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1. 如图，BE，CF是$△ ABC$的角平分线，且BE，CF交于点D。若$∠ EDC=70°$，则$∠ A$的度数为（
A.$50°$
B.$40°$
C.$70°$
D.$35°$
（第1题图）
（第2题图）
B
）A.$50°$
B.$40°$
C.$70°$
D.$35°$
（第1题图）
（第2题图）
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先利用三角形外角的性质，由已知∠EDC的度数得到△DBC中两个底角∠DBC与∠DCB的和；再结合角平分线的定义，推出△ABC中∠ABC与∠ACB的和；最后根据三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
∵∠EDC是△DBC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠EDC=∠DBC+∠DCB=70°。
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=70°，
∴∠ABC+∠ACB=70°×2=140°。
在△ABC中，三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-140°=40°。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是理清角之间的数量转化关系，熟练运用外角和内角和定理即可快速求解，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形外角的性质，由已知∠EDC的度数得到△DBC中两个底角∠DBC与∠DCB的和；再结合角平分线的定义，推出△ABC中∠ABC与∠ACB的和；最后根据三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
∵∠EDC是△DBC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠EDC=∠DBC+∠DCB=70°。
∵BE、CF是△ABC的角平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=70°，
∴∠ABC+∠ACB=70°×2=140°。
在△ABC中，三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-140°=40°。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是理清角之间的数量转化关系，熟练运用外角和内角和定理即可快速求解，是三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7
2.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC,∠ ACB$的平分线交于点$O$,$D$是外角与内角平分线的交点,$E$是外角平分线的交点.若$∠ BOC=120°$,则$∠ D$的度数为________,$∠ E$的度数为________.
答案
30° 60°
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理与内角平分线的性质，结合已知的∠BOC的度数求出△ABC的顶角∠A的度数；再根据三角形外角性质，分别推导内外角平分线夹角、两个外角平分线夹角与∠A的数量关系，代入∠A的数值即可求出∠D和∠E的度数。
【解析】
1. 求∠A的度数
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BOC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，代入得：
$∠ BOC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$
已知$∠ BOC=120°$，代入得：$120°=90°+\frac{1}{2}∠ A$，解得$∠ A=60°$。
2. 求∠D的度数
∵D是内角平分线与外角平分线的交点，设∠ACB的外角为∠ACF
则CD平分∠ACF，BD平分∠ABC，
∴$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF$，$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$
由外角性质得：$∠ ACF=∠ A+∠ ABC$，$∠ DCF=∠ D+∠ DBC$
∴$∠ D=∠ DCF-∠ DBC=\frac{1}{2}(∠ ACF-∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ A=\frac{1}{2}×60°=30°$。
3. 求∠E的度数
∵E是两个外角平分线的交点，由外角平分线夹角公式可得：
$∠ E=90°-\frac{1}{2}∠ A=90°-\frac{1}{2}×60°=60°$。
【答案】
$30°$；$60°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形不同类型角平分线的夹角规律，解题核心是先求出原三角形的顶角度数，结合外角性质和角平分线定义推导夹角关系，熟记相关结论可快速解题。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用三角形内角和定理与内角平分线的性质，结合已知的∠BOC的度数求出△ABC的顶角∠A的度数；再根据三角形外角性质，分别推导内外角平分线夹角、两个外角平分线夹角与∠A的数量关系，代入∠A的数值即可求出∠D和∠E的度数。
【解析】
1. 求∠A的度数
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BOC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，代入得：
$∠ BOC=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)=90°+\frac{1}{2}∠ A$
已知$∠ BOC=120°$，代入得：$120°=90°+\frac{1}{2}∠ A$，解得$∠ A=60°$。
2. 求∠D的度数
∵D是内角平分线与外角平分线的交点，设∠ACB的外角为∠ACF
则CD平分∠ACF，BD平分∠ABC，
∴$∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACF$，$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$
由外角性质得：$∠ ACF=∠ A+∠ ABC$，$∠ DCF=∠ D+∠ DBC$
∴$∠ D=∠ DCF-∠ DBC=\frac{1}{2}(∠ ACF-∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ A=\frac{1}{2}×60°=30°$。
3. 求∠E的度数
∵E是两个外角平分线的交点，由外角平分线夹角公式可得：
$∠ E=90°-\frac{1}{2}∠ A=90°-\frac{1}{2}×60°=60°$。
【答案】
$30°$；$60°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形不同类型角平分线的夹角规律，解题核心是先求出原三角形的顶角度数，结合外角性质和角平分线定义推导夹角关系，熟记相关结论可快速解题。
【难度系数】
0.6
3.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=∠ C$,$∠ ABC$的平分线与外角$∠ EAC$的平分线交于点$D$.
(1)求证:$AD// BC$;
(2)若$∠ BAC=36°$,求$∠ D$的度数.
(1)求证:$AD// BC$;
(2)若$∠ BAC=36°$,求$∠ D$的度数.
