ABC的内角和，就能得到结果。
【解析】
设BE与CD交于点O，连接BC。
在△DOE和△COB中：
∵ ∠DOE = ∠COB（对顶角相等），且三角形内角和为180°，
∴ ∠D + ∠E + ∠DOE = ∠OBC + ∠OCB + ∠COB = 180°，
等式两边同时减去相等的∠DOE和∠COB，可得：∠D + ∠E = ∠OBC + ∠OCB。
则∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E
= ∠A + ∠ABE + ∠ACD + ∠OBC + ∠OCB
= ∠A + (∠ABE + ∠OBC) + (∠ACD + ∠OCB)
= ∠A + ∠ABC + ∠ACB
在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
因此∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，角度转化
【点评】
本题是不规则图形角度求和的基础题型，解题核心是通过作辅助线将分散的未知角集中到规则的三角形中，借助已学的三角形内角和性质求解，能有效锻炼学生的转化思维和几何辅助线运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算不规则图形中五个角的和，我们可以通过添加辅助线的方法将分散的角集中到同一个三角形中求解。首先回忆三角形内角和为180°，且对顶角相等，我们可以连接BC，利用这两个性质把∠D和∠E转化为△ABC中对应的角，最终将五个角的和转化为△ABC的内角和，就能得到结果。
【解析】
设BE与CD交于点O，连接BC。
在△DOE和△COB中：
∵ ∠DOE = ∠COB（对顶角相等），且三角形内角和为180°，
∴ ∠D + ∠E + ∠DOE = ∠OBC + ∠OCB + ∠COB = 180°，
等式两边同时减去相等的∠DOE和∠COB，可得：∠D + ∠E = ∠OBC + ∠OCB。
则∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E
= ∠A + ∠ABE + ∠ACD + ∠OBC + ∠OCB
= ∠A + (∠ABE + ∠OBC) + (∠ACD + ∠OCB)
= ∠A + ∠ABC + ∠ACB
在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
因此∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角相等，角度转化
【点评】
本题是不规则图形角度求和的基础题型，解题核心是通过作辅助线将分散的未知角集中到规则的三角形中，借助已学的三角形内角和性质求解，能有效锻炼学生的转化思维和几何辅助线运用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，已知$∠ BOF=120°$，则$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F$的度数为
240°
。答案
4. 240°
解析
【分析】
解题时我们可以利用三角形外角的性质，把分散的6个角转化为与已知∠BOF相关的角的和。首先回忆三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。观察图形可知，∠BOF可以拆分为三组不相邻内角中三个角的和，它的对顶角和∠BOF度数相等，可以拆分为另外三个角的和，将两部分相加即可得到六个角的总度数。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ BOF = ∠ A + ∠ C + ∠ E$，
因为对顶角相等，所以$∠ BOF$的对顶角$=∠ B + ∠ D + ∠ F$，且该对顶角与$∠ BOF$度数相等，均为$120°$。
因此$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F = ∠ BOF + ∠ BOF = 120°+120°=240°$。
【答案】
$240°$
【知识点】
三角形外角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是不规则图形角度求和的典型题型，解题核心是通过三角形外角性质将分散的角集中转化，不需要单独计算每个角的度数，整体转化即可快速得到结果，需要熟练掌握这类角度转化的技巧。
【难度系数】
0.65
解题时我们可以利用三角形外角的性质，把分散的6个角转化为与已知∠BOF相关的角的和。首先回忆三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。观察图形可知，∠BOF可以拆分为三组不相邻内角中三个角的和，它的对顶角和∠BOF度数相等，可以拆分为另外三个角的和，将两部分相加即可得到六个角的总度数。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：
$∠ BOF = ∠ A + ∠ C + ∠ E$，
因为对顶角相等，所以$∠ BOF$的对顶角$=∠ B + ∠ D + ∠ F$，且该对顶角与$∠ BOF$度数相等，均为$120°$。
因此$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F = ∠ BOF + ∠ BOF = 120°+120°=240°$。
【答案】
$240°$
【知识点】
三角形外角的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是不规则图形角度求和的典型题型，解题核心是通过三角形外角性质将分散的角集中转化，不需要单独计算每个角的度数，整体转化即可快速得到结果，需要熟练掌握这类角度转化的技巧。
【难度系数】
0.65
