4. 下列二次函数：
① $y = -\frac{1}{3}x^2 + 1$；② $y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 2$；③ $y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 2$；④ $y = \frac{1}{2}x^2$；
⑤ $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$；⑥ $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2$。
(1) 二次函数的图象的对称轴为直线$x = -1$的是____(只填序号)；
(2) 二次函数有最大值的是____ (只填序号)；
(3) 二次函数的图象中关于$x$轴对称的是____(只填序号)。

（1）②③；（2）①③⑤；（3）②和③，⑤和⑥。

5. 将抛物线$y = 2x^2沿x$轴向____平移____个单位长度,再沿$y$轴向____平移____个单位长度,可以得到抛物线$y = 2(x + 2)^2 - 3$。

左；2；下；3.

6. 有一条抛物线和$y = -2x^2$形状相同,开口方向相反,且顶点为$(1,-3)$,则它的函数解析式为____。

y = 2(x - 1)² - 3.

问题 把抛物线$y = x^2 + bx + c$先向上平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到抛物线$y = x^2$,求$b$,$c$的值。
名师指导
把抛物线$y = x^2 + bx + c$先向上平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到抛物线$y = x^2$,也就意味着把抛物线$y = x^2$向下平移2个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到抛物线$y = x^2 + bx + c$。这里要注意用逆向思维来思考问题。
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：

$b = -8$，$c = 14$

解：
根据逆向思维，将抛物线$y = x^2$向下平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到原抛物线$y = x^2 + bx + c$。
1. 向下平移2个单位长度：
$y = x^2 - 2$
2. 向右平移4个单位长度，将$x$替换为$x - 4$：
$y = (x - 4)^2 - 2$
3. 展开表达式：
$y = x^2 - 8x + 16 - 2$
$y = x^2 - 8x + 14$
4. 对比原式$y = x^2 + bx + c$，可得：
$b = -8$，$c = 14$
最终

1. 二次函数$y = x^2 - 2x + 4化为y = a(x - h)^2 + k$的形式,下列正确的是 ( )

A.$y = (x - 1)^2 + 2$
B.$y = (x - 1)^2 + 3$
C.$y = (x - 2)^2 + 2$
D.$y = (x - 2)^2 + 4$

B.

解：$y=x^2 - 2x + 4$
$=x^2 - 2x + 1 + 3$
$=(x - 1)^2 + 3$
B.

2. 设函数$y = a(x - h)^2 + k(a,h,k$是实数,$a \neq 0)$,当$x = 1$时,$y = 1$；当$x = 8$时,$y = 8$。以下说法正确的是 ( )

A.若$h = 4$,则$a ＜ 0$
B.若$h = 5$,则$a ＞ 0$
C.若$h = 6$,则$a ＜ 0$
D.若$h = 7$,则$a ＞ 0$

C.

当$x = 1$时，$y = 1$，代入函数得：$1 = a(1 - h)^2 + k$；当$x = 8$时，$y = 8$，代入函数得：$8 = a(8 - h)^2 + k$。两式相减得：$8 - 1 = a[(8 - h)^2 - (1 - h)^2]$，即$7 = a[(8 - h + 1 - h)(8 - h - 1 + h)] = a(9 - 2h)(7)$，化简得$1 = a(9 - 2h)$，所以$a = \frac{1}{9 - 2h}$。
A. 若$h = 4$，则$a = \frac{1}{9 - 2×4} = 1 ＞ 0$，A错误。
B. 若$h = 5$，则$a = \frac{1}{9 - 2×5} = -1 ＜ 0$，B错误。
C. 若$h = 6$，则$a = \frac{1}{9 - 2×6} = -\frac{1}{3} ＜ 0$，C正确。
D. 若$h = 7$，则$a = \frac{1}{9 - 2×7} = -\frac{1}{5} ＜ 0$，D错误。
C

3. 一次函数$y = ax + b(a \neq 0)与二次函数y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )

A.
B.
C.
D.

C.

解：
1. 分析二次函数开口方向：
若 $a ＞ 0$，抛物线开口向上；若 $a ＜ 0$，抛物线开口向下。
2. 分析一次函数增减性与截距：
一次函数 $y = ax + b$，当 $a ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而增大；当 $a ＜ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 增大而减小。$b$ 为直线与 $y$ 轴交点纵坐标。
3. 结合选项判断：
A：抛物线开口向下（$a ＜ 0$），直线 $y$ 随 $x$ 增大而增大（$a ＞ 0$），矛盾。
B：抛物线开口向上（$a ＞ 0$），直线 $y$ 随 $x$ 增大而增大（$a ＞ 0$）；抛物线对称轴 $x = -\frac{b}{2a}$，由图知对称轴在 $y$ 轴右侧，即 $-\frac{b}{2a} ＞ 0$，则 $b ＜ 0$，但直线与 $y$ 轴交点在正半轴（$b ＞ 0$），矛盾。
C：抛物线开口向下（$a ＜ 0$），直线 $y$ 随 $x$ 增大而减小（$a ＜ 0$）；抛物线对称轴 $x = -\frac{b}{2a}$ 在 $y$ 轴左侧，即 $-\frac{b}{2a} ＜ 0$，则 $b ＜ 0$，直线与 $y$ 轴交点在负半轴（$b ＜ 0$），一致。
D：抛物线开口向下（$a ＜ 0$），直线 $y$ 随 $x$ 增大而减小（$a ＜ 0$）；抛物线对称轴 $x = -\frac{b}{2a}$ 在 $y$ 轴左侧，即 $b ＜ 0$，但直线与 $y$ 轴交点在正半轴（$b ＞ 0$），矛盾。
结论：C.