答案
(1)证明: $\because AD$ 平分$∠ EAC, \therefore ∠ EAC=2∠ CAD.$
$\because ∠ ABC=∠ C, \therefore ∠ EAC=∠ ABC+∠ C=2∠ C.$
$\therefore ∠ C=∠ CAD. \therefore AD// BC.$
(2)解: $\because ∠ BAC=36°,$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=72°. \because BD$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°.$ 由(1)可知$AD// BC, \therefore ∠ D=∠ CBD=36°.$
$\because ∠ ABC=∠ C, \therefore ∠ EAC=∠ ABC+∠ C=2∠ C.$
$\therefore ∠ C=∠ CAD. \therefore AD// BC.$
(2)解: $\because ∠ BAC=36°,$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=72°. \because BD$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°.$ 由(1)可知$AD// BC, \therefore ∠ D=∠ CBD=36°.$
解析
【分析】
(1) 要证明$AD// BC$，可通过证明内错角相等实现。首先利用三角形外角性质，得外角$∠ EAC=∠ ABC+∠ C$，结合$∠ ABC=∠ C$，可推出$∠ EAC=2∠ C$；再根据$AD$平分$∠ EAC$，得$∠ EAC=2∠ CAD$，等量代换后得到$∠ C=∠ CAD$，即可证平行。
(2) 先在$△ ABC$中用内角和定理，结合$∠ BAC=36°$和$∠ ABC=∠ C$，算出$∠ ABC$的度数；再由$BD$平分$∠ ABC$求出$∠ CBD$的度数；最后利用(1)的平行结论，根据平行线内错角相等即可求出$∠ D$的度数。
【解析】
(1) 证明: $\because AD$ 平分$∠ EAC, \therefore ∠ EAC=2∠ CAD.$
$\because ∠ ABC=∠ C, \therefore ∠ EAC=∠ ABC+∠ C=2∠ C.$
$\therefore ∠ C=∠ CAD. \therefore AD// BC.$
(2) 解: $\because ∠ BAC=36°,$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=72°.$
$\because BD$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°.$
由(1)可知$AD// BC, \therefore ∠ D=∠ CBD=36°.$
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{36°}$
【知识点】
平行线的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查基础知识点的应用能力，解题关键是借助角平分线定义、三角形外角性质建立角的等量关系，再结合平行线的判定和性质求解。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明$AD// BC$，可通过证明内错角相等实现。首先利用三角形外角性质，得外角$∠ EAC=∠ ABC+∠ C$，结合$∠ ABC=∠ C$，可推出$∠ EAC=2∠ C$；再根据$AD$平分$∠ EAC$，得$∠ EAC=2∠ CAD$，等量代换后得到$∠ C=∠ CAD$，即可证平行。
(2) 先在$△ ABC$中用内角和定理，结合$∠ BAC=36°$和$∠ ABC=∠ C$，算出$∠ ABC$的度数；再由$BD$平分$∠ ABC$求出$∠ CBD$的度数；最后利用(1)的平行结论，根据平行线内错角相等即可求出$∠ D$的度数。
【解析】
(1) 证明: $\because AD$ 平分$∠ EAC, \therefore ∠ EAC=2∠ CAD.$
$\because ∠ ABC=∠ C, \therefore ∠ EAC=∠ ABC+∠ C=2∠ C.$
$\therefore ∠ C=∠ CAD. \therefore AD// BC.$
(2) 解: $\because ∠ BAC=36°,$
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=72°.$
$\because BD$ 平分$∠ ABC, \therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°.$
由(1)可知$AD// BC, \therefore ∠ D=∠ CBD=36°.$
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{36°}$
【知识点】
平行线的判定与性质、三角形外角的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查基础知识点的应用能力，解题关键是借助角平分线定义、三角形外角性质建立角的等量关系，再结合平行线的判定和性质求解。
【难度系数】
0.75
4. 如图，$∠ AOB=110°$，点$C$，$D$分别在射线$OA$，$OB$上（不与点$O$重合），$CE$是$∠ ACD$的平分线，$CE$的反向延长线与$∠ CDO$的平分线交于点$F$.
(1)当$∠ OCD=30°$时，$∠ F$的度数为
(2)当点$C$，$D$在射线$OA$，$OB$上任意移动时，$∠ F$的度数是否变化？请说明理由.
(1)当$∠ OCD=30°$时，$∠ F$的度数为
55°
.(2)当点$C$，$D$在射线$OA$，$OB$上任意移动时，$∠ F$的度数是否变化？请说明理由.
