(4)若$△ ABC$三边的长分别为$\sqrt{m^2 + 16n^2}$，$\sqrt{9m^2 + 4n^2}$，$2\sqrt{m^2 + n^2}$（$m＞0$，$n＞0$，且$m≠n$），试运用构图法求出这个三角形的面积.

(4)如图3,$△ ABC$ 即为所求.
$S_{△ ABC}=3m×4n-\frac{1}{2}×3m×2n-\frac{1}{2}×2m×2n-\frac{1}{2}×4n× m=5mn$.

3. 定义:在$△ ABC$中,若$BC=a$,$AC=b$,$AB=c$,且$a$,$b$,$c$满足$ac+a^2=b^2$,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:

(1)如图1,若等腰三角形$ABC$是“类勾股三角形”,$AB=BC$,$AC＞AB$,求$∠ C$的度数.
(2)如图2,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ A$,且$∠ ACB＞∠ A$,$D$是$AB$上的点,连接$CD$,满足$AD=CD$,过点$C$作$CE⊥ AB$,垂足为$E$.求证:$△ ABC$为“类勾股三角形”.

3. (1)设 $BC=a,AC=b,AB=c$.
$\because \quad △ ABC$ 是“类勾股三角形”,
$\therefore \quad ac+a^2=b^2$.
$\because \quad AB=BC$,
$\therefore \quad a=c$.
$\therefore \quad c^2+a^2=b^2$.
$\therefore \quad ∠ B=90°$.
$\therefore \quad △ ABC$ 是等腰直角三角形.
$\therefore \quad ∠ C=45°$.
(2)设 $BC=a,AC=b,AB=c$.
$\because \quad AD=CD$,
$\therefore \quad ∠ A=∠ DCA$.
$\therefore \quad ∠ CDB=∠ A+∠ DCA=2∠ A$.
又 $∠ B=2∠ A$,
$\therefore \quad ∠ B=∠ CDB$.
$\therefore \quad CD=CB=a$.
$\therefore \quad AD=CD=a$.
$\because \quad CE ⊥ AB$,
$\therefore \quad DE=BE=\frac{c-a}{2}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AEC$ 中,$AE=AD+DE=a+\frac{c-a}{2}=\frac{c+a}{2}$.
由勾股定理,得 $CE^2=AC^2-AE^2=b^2-(\frac{a+c}{2})^2$.
在 $\mathrm{Rt}△ CED$ 中,由勾股定理,得 $CE^2=CD^2-DE^2=a^2-(\frac{c-a}{2})^2$.
$\therefore \quad b^2-(\frac{a+c}{2})^2=a^2-(\frac{c-a}{2})^2$.
$\therefore \quad b^2=a^2+ac$.
$\therefore \quad △ ABC$ 为“类勾股三角形”.

4.【问题情境】某数学兴趣小组的同学想测量如图所示旗杆的高度.
【实践发现】该数学兴趣小组的同学实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知.
【实践探究】设计测量方案：
第一步:先测量比旗杆多出的部分绳子的长度,测得多出部分绳子的长度是1 m；
第二步:把绳子向外拉直,绳子的底端恰好接触地面的点 C,再测量绳子底端 C 与旗杆根部点 B 之间的距离,测得距离为5 m.
【问题解决】设旗杆的高度 AB 为 x m,通过计算即可求得旗杆的高度.
(1)依题知 BC= m,用含有 x 的式子表示 AC 为 m.
(2)请你求出旗杆的高度.

4. (1)5 \quad (x+1)
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理,得
$BC^2+AB^2=AC^2$,
即 $5^2+x^2=(x+1)^2$.
解得 $x=12$.
答:旗杆的高度为 12 m.