9. 2025·海南 真实情境题·生活应用 现有一台红外线理疗灯(如图①所示),该设备的主体由底座AB、立柱BC、伸缩杆CD和灯臂DE组成,A,B,C三点在同一直线上,图②是该设备的平面示意图.AC垂直于AF,AF与水平线l平行,CD与l的夹角为∠1,DE与l的夹角为∠2.经测量:AB为12 cm,BC为26 cm,DE为30 cm,∠BCD=154°,∠CDE=63°.
(1)∠1=,∠2=;
(2)已知点E到AF的距离EM为50 cm时,该设备使用效果最佳.求此时伸缩杆CD的长度.(参考数据:sin26°≈0.44,cos26°≈0.90,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80)

9.【解】(1)$64°;53°$ 【点拨】过点$C$作$CN⊥AC$交$EM$于点$N$,$\therefore ∠ACN=90°$.$∵AC$垂直于$AF$,$\therefore CN// AF$,$∵AF$与水平线$l$平行,$\therefore CN// l$,$\therefore ∠1=∠DCN=∠BCD−∠ACN=154°−90°=64°$,$\therefore ∠2=180°−∠1−∠CDE=180°−63°−64°=53°$.
(2)如图,过点$C$作$CN⊥AC$交$EM$于点$N$,过点$D$作$DH⊥CN$于点$H$,过点$E$作$EG⊥DH$.
易得四边形$EGHN$,四边形$CAMN$为矩形,
$\therefore MN=AC=AB+BC=12+26=38(\mathrm{cm})$,$GH=EN$.
$\because EM$为$50 \mathrm{ cm}$,
$\therefore GH=EN=EM−MN=50−38=12(\mathrm{cm})$.
易知$DG⊥l$.
$\because DE$为$30 \mathrm{ cm}$,$∠2=53°$,
$\therefore ∠EDG=90°−53°=37°$,
$\therefore DG=DE·\cos∠EDG≈24 \mathrm{ cm}$,
$\therefore DH=DG+GH≈24+12=36(\mathrm{cm})$.
$\because ∠1=64°$,$\therefore ∠CDH=90°−64°=26°$,
$\therefore DC=\frac{DH}{\cos∠CDH}≈40 \mathrm{ cm}$.

10. ★★ / 新视角 主题探究题【问题呈现】如图①,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN与EC相交于点P,求$\tan∠ CPN$的值.
【方法归纳】求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现,问题中$∠ CPN$不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线的方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得$MN// EC$,则$∠ DNM=∠ CPN$,连接DM,那么$∠ CPN$就转换到$\mathrm{Rt}△ DMN$中了.
【问题解决】(1)图①中$\tan∠ CPN=$;
(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,则$\cos∠ CPN$的值为;
【思维拓展】(3)如图③,$AB⊥ BC$,$AB=4BC$,点M在AB上,且$AM=BC$,延长CB到N,使$BN=2BC$,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求$∠ CPN$的度数.

10.【解】(1)2
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 【点拨】如图①,取格点$B$,连接$AB$,可得$AB// MC$,
$\therefore ∠CPN=∠BAN$.连接$BN$,易知$△ABN$为直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ABN$中,$AB=\sqrt{5}$,$AN=\sqrt{10}$,
$\therefore \cos∠BAN=\frac{AB}{AN}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\therefore \cos∠CPN=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(3)设$BC$的长为1,构造如图②所示的网格,取格点$D$,连接格点$A,D$,可得$AD// CM$,$\therefore ∠CPN=∠DAN$.
连接$DN$,易知$△ADN$为直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ADN$中,$AD=\sqrt{10}$,$AN=2\sqrt{5}$,
$\therefore \cos∠DAN=\frac{AD}{AN}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\therefore \cos∠CPN=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore ∠CPN=45°$.