答案
4. 解:(1) $55°$
(2)不变. 理由如下: $\because ∠ AOB=110°,$
$\therefore ∠ ACD=180°-∠ OCD, ∠ CDO=180°-∠ AOB-∠ OCD=70°-∠ OCD.$ $\because CE$ 是$∠ ACD$ 的平分线, $DF$ 是$∠ CDO$ 的平分线, $\therefore ∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=90°-\frac{1}{2}∠ OCD, ∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDO=35°-\frac{1}{2}∠ OCD.$
$\because ∠ ECD$是$△ FCD$ 的外角, $\therefore ∠ F=∠ ECD-∠ CDF=55°.$
(2)不变. 理由如下: $\because ∠ AOB=110°,$
$\therefore ∠ ACD=180°-∠ OCD, ∠ CDO=180°-∠ AOB-∠ OCD=70°-∠ OCD.$ $\because CE$ 是$∠ ACD$ 的平分线, $DF$ 是$∠ CDO$ 的平分线, $\therefore ∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=90°-\frac{1}{2}∠ OCD, ∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDO=35°-\frac{1}{2}∠ OCD.$
$\because ∠ ECD$是$△ FCD$ 的外角, $\therefore ∠ F=∠ ECD-∠ CDF=55°.$
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先在△OCD中利用三角形内角和定理求出∠CDO的度数，再根据邻补角定义求出∠ACD的度数；结合角平分线的性质分别算出∠ECD和∠CDF的度数，最后利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可求出∠F的度数。
（2）求解第二问时，用代数式表示∠OCD，再用含该代数式的式子分别表示出∠ACD和∠CDO，结合角平分线性质表示出∠ECD和∠CDF，最后利用三角形外角的性质推导∠F的度数，判断其是否为定值即可。
【解析】
(1) 在△OCD中，已知∠AOB=110°，∠OCD=30°，
∴∠CDO=180°-∠AOB-∠OCD=180°-110°-30°=40°，
∠ACD=180°-∠OCD=180°-30°=150°，
∵CE平分∠ACD，DF平分∠CDO，
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×150°=75°$，$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDO=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∵∠ECD是△FCD的外角，
∴$∠ ECD=∠ F+∠ CDF$，
∴$∠ F=∠ ECD-∠ CDF=75°-20°=55°$。
(2) $∠ F$的度数不变化，理由如下：
∵$∠ AOB=110°$，
∴$∠ ACD=180°-∠ OCD$，
$∠ CDO=180°-∠ AOB-∠ OCD=70°-∠ OCD$，
∵CE是$∠ ACD$的平分线，DF是$∠ CDO$的平分线，
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=90°-\frac{1}{2}∠ OCD$，$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDO=35°-\frac{1}{2}∠ OCD$，
∵∠ECD是△FCD的外角，
∴$∠ F=∠ ECD-∠ CDF=(90°-\frac{1}{2}∠ OCD)-(35°-\frac{1}{2}∠ OCD)=55°$，
因此无论C、D如何移动，$∠ F$的度数恒为55°，不发生变化。
【答案】
(1) $\boxed{55°}$
(2) 不变，$∠ F$的度数恒为$55°$，理由见解析。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的常见题型，核心考察角平分线性质和三角形外角性质的综合应用，通过代数推导可快速得出定值结论，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，先在△OCD中利用三角形内角和定理求出∠CDO的度数，再根据邻补角定义求出∠ACD的度数；结合角平分线的性质分别算出∠ECD和∠CDF的度数，最后利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可求出∠F的度数。
（2）求解第二问时，用代数式表示∠OCD，再用含该代数式的式子分别表示出∠ACD和∠CDO，结合角平分线性质表示出∠ECD和∠CDF，最后利用三角形外角的性质推导∠F的度数，判断其是否为定值即可。
【解析】
(1) 在△OCD中，已知∠AOB=110°，∠OCD=30°，
∴∠CDO=180°-∠AOB-∠OCD=180°-110°-30°=40°，
∠ACD=180°-∠OCD=180°-30°=150°，
∵CE平分∠ACD，DF平分∠CDO，
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×150°=75°$，$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDO=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∵∠ECD是△FCD的外角，
∴$∠ ECD=∠ F+∠ CDF$，
∴$∠ F=∠ ECD-∠ CDF=75°-20°=55°$。
(2) $∠ F$的度数不变化，理由如下：
∵$∠ AOB=110°$，
∴$∠ ACD=180°-∠ OCD$，
$∠ CDO=180°-∠ AOB-∠ OCD=70°-∠ OCD$，
∵CE是$∠ ACD$的平分线，DF是$∠ CDO$的平分线，
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=90°-\frac{1}{2}∠ OCD$，$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDO=35°-\frac{1}{2}∠ OCD$，
∵∠ECD是△FCD的外角，
∴$∠ F=∠ ECD-∠ CDF=(90°-\frac{1}{2}∠ OCD)-(35°-\frac{1}{2}∠ OCD)=55°$，
因此无论C、D如何移动，$∠ F$的度数恒为55°，不发生变化。
【答案】
(1) $\boxed{55°}$
(2) 不变，$∠ F$的度数恒为$55°$，理由见解析。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的常见题型，核心考察角平分线性质和三角形外角性质的综合应用，通过代数推导可快速得出定值结论，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
