1. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$，则$∠ A$ 的度数为 （）

A.$90°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$

1.D

2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别为$a,b,c$，且$a=3\sqrt{3}$，$c=3\sqrt{6}$，求这个三角形的其他元素。

2.【解】$\because$ 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C=90°,a=3\sqrt{3},c=3\sqrt{6}$，
$\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(3\sqrt{6})^2-(3\sqrt{3})^2}=3\sqrt{3}$，
$\therefore \tan B=\frac{b}{a}=\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=1,\therefore ∠ B=45°$，
$\therefore ∠ A=90°-∠ B=45°$。

3. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=30°,AB=8$,则$BC$的长是 ()

A.$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
B.$4$
C.$8\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

3.D

4.[2026淮北期末] 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$, $BC=4$,$∠ A=α$,$\tanα=\frac{1}{2}$,小明想求$\tan 2α$的值,他在$AC$上取点$D$,使得$BD=AD$,则$\tan 2α=$ .

4.$\frac{4}{3}$ 【点拨】$\because BD=AD,∠ A=α,\therefore ∠ ABD=∠ A=α$，
$\therefore ∠ CDB=∠ ABD+∠ A=2α.\because ∠ C=90°,BC=4,\tan α=\frac{1}{2},\therefore AC=8$,设 $BD=AD=x,\therefore CD=AC-AD=8-x$.
$\because CD^2+BC^2=BD^2,\therefore (8-x)^2+4^2=x^2$,解得 $x=5,\therefore CD=3$,
$\therefore \tan2α=\tan∠ CDB=\frac{BC}{CD}=\frac{4}{3}$.

5. 如图，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，$\tan B=\cos∠ DAC$，若$\sin C=\frac{12}{13}$，$BC=12$，则AD的长为.

5.8 【点拨】$\because AD$ 是 $BC$ 边上的高，$\therefore ∠ ADC=∠ ADB=90°$.
在 $Rt△ ADC$ 中，$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$, 设 $AD=12x$, 则 $AC=13x,\therefore DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=5x.\because \tan B=\cos ∠ DAC=\sin C=\frac{12}{13},\therefore \tan B=\frac{12}{13}.\therefore$ 在 $Rt△ ABD$ 中，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{12}{13}.\because AD=12x,\therefore BD=13x,\therefore BC=BD+CD=13x+5x=12$, 解得 $x=\frac{2}{3},\therefore AD=12×\frac{2}{3}=8$.

6. 新考法 化斜为直法 如图,在$△ ABC$中,$\sin B=\frac{1}{3}$,$\tan C=2$,$AB=3$,则$AC$的长为 （）

A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$2$
（第6题）

6.B

7. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=\sqrt{5}$,$D$是$AC$上一点,连接$BD$,若$\tan A=\frac{1}{2}$,$\tan∠ ABD=\frac{1}{3}$,则$CD$的长为（）

A.$2\sqrt{5}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.2

7.C 【点拨】如图,过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E$. $\because \tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2},\tan∠ ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3},\therefore AE=2DE,BE=3DE.\therefore AB=5DE$. 在 $Rt△ ABC$ 中，$\tan A=\frac{1}{2},BC=\sqrt{5},\therefore \frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{AC}=\frac{1}{2}$, 解得 $AC=2\sqrt{5}.\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=5.\therefore DE=1$.
$\therefore AE=2.\therefore AD=\sqrt{DE^2+AE^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.\therefore CD=AC-AD=\sqrt{5}$.

8. 如图，$△ ABC$是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若$∠ DAE=30°$，$\tan∠ EAC=\frac{1}{3}$，则BD=。

8.$3-\sqrt{3}$ 【点拨】如图,过点 $A$ 作 $AH⊥ BC$ 于点 $H$.
$\because △ ABC$ 是边长为 6 的等边三角形，$\therefore AB=AC=BC=6$，$∠ BAC=∠ B=60°$. 又 $\because AH⊥ BC,\therefore BH=\frac{1}{2}BC=3$，$∠ BAH=\frac{1}{2}∠ BAC=30°,\therefore ∠ BAD+∠ DAH=30°$.
$\because ∠ BAC=60°,∠ DAE=30°,\therefore ∠ BAD+∠ EAC=30°$，
$\therefore ∠ DAH=∠ EAC,\therefore \tan∠ DAH=\tan∠ EAC=\frac{1}{3}$.
又 $\because AH=AB· \sin 60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},\therefore \tan∠ DAH=\frac{DH}{AH}=\frac{DH}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{3},\therefore DH=\sqrt{3},\therefore BD=BH-DH=3-\sqrt{3}$.

9. 在$△ ABC$中，$AB=12\sqrt{2}$，$AC=13$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则$BC$的长为。

9.7或17 【点拨】本题并未给出$△ ABC$的形状，因此要分$△ ABC$为钝角三角形和锐角三角形两种情况求解. 易得,当$△ ABC$为钝角三角形时，$BC=7$;当$△ ABC$为锐角三角形时，$BC=17$.

10. 如图，若$△ ABC$和$△ DEF$的面积分别为$S_1$，$S_2$，则$S_1$与$S_2$的大小关系为 （）

A.$S_1 ＞ S_2$
B.$S_1 ＜ S_2$
C.$S_1 = S_2$
D.无法确定

10.C 【点拨】如图①,过点 $A$ 作 $AG⊥ BC$ 于点 $G$.在$Rt△ ABG$ 中，$AG=AB· \sin 40°=5\sin 40°,\therefore S_1=\frac{1}{2}BC· AG=\frac{1}{2}×8×5\sin 40°=20\sin 40°$.如图②,过点 $D$ 作 $DH⊥ EF$,交 $FE$ 的延长线于点 $H$. 在 $Rt△ DHE$ 中，$∠ DEH=180°-∠ DEF=40°,\therefore DH=DE· \sin∠ DEH=8\sin 40°.\therefore S_2=\frac{1}{2}EF· DH=\frac{1}{2}×5×8\sin 40°=20\sin 40°.\therefore S_1=S_2